1、第二节 古典概型与几何概型知识点一古典概型1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和.互斥基本事件2.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有个.(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性.有限相等一个易错点：误解基本事件的等可能性致误.(1)解决古典概型的重要前提是求基本事件的总数，这些基本事件必须是等可能的同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为_.1.几何概型的概念(1)如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度量(、或)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简
2、称.(2)几何概型中的几何度量可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比、面积之比或长度之比.知识点二几何概型长度面积体积几何概型2.几何概型的特点(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有多个；(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.因此，用几何概型求解的概率问题和古曲概型的思路是相同的，同属于“比例解法”,即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积(或体积、长度)”与“试验的基本事件所占总面积(或总体积、总长度)”之比来表示.无限3.几何概型的概率计算公式4.几何概型与古典概型的区别与联系(1)共同点：基本事件都是等可能的.(2)不同点：几何概型
3、基本事件的个数是无限的，古典概型基本事件的个数是有限的.基本事件可以抽象为点，对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，根据等可能性，这些点落在区域的概率与该区域的度量成正比，而与该区域的位置和形状无关.一个关键：几何概型概率求解.(2)解决几何概型的求概率问题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形.利用图形的几何度量来求随机事件的概率已知球O内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为_.(1)一定要针对具体问题认真分析事件特点，准确判断事件类型，古典概型中事件特点是结果有限且等可能性.(2)计算古典概型中事件A的概率的关键是求出基本事件总数n
4、和事件A中所含基本事件数m.(3)计算基本事件总数常用的方法有枚举法、树形图法、列表法、坐标网格法，备考中应认真体会和熟练掌握.古典概型概率求解方略【例1】(2016山东潍坊一中模块测试)某省为了研究雾霾天气的治理，一课题组对省内24个城市进行了空气质量的调查，按地域特点把这些城市分成了甲、乙、丙三组.已知三组城市的个数分别为4，8，12，课题组用分层抽样的方法从中抽取6个城市进行空气质量的调查.(1)求每组中抽取的城市的个数；(2)从已抽取的6个城市中任抽两个城市，求两个城市不来自同一组的概率.点评求解概率问题的关键是弄清题中所研究的对象，准确求解出试验与所求事件分别包含的基本事件的个数，这
5、是准确求解古典概型的基础.(1)判断试验是否为几何概型，要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点：无限性和等可能性.(2)求解几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算；当考察的对象在某块区域时，用面积比计算；当考察对象在某个空间时，用体积比计算.(3)在解决面积型几何概型时，要充分借助线性规划的可行域、定积分等相关知识进行求解.几何概型的概率求解方略求解几何概型的解题规律答案 A点评利用几何概型求概率时，要选择好角度，从分析基本事件的“等可能性”入手，将每个基本事件理解为在某个特定区
6、域内随机地取一点，而某个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.【示例】一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm2的概率.有放回抽取和无放回抽取问题求解方法点评在古典概型的概率中涉及两种不同的抽取方法，以摸球为例，设袋内装有n个不同的球，现从中依次摸球，每次只摸一只，具有两种摸球的方法.有放回：每次摸出一只后，仍放回袋中，然后再摸一只，这种摸球的方法属于有放回的抽样，显然，对于有放回的抽样，每次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去.无放回：每次摸出一只后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球方法属于无放回的抽样.显然，对于无放回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次.提醒：注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.