1、辽宁省实验中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）考试时间：120分钟试题满分：150分一、选择题（共计12道小题，每题5分，满分60分，多选题漏选得2分，选错、多选不得分）1.函数的递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】定义域是，当时，或（舍），故选C.2.袋中有大小相同的四个白球和三个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意可知，所选的两个球均为白球或黑球，利用组合计数原理与古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，所选的两个球均为白球或黑球，由古典概型的概率公式可知，
2、所求事件的概率为.故选：B.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.3.掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷2020次，那么抛掷第2019次时出现正面向上的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据概率的性质直接得到答案.【详解】根据概率的性质知：每次正面向上的概率为.故选：.【点睛】本题考查了概率的性质，属于简单题.4.设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时，（ ）A. 减小B. 增大C. 先减小后增大D. 先增大后减小【答案】D【解析】【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.【详解】，先增后减，因此选D.
3、【点睛】5.设是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，利用函数的单调性可得出关于的不等式，进而可解得实数的取值范围.【详解】构造函数，则，所以，函数上单调递增，由可得，解得，因此，不等式的解集为.故选：D.【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6.某校高二年级4个文科班要举行一轮单循环（每个班均与另外3个班比赛一场）篮球赛，则所有场次中甲、乙两班至少有一个班参加的概率是（ ）A. B.
4、 C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据枚举法得单循环所有比赛对阵场次，再从中确定甲、乙两班至少有一个班参加的比赛对阵场次，最后根据古典概型概率公式求解.【详解】记4个班分别为甲、乙、丙、丁，则他们的比赛对阵场次为甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁共6种，其中甲、乙两班至少有一个班参加的有5种，则所求概率，故选：D【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.7.某学习小组有三名男生、三名女生共计六名同学，选出四人进行学业水平测试，这四人中所含女生人数记为，则的数学期望为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意可知随机变量的可能取值有、，计算出随机
5、变量在不同取值下的概率，列出分布列，进而可求得的数学期望.【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、，.所以，随机变量的分布列如下表所示：因此，随机变量的数学期望为.故选：C.【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，一般要列出随机变量的分布列，考查计算能力，属于中等题.8.已知函数，若且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据的函数图像，结合，求得的取值范围以及之间的等量关系，将表示为的函数，求该函数在区间上的值域即可.【详解】因为，故其函数图像如下所示：令，解得；令，解得.数形结合可知，若要满足，且，则，且，解得.故，.令，则，令，解得，故在区间单调递减，
6、在区间单调递增，则，故.即可得.故选：B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的值域，以及构造函数的能力，数形结合的能力，属综合性中档题.9.关于函数有下述四个结论：函数的图象把圆的面积两等分是周期为的函数函数在区间上有个零点函数在区间上单调递减其中所有不正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简函数的解析式为，判断函数的奇偶性可判断命题的正误；利用函数周期性的定义可判断命题的正误；利用导数研究函数的单调性，可判断命题的正误，综合可得出结论.【详解】.对于，因为，所以函数为奇函数，关于原点对称，且过圆心，而圆也是关于原点对称，所以正确；对于，因为，所以函数的周期不
7、是，即错误；对于，因为，所以函数单调递减，所以，函数在区间上至多有个零点，即错误；对于，由可知，函数单调递减，即正确.综上所述，所有不正确结论的编号是.故选：B.【点睛】本题考查函数有关命题真假的判断，考查函数的单调性、奇偶性、周期性、零点等命题的判断，涉及导数的应用，考查推理能力，属于中等题.10.若的解集最多有个正整数根，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由得出，可得出满足不等式的正整数根有个，构造函数，利用导数分析该函数的单调性与极值，结合题意得出关于的不等式，进而可求得实数的取值范围.【详解】由得，令，则，由得，当时，；当时，.函数在上单调递减，在上
