1、易错点5 基本初等函数一、单项选择题1. 形如y=b|x|-c(c0,b0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们称其为“囧函数”.若函数f(x)=ax2+x+1(a0，且a1)有最小值，则c=1，b=1时的“囧函数”图象与函数y=loga|x|图象的交点个数为()A. 1B. 2C. 4D. 62. 形如y=bx-cc0,b0的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数fx=ax2+x+1(a0且a1)有最小值，则当c=1,b=1时的“囧函数”与函的图象交点个数为( )A. 1B. 2C. 4D. 63. 若集合A=y|y=x-4，B=x|log3
2、x2，则AB=()A. (0,9B. 4,9C. 4,6D. 0,94. 在一堆从实际生活得到的十进制数据中，一个数的首位数字是d(d=1,2，9)的概率为lg(1+1d)，这被称为本特福定律以此判断，一个数的首位数是1的概率约为( )A. 10B. 11C. 20D. 305. 已知集合A=x|log2(x-1)2，B=x|m-2x2x，命题q:若ABC中，a=5,b=8,c=7，则BCCA=-20，则下列命题正确的是()A. pqB. (p)qC. p(q)D. (p)(q)二、多项选择题9. 如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x，y都满足fx+y2fx+fy2，则称这个函数为下凸函
3、数，下列函数为下凸函数的是 ( )A. f(x)=2xB. C. f(x)=log2x(x0)D. f(x)=x,x02x,x010. 下列判断中错误的是()A. 函数y=2x+1是指数函数；B. 函数y=x2-2019+2019-x2既是偶函数又是奇函数；C. 函数y=1x的单调递减区间是；D. 11. 若11alogbaB. |logab+logba|2C. (logba)2|logab+logba|三、填空题12. 已知正数a，b，c满足4a-2b+25c=0，则当a与c满足_关系时，lga+lgc-2lgb的最大值为_13. 函数的零点个数为_14. 若x2+xy-2y2=0，则x2+
4、3xy+y2x2+y2=_；15. 设x，yR，a1，b1，若ax=bx=3,a+b=63则1x+1y的最大值为_四、解答题16. 已知函数f(x)=log4(mx2-2x+4m)()当m=1时，求函数f(x)在12,2上的值域；()若函数f(x)在(4,+)上单调递增，求实数m的取值范围17. 设函数fx=2x+k-12-xxR是偶函数，(1)求不等式fx52的解集；(2)设函数gx=nfx-21-x-f2x-2，若gx在x1,+上有零点，求实数n的取值范围18. 已知函数f(x)=log3(ax+b)的图像经过点A(2,1)和B(5,2)，an=an+b(nN*)(1)求an；(2)设数列
5、an的前n项和为Sn，bn=2n(n+2)+2Sn，求bn的前n项和Tn19. 设函数f(x)=kax-a-x(a0且a1)是定义域为R的奇函数，f(1)=32()若f(m2+2m)+f(m-4)0，求m的取值范围；()若g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在1,+)上的最小值为-2，求m的值20. 已知函数f(x)=bax(其中a，b为常量，且a0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)(1)求f(x)的表达式；(2)若不等式1ax+1bx-m0，在x-,1时恒成立，求实数m的取值范围已知数列an的前n 项和为Sn，满足S2=2，S4=16，an+1是等比数列，(1)求数列MQ的
6、通项公式；(2)若an0，设bn=log2(3an+3)，求数列1bnbn+1的前2(t+t2)-16-tt2=0项和一、单项选择题1. 形如y=b|x|-c(c0,b0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们称其为“囧函数”.若函数f(x)=ax2+x+1(a0，且a1)有最小值，则c=1，b=1时的“囧函数”图象与函数y=loga|x|图象的交点个数为()A. 1B. 2C. 4D. 6【答案】C【解析】当c=1，b=1时，y=1|x|-1.而f(x)=ax2+x+1(a0，且a1)有最小值，故a1令g(x)=loga|x|(a1)，h(x)=1|x|-1，在同一坐标系中作出它们的
7、大致图象如图所示，共4个不同的交点，故选C2. 形如y=bx-cc0,b0的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数fx=ax2+x+1(a0且a1)有最小值，则当c=1,b=1时的“囧函数”与函的图象交点个数为( )A. 1B. 2C. 4D. 6【答案】C【解析】函数fx=ax2+x+1a0,a1有最小值，a1，当c=1,b=1时，y=bx-c=1x-1，画出函数y=1x-1与y=logax的图象在同一坐标系数内的图象：结合图形，得到交点个数有4个故选C已知loga13logb130，则a,b的取值范围是( )A. 1baB. 1abC. 0ba1D.
