1、第2课时 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用基础达标练1.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以棱AB,AD,AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则DC1的中点坐标为( )A.(12,1,1) B.(1,12,1)C.(12,12,1) D.(12,1,12)答案：D2.（2021山西大同高二期末）在空间直角坐标系中，设A（1，2，a），B（2，3，4），若|AB|=3，则实数a的值是( )A.3或5B.-3或-5C.3或-5D.-3或5答案：A3.已知A(3,3,3),B(6,6,6)，O为原点，则OA与BO的夹角是( )A.0B. C.32 D.2答案
2、：B4.（2020云南昆明高二检测）已知空间四点A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),D(x,-1,3)共面，则x的值为( )A.4B.1C.10D.11答案：D解析：AB=(-2,2,-2),AC=(-1,6,-8),AD=(x-4,-2,0)，因为A,B,C,D共面，所以AB,AC,AD共面，所以存在,v，使AD=AB+vAC，即(x-4,-2,0)=(-2-v,2+6v,-2-8v)，所以.x-4=-2-v,-2=2+6v,0=-2-8v,所以=-4,v=1,x=11.5.（2021山东威海高二检测）已知点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点，如图.给出以
3、下结论：A1PC1D；A1PBD；A1PBC1；A1PCC1 .其中正确结论的序号是( )A.B.C.D.答案：C6.（多选）在空间直角坐标系中，下列结论正确的是( )A.点(-2,1,4)关于x轴对称的点的坐标为(2,1,4)B.到(1,0,0)的距离小于1的点的集合是(x,y,z)|(x-1)2+y2+z21C.点(1,2,3)与点(3,2,1)所连线段的中点坐标是(2,2,2)D.点(1,2,0)关于平面yOz对称的点的坐标为(-1,2,0)答案：B ; C ; D7.已知向量a=(1,2,3)，b=(-2,-4,-6)，|c|=14，若(a+b)c=7，则a与c的夹角为( )A.30
4、B.60 C.120 D.150答案：C解析：由题意可得|a|=14，且b=-2a，所以-ac=7，cosa,c=ac|a|c|=-714=-12，所以a,c=120，选C.素养提升练8.（2021辽宁沈阳高二期末）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=2，AB=AC=AA1=1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GDEF，则|DF|的取值范围为( )A.55,1) B.55,2 C.(255,1) D.255,1)答案：A解析：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则E(0,1,12),G(12,0,1)，设D(0,y,0),F(
5、x,0,0)，则GD=(-12,y,-1)，EF=(x,-1,-12)，由GDEF可得x+2y=1，x=1-2y，从而可得|DF|=5y2-4y+1=5(y-25)2+15(0y12)，当y=25时，|DF|min=55，当y=0时，|DF|=1，当y=12时，|DF|=12，故|DF|的取值范围为55,1) .9.如图，棱长为2的正四面体ABCD的三个顶点A,B,C分别在空间直角坐标系的坐标轴Ox,Oy,Oz上，则定点D的坐标为( )A.(1,1,1)B.(2,2,2)C.(3,3,3) D.(2,2,2)答案：A10.已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面边长AB=2，AB1BC1，点O，
6、O1分别是边AC,A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.（1）求三棱柱的侧棱长；（2）M为BC1的中点，试用基向量AA1,AB,AC表示向量AM；（3）求AB1与BC的夹角的余弦值.答案：（1）设侧棱长为b，则A(0,-1,0)，B1(3,0,b)，B(3,0,0)，C1(0,1,b)，C(0,1,0)，所以AB1=(3,1,b)，BC1=(-3,1,b) .因为AB1BC1，所以AB1BC1=(3,1,b)(-3,1,b)=-(3)2+12+b2=0，解得b=2（负值舍去），故三棱柱的侧棱长为2 .（2）因为M为BC1的中点，所以AM=12(AC1+AB)=12(AA1+AC+AB)
7、 .（3）由（1）知AB1=(3,1,2)，BC=(-3,1,0)，因为|AB1|=(3)2+12+(2)2=6，|BC|=(-3)2+12+02=2，AB1BC=(3,1,2)(-3,1,0)=-(3)2+11=-2，所以cosAB1,BC=AB1BC|AB1|BC|=-262=-66 .所以AB1与BC的夹角的余弦值为-66 .创新拓展练11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为AB和BC的中点，在棱B1B上是否存在一点M，使得D1MEF，D1MB1E同时成立？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.解析：命题分析本题属于向量垂直的充要条件的逆用问题，即
8、探索性问题，意在考查学生利用空间向量及空间坐标系分析问题、解决问题的能力.答题要领建立适当的空间直角坐标系，设出点M的坐标，利用D1MEF=0，D1MB1E=0构建方程组，若该方程组有解，则存在点M；若无解，则不存在.答案：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),D1(0,0,1)，E(1,12,0),F(12,1,0),EF=(-12,12,0)，B1E=(0,-12,-1)，设M(1,1,m)，则D1M=(1,1,m-1)，因为D1MEF，D1MB1E，所以D1MEF=0，D1MB1E=0 .所以-12+12+(m-1)0=0,0-12+1-m=0,解得m=12，即M为B1B的中点.所以存在点M(1,1,12)，使得D1MEF,D1MB1E同时成立.方法感悟对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”.