8、单调递增，所以，函数的最小值为.由于满足不等式的正整数根有个，则.故选：C.【点睛】本题考查利用函数不等式的整数根的个数求参数，考查了分离参数法的应用，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.11.对于二项式，以下判断正确的有（ ）A. 存在，展开式中有常数项；B. 对任意，展开式中没有常数项；C. 对任意，展开式中没有的一次项；D. 存在，展开式中有的一次项.【答案】AD【解析】【分析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案【详解】设二项式展开式的通项公式为，则，不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确故答案选A
9、D【点睛】本题考查二项式定理，关键在于合理利用通项公式进行综合分析，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题12.（多选题）如图所示的电路中，只箱子表示保险匣分别为、.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是（ ） A. 所在线路畅通的概率为B. 所在线路畅通概率为C. 所在线路畅通的概率为D. 当开关合上时，整个电路畅通的概率为【答案】BD【解析】【分析】根据独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式计算出各选项中线路畅通的概率，由此可得出结论.【详解】由题意知，、保险闸被切断的概率分别为，所以、两个盒子畅通的概率为，因此A错误；、两个盒子并联后畅通的概率为，因此C错误
10、；、三个盘子混联后畅通的概率为，B正确；根据上述分析可知，当开关合上时，电路畅通的概率为，D正确.故选：BD.【点睛】本题考查利用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率，考查计算能力，属于中等题.二、填空题（共计6道小题，每题5分，满分30分）13.函数的最大值是_.【答案】【解析】【分析】通过导数的符号得到函数的单调性，从而得到函数的最大值.【详解】，当，所以在上单调递增；当，所以在上单调递减；所以.【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则14.设随机变量服从正态分布，如果，则 _.【答案】【解析】【分析】根据随机变量符合正态分
11、布和正态分布的曲线关于对称，得到一对对称区间的概率之间的关系，即可求得结果【详解】随机变量服从正态分布曲线关于直线对称故答案为【点睛】本题主要考查的知识点是正态分布，解题的关键是正态分布和正态分布的曲线关于对称，属于基础题15.已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a= 【答案】8【解析】试题分析：函数在处的导数为，所以切线方程为；曲线的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已
12、知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数16.甲、乙两人玩一个游戏，在一个袋子中装有个白球，个黑球，两人有放回的依次在袋子中摸出一个球，摸到白球甲获胜，否则乙胜.两人玩了次游戏，乙获胜的次数为随机变量，则随机变量的方差 _.【答案】【解析】【分析】根据题意可知，利用二项分布的方差公式可求得.【详解】根据题意可知，所以，.故答案为：.【点睛】本题考查随机变量方差的计算，解答的关键在于弄清楚随机变量所满足的分布列类型，考查计算能力，属于基础题.17.
13、已知集合，且集合，则集合、所有可能的情况有_种.【答案】【解析】【分析】由，可知集合、均含有元素、，作出韦恩图，可知元素、可以放在除之外的个区域中，每个元素有个选择，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】如下图所示，集合、被分为了个区域，由，可知集合、均含有元素、，则元素、可以放在除之外的个区域中，每个元素有个选择，由分步乘法计数原理可知，所有可能的情况种数为.故答案为：.【点睛】本题考查排列组合问题，考查分步乘法计数原理应用，考查运算求解能力，属于中等题.18.设函数，其中，若仅存在两个整数使得，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】设，则存在两个整数、，使得，利用导数分析函数的单调
14、性与极值，作出函数的图象，可得出关于的不等式组，进而可求得实数的取值范围.【详解】设，由题意可知，存在两个整数、使得，当时，；当时，函数的最小值为，而直线恒过定点，如下图所示：则满足不等式的两个整数解应分别为，所以，即，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数研究函数不等式的整数解问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题（共计5道小题，每题12分，满分60分）19.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概
15、率分别为0.3，0.3，0.2.(1)求，的分布列；(2)求，的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术【答案】(1)见解析.(2) 甲比乙的射击技术好.【解析】【分析】（1）由题意利用题中的条件已知甲、乙两名射手每次射击中的环数大于环，且甲射中环的概率分别为，可以得到，解出的值，再有随机变量的意义得到相应的分布列；（2）由于（1）中求得了随机变量的分布列，利用期望与方差公式求出期望与方差可得甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好.【详解】(1)由题意得：0.53aa0.11，解得a0.1.因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的