8、 0abab0，即0ba1故选C3. 若集合A=y|y=x-4，B=x|log3x2，则AB=()A. (0,9B. 4,9C. 4,6D. 0,9【答案】A【解析】因为集合A=y|y=x-4=y|y0，B=x|log3x2=x|0x9，所以AB=x|0x9=(0,9故选A4. 在一堆从实际生活得到的十进制数据中，一个数的首位数字是d(d=1,2，9)的概率为lg(1+1d)，这被称为本特福定律以此判断，一个数的首位数是1的概率约为( )A. 10B. 11C. 20D. 30【答案】D【解析】根据题意，一个数的首位数是1的概率为lg2，而14=log162lg2log82=13，故选D5.
9、已知集合A=x|log2(x-1)2，B=x|m-2xm+1，若AB=A，则实数m的取值范围为 ( )A. (3,4)B. 3,4C. (-,3)(4,+)D. (-,34,+)【答案】B【解析】依题意，A=x|log2(x-1)2=x|0x-14=x|1x5，因为AB=A，即BA，解得m-21,1+m5.故3m4，故选B6. 若函数f(x)=log12(-x2+2ax-2)在区间(1,32)单调递减，则a的取值范围是()A. 32,+)B. (32,+)C. 32,74D. (32,74)【答案】C【解析】f(x)=log12(-x2+2ax-2)在(1,32)单调递减，即t=-x2+2ax
10、-2在(1,32)是单调递增且00时取等号令x+y=tt0，则t+3t24化为t2-4t-120，解得t6或t-2t0，取t6故选A8. 已知命题p:xR,3x2x，命题q:若ABC中，a=5,b=8,c=7，则BCCA=-20，则下列命题正确的是()A. pqB. (p)qC. p(q)D. (p)(q)【答案】B【解析】命题，由指数函数图像及其性质可得，当x0时，3x0)D. f(x)=x,x33+14，即fx+fy212log284=12，即fx+fy2fx+y2，因此C不是下凸函数；对于D、函数f(x)的定义域为R，x,y-,0，则x+y2-,0，fx+fy2=12x+y=x+y2，而
11、fx+y2=x+y2，即fx+fy2=fx+y2x-,0，y0,+,fx+fy2=12x+2y=x+2y2，而1)当x+y20时，fx+y2=x+y2x+2y2，即fx+fy2fx+y22)当x+y20时，fx+y2=2x+y2=2x+2y2x+2y2，即fx+fy2fx+y2；x,y0,+，则x+y20,+,fx+fy2=122x+2y=x+y，而fx+y2=2x+y2=x+y，即fx+fy2=fx+y2综上所述，D是下凸函数故选AD10. 下列判断中错误的是()A. 函数y=2x+1是指数函数；B. 函数y=x2-2019+2019-x2既是偶函数又是奇函数；C. 函数y=1x的单调递减区
12、间是；D. 【答案】AC【解析】对于A，由指数函数的定义可知，错误；对于B，使式子有意义得x2=2019，y=0，既是奇函数又是偶函数，正确；对于C，函数y=1x在整个定义域上不单调，错误；对于D，空集是任何集合的子集，正确故选AC11. 若11alogbaB. |logab+logba|2C. (logba)2|logab+logba|【答案】ABC【解析】解法一：(常规做法)，0ba1，0logbalogba，故A正确由基本不等式得：logab+logba2=2，故B正确0(logba)21，故C正确|logab|+|logba|=|logab+logba|，故D错误解法二：(特殊值代入法
13、)，0ba0恒成立，只有当x=3时，ln(x-2)=0，所以f(x)在2,+)上只有一个零点，故答案为114. 若x2+xy-2y2=0，则x2+3xy+y2x2+y2=_；【答案】52,-15【解析】x2+xy-2y2=0，xy2+xy-2=0，解得：xy=1或-2，当xy=1时，原式=xy2+3xy+1xy2+1 =1+3+11+1=52；当xy=-2时，原式=4-6+14+1=-15故答案为：52,-1515. 设x，yR，a1，b1，若ax=bx=3,a+b=63则1x+1y的最大值为_【答案】3【解析】a1，b1，ax=by=3，xlga=ylgb=lg3，1x+1y=lgalg3+
14、lgblg3=lgablg3lga+b22lg3=lg332lg3=3，当且仅当a=b=33时取等号1x+1y的最大值为3故答案为3四、解答题16. 已知函数f(x)=log4(mx2-2x+4m)()当m=1时，求函数f(x)在12,2上的值域；()若函数f(x)在(4,+)上单调递增，求实数m的取值范围【答案】解：()当m=1时，函数f(x)=log4(x2-2x+4)，x12,2上，令t=x2-2x+4，最小值为1-2+4=3，最大值为4-4+4=4，故函数f(x)在12,2上的值域为log43,1()若函数f(x)在(4,+)上单调递增，因y=log4x在(0,+)上单调递增，令t=m
