1、易错点3 函数的性质一、单项选择题1. 形如y=bxcc0,b0的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数fx=ax2+x+1(a0且a1)有最小值，则当c=1,b=1时的“囧函数”与函的图象交点个数为( )A. 1B. 2C. 4D. 62. 函数f(x)=2x2mx+3，在(,2上单调递减，在(2,+)上单调递增，则f(1)=()A. 3B. 7C. 13D. 不能确定3. 函数fx=ax2a1x3在区间1,+上是增函数，则实数a的取值范围是( )A. ,13B. ,0C. 0,13D. 0,134. 已知奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x
2、(0,1)时，f(x)=3x，则f(log312)=A. 43B. 43C. 34D. 34二、多项选择题5. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y=Asint，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数fx=sinx+12sin2x，则下列结论正确的是()A. 2是fx的一个周期；B. fx在0,2上有3个零点；C. fx的最大值为334；D. fx在0,2上是增函数6. 下列命题中，真命题的是()A. y=sinx的图象与y=sinx的图象关于y轴对称B. y=cosx的图象与y=cosx的图象相同C. y=sinx的图象与y
3、=sinx的图象关于x轴对称D. y=cosx的图象与y=cosx的图象相同7. 已知函数f(x)=(sinx+cosx)223cos2x+3，则下列结论正确的是( )A. 函数的最小正周期为B. 函数的最大值是3C. 函数的单调增区间为k12,k+512(kZ)D. (6,0)是函数的一个对称中心8. 已知函数，给出下述论述，其中正确的是( )A. 当a=0时，fx的定义域为B. fx一定有最小值；C. 当a=0时，fx的值域为R；D. 若fx在区间上单调递增，则实数a的取值范围是a|a49. 已知函数fx=sin2x+32xR，则下列结论正确的是( )A. 函数fx的最小正周期为B. 函数
4、fx是偶函数C. 函数fx的图象关于直线x=4对称D. 函数fx在区间0,2上是增函数10. 下列命题中正确的是()A. 命题“x00,x00在区间a,b上恒成立C. “x0”是“不等式1x0，则函数fx是R上的增函数11. 下列说法正确的是()A. 分针每小时旋转2弧度B. 在ABC中，若sinA=sinB，则A=BC. 在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点D. 函数f(x)=sinx1+cosx是奇函数12. 函数f(x)在a,b上有定义，若对任意x1,x2a,b，有f(x1+x22)12f(x1)+f(x2)则称f(x)在a,b上具有性质P.设f(x)在1
5、,3上具有性质P，则下列说法错误的是：( )A. f(x)在1,3上的图像是连续不断的；B. f(x2)在1,3上具有性质P；C. 若f(x)在x=2处取得最大值1，则f(x)=1，x1,3；D. 对任意x1,x2,x3,x41,3，有f(x1+x2+x3+x44)14f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)三、填空题13. 已知函数fx=12x22x+1，则gx=fx+1是_函数(从“奇”，“偶”，“非奇非偶”及“既是奇函数又是偶”中选择一个填空)，不等式fx2x+f4x102的解集为_14. 已知f(x)是定义在(,+)上的偶函数，且在(,0上是增函数，设a=f(log47)，b=f
6、(log123)，c=f(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是_15. 下列几个命题方程x2+(a3)x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a1，则x1”的否命题为“若x21，则x1”；命题“xR，使得x2+x+11”是“x2+x20”的充分不必要条件正确的是_16. 设函数f(x)=ex+ex1lg(x2+1)，则使得f(2x+1)0且a1)，f(1)=2(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间0,32上的最大值18. 已知二次函数(1)若f(x)+t0对于xR恒成立，求t的取值范围；(2)若g(x)=f(x)+mx，当x1,2时，若g(x)的最大值为2，求m的值19.