16、概率为1(0.30.30.2)0.2.所以，的分布列分别为：10987P0.50.30.10.110987P0.30.30.20.2(2)由(1)得：E()100.590.380.170.19.2；E()100.390.380.270.28.7；D()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96；D()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21.由于E()E()，D()D()，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好.【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体简明的描
17、述，它们所反映的情况有着重要的实际意，随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平;方差反映了随机变量稳定于均值的程度, 它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于取舍的重要的理论依据，般先比 较均值, 若均值相同再用方差来决定.20.对名男女大学生在购买食品时是否看营养说明进行了调查，得到数据如下表所示：看营养说明不看营养说明合计男大学生女大学生合计研究大学生性别和是否看营养说明之间有没有关系需要的检验指标.（1）求出、；（2）根据表中数据我们是否有的把握说大学生性别和是否看营养说明之间有关？.【答案】（1）、；（2）有的把握说大学生性别和是否看营养说明之间有关.【解析】【分析】（1）
18、根据男女大学生的总人数为，结合表格中的数据可求得、的值；（2）计算的观测值，结合临界值表可得出结论.【详解】（1）由题意可得，；（2）由表格中数据可得，因此，我们有的把握说大学生性别和是否看营养说明之间有关.【点睛】本题考查列联表的完善，同时也考查了利用独立性检验解决实际问题，考查数据处理能力，属于基础题.21.已知函数，函数图象上有两动点、.（1）用表示在点处的切线方程；（2）若动直线在轴上的截距恒等于，函数在、两点处的切线交于点，求证：点的纵坐标为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，然后利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）设直线的方程为，
19、将该直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，将两切线方程联立，求出点的纵坐标，进而可证得结论.【详解】（1），所以，函数在点处的切线斜率为，因此，函数在点处的切线方程为，即；（2）设直线的方程为，联立，得，由韦达定理得，.由于抛物线在点处的切线方程为，则该抛物线在点处的切线方程为，联立，解得，因此，点的纵坐标为（定值）.【点睛】本题考查抛物线切线方程的求解，同时也考查了抛物线中定值问题的证明，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.22.某同学的父亲决定今年夏天卖西瓜赚钱，根据去年6月份的数据统计连续五天内每天所卖西瓜的个数与温度之间的关系如下表：温度3233353738西瓜个数20222
20、43034（1）求这五天内所卖西瓜个数的平均值和方差；（2）求变量之间的线性回归方程，并预测当温度为时所卖西瓜的个数.附：，(精确到).【答案】（1）26，27.2（2），15【解析】试题分析: （1）由总数除以天数得平均数，根据方差公式 ，代入可得方差，（2）求线性回归方程实质求，根据公式求，再根据求.最后根据求值，即为温度为时所卖西瓜的个数.试题解析:（1）， 方差为.（2），所以，所以回归直线方程为，当时，所以预测当温度为时所卖西瓜的个数为.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性
21、相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.23.已知函数，且函数图像经过点.（1）当时，求的单调区间；（2）且函数在区间上有且只有个极值点时，求的取值范围.【答案】（1）函数在单调递减，在单调递增；（2）.【解析】【分析】（1）由求得的值，再由可得出函数的解析式，进而可求得，然后利用导数可进一步求得函数的单调递增区间和单调递减区间；（2）求得，构造函数，可知函数有两个变号零点，对实数的取值范围进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合题意得出关于的不等式，进而可求得实数的取值范围.【详解】（1）由题意可得，解得，易知函数的定义域为，当时，又，设，则恒成立，所以，函数在上单调
22、递增，又，则当时，即当时，即.所以，函数在单调递减，在单调递增；（2）由，可得，且，设，即，又，当时，此时.当时，有，此时在恒成立，所以，函数在区间上有且只有个极值点，故不满足题意；当时，有，设的两根为、，则有，故，则时，时，即函数在上单调递减，在上单调递增，又，故，当，即时，函数在无零点，又在单调递增，即函数在区间上有且只有个极值点，故不满足题意；当，即时，则使得，且当时，当时；当时，即此时函数在区间上有且只有个极值点，极值点为和，故满足题意，综上可得，符合条件的的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数求解函数的极值点个数问题，考查分类讨论思想的应用，属于难题.