15、x2-2x+4m在(4,+)上单调递增，故有m01m416m-8+4m0，求得m25，故要求的实数m的取值范围为25,+)17. 设函数fx=2x+k-12-xxR是偶函数，(1)求不等式fx52的解集；(2)设函数gx=nfx-21-x-f2x-2，若gx在x1,+上有零点，求实数n的取值范围【答案】解：(1)因为fx是偶函数，所以f-x=fx恒成立，即2-x+k-12x=2x+k-12-x恒成立也即k-222x-1=0恒成立，所以k=2，由f(x)=2x+2-x52得，222x-52x+20，解得2x2，即x1，所以不等式fx52的解集为x|x1(2)gx=nfx-21-x-f2x-2=n
16、2x+2-x-21-x-22x-2-2x-2=n2x-2-x-22x+2-2x-2在x1,+上有零点，即为n2x-2-x-22x+2-2x-2=0在x1,+上有解因为x1,+，所以2x-2-x0，所以条件等价于n=22x+2-2x+22x-2-x在x1,+上有解，令p=2x，则p2，令u=p-1p，则u在p2,+上单调递增，因此u32，n=u2+4u设ru=u2+4u=u+4u，ru在2,+上单调递增，在32,2上单调递减，所以函数ru在u=2时取得最小值，且最小值r(2)=4，所以ru4,+)，从而满足条件的实数n的取值范围是4,+)18. 已知函数f(x)=log3(ax+b)的图像经过点
17、A(2,1)和B(5,2)，an=an+b(nN*)(1)求an；(2)设数列an的前n项和为Sn，bn=2n(n+2)+2Sn，求bn的前n项和Tn【答案】解：(1)由题意得log3(2a+b)=1log3(5a+b)=2，解得a=2，b=-1，所以an=2n-1，nN*；(2)由(1)易知数列an为以1为首项，2为公差的等差数列，所以Sn=n+n(n+1)22=n2，所以bn=2n(n+2)+2Sn=1n-1n+2+2n前n项和Tn=(1-13+12-14+13-15+1n-1n+2)+(2+4+2n)=32-1n+1-1n+2+2(1-2n)1-2=2n+1-2n+3(n+1)(n+2)
18、-1219. 设函数f(x)=kax-a-x(a0且a1)是定义域为R的奇函数，f(1)=32()若f(m2+2m)+f(m-4)0，求m的取值范围；()若g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在1,+)上的最小值为-2，求m的值【答案】解：()由题意，得f(0)=0，即k-1=0，解得k=1，由f(1)=32，得a-a-1=32，解得a=2，a=-12(舍去)，所以f(x)=2x-2-x为奇函数且是R上的单调递增函数由f(m2+2m)+f(m-4)0，得f(m2+2m)f(4-m)，所以m2+2m4-m，解得m1所以m的取值范围为(-,-4)(1,+)()g(x)=22x+2-2x-2m(
19、2x-2-x)=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2，令t=2x-2-x，由x1 所以t21-2-1=32，所以y=t2-2mt+2，对称轴t=m，(1)m32时，ymin=m2-2m2+2=-2，解得m=2，(2)m32(舍去)，所以m=220. 已知函数f(x)=bax(其中a，b为常量，且a0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)(1)求f(x)的表达式；(2)若不等式1ax+1bx-m0，在x-,1时恒成立，求实数m的取值范围【答案】解：(1)因为f(x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，则ba=6,ba3=24.所以a2=4，又a0，所以a=2，则b=3.所以f
20、(x)=32x；(2)由(1)知a=2，b=3，则x(-,1时，12x+13x-m0恒成立，即m12x+13x在x(-,1时恒成立，又因为y=12x与y=13x均为减函数，所以y=12x+13x也是减函数，所以当x=1时，y=12x+13x有最小值56所以m56，即m的取值范围是(-,5621. 已知数列an的前n 项和为Sn，满足S2=2，S4=16，an+1是等比数列，(1)求数列MQ的通项公式；(2)若an0，设bn=log2(3an+3)，求数列1bnbn+1的前2(t+t2)-16-tt2=0项和【答案】解：(1)设等比数列an+1的公比为q，其前n项和为Tn，S2=2，S4=16，T2=4，T4=20，易知q1，(a1+1)(1-q2)1-q=4，(a1+1)(1-q4)1-q=20，由得：1+q2=5，解得q=2，当q=2时，a1=13；当q=-2时，a1=-5，an+1=432n-1，或an+1=-4(-2)n-1，即an=2n+13-1，或an=-(-2)n+1-1；(2)an0，an=2n+13-1，bn=log2(3an+3)=n+1，1bnbn+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2，数列1bnbn+1的前n项和=12-13+13-14+1n+1-1n+2=12-1n+2=n2(n+2)