7、己知函数fx=sinx+m0,20满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：=32；周期T=；过点0,0；f3=32。(1)写出所满足的3个条件的序号(不需要说明理由)，并求fx的解析式；(2)求函数fx的图像与直线y=1相邻两个交点间的最短距离20. 已知幂函数f(x)=(2m26m+5)xm+1为偶函数(1)求f(x)的解析式；(2)若函数y=f(x)2(a1)x+1在区间(2,3)上为单调函数，求实数a的取值范围21. 已知函数f(x)=ax+12x，且f(1)=52(1)求a的值；(2)判定f(x)的奇偶性，并说明理由；(3)令g(x)=f(x)m，若y=g(x)有两个不同的零点，写出
8、实数m的值(此问不需要写过程)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且当x10，设p：“f(m2+3)+f(128m)0”(1)若p为真，求实数m的取值范围；(2)设q：集合A=x|(x+1)(4x)0与集合B=x|x0,b0的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数fx=ax2+x+1(a0且a1)有最小值，则当c=1,b=1时的“囧函数”与函的图象交点个数为( )A. 1B. 2C. 4D. 6【答案】C【解析】函数fx=ax2+x+1a0,a1有最小值，a1，当c=1,b=1时，y=bxc=1x1，画出函数y=1x1与y=logax的图象在同一坐标系数内
9、的图象：结合图形，得到交点个数有4个故选C2. 函数f(x)=2x2mx+3，在(,2上单调递减，在(2,+)上单调递增，则f(1)=()A. 3B. 7C. 13D. 不能确定【答案】C【解析】函数f(x)=2x2mx+3在(,2上单调递减，在(2,+)上单调递增，所以对称轴为x=m4=2，所以m=8，所以f(x)=2x2+8x+3，所以f(1)=2+8+3=13故选C3. 函数fx=ax2a1x3在区间1,+上是增函数，则实数a的取值范围是( )A. ,13B. ,0C. 0,13D. 0,13【答案】D【解析】当a=0时，y=x3符合题意，当a0时，函数f(x)=ax2(a1)x3是二次
10、函数，对称轴为x=a12a，二次函数f(x)=ax2(a1)x3在1,+)上是增函数，a0a12a1解得：0a13则a的范围为0,13故选D4. 已知奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x(0,1)时，f(x)=3x，则f(log312)=A. 43B. 43C. 34D. 34【答案】B【解析】2log3123，0log31220，当时，f(x)0，f(x)在时取得最大值，C正确，由上述求解知函数在上一定递减，D错误故选ABC6. 下列命题中，真命题的是()A. y=sinx的图象与y=sinx的图象关于y轴对称B. y=cosx的图象与y=cosx的图象相同C. y=sinx的图象
11、与y=sinx的图象关于x轴对称D. y=cosx的图象与y=cosx的图象相同【答案】BD【解析】对于A，是偶函数，而为奇函数，故与的图象不关于y轴对称，故A错误；对于B，即其图象相同，故B正确；对于C，当x0有，故A正确；对B，当a=0时，fx=lgx21，此时，x210,+，此时fx=lgx21值域为R，故B错误；对C，同B，故C正确；对D，若fx在区间上单调递增，此时y=x2+axa1对称轴.解得a4但当a=4时fx=lgx24x+3在x=2处无定义，故D错误故选AC9. 已知函数fx=sin2x+32xR，则下列结论正确的是( )A. 函数fx的最小正周期为B. 函数fx是偶函数C.
12、 函数fx的图象关于直线x=4对称D. 函数fx在区间0,2上是增函数【答案】ABD【解析】f(x)=sin(2x+32)=cos2x，函数f(x)的最小正周期为，A正确；函数f(x)是偶函数B正确；f(0)=1，f(2)=1，f(0)f(2)，函数f(x)的图象关于直线x=4对称是错误的，故C错，0x2，故02x，而y=cosx在0,单调递减，f(x)=cos2x在区间0,2上是增函数，故D正确故选ABD10. 下列命题中正确的是()A. 命题“x00,x00在区间a,b上恒成立C. “x0”是“不等式1x0，则函数fx是R上的增函数【答案】AD【解析】对A.命题“x00,x0sinx0”的
13、否定是“x0,xsinx”，正确； 对B.函数y=x3在区间1,1上单调递增，但在区间a,b上f(x)0，故B不正确；对C.不等式1x0x(x1)0x1，所以“x0”是“不等式1x0，则，即若x2x1，则f(x2)f(x1)，所以函数fx是R上的增函数，D正确故选AD11. 下列说法正确的是()A. 分针每小时旋转2弧度B. 在ABC中，若sinA=sinB，则A=BC. 在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点D. 函数f(x)=sinx1+cosx是奇函数【答案】BD【解析】A选项中，分针为顺时针旋转，每小时应旋转2弧度，故A错误;B选项中，由正弦定理asinA
14、=bsinB可知，若sinA=sinB，则a=b，所以A=B，故B正确;C选项中，设f(x)=sinxx，f(x)=cosx10，f(x)在R单调递减，则函数f(x)在R上最多只有一个零点，故函数y=sinx的图象和函数y=x的图象至多有一个交点，故C错误D选项中，cosx1，x(2k+1)，kZ，f(x)的定义域关于原点对称，又，f(x)为奇函数，故D正确故选BD12. 函数f(x)在a,b上有定义，若对任意x1,x2a,b，有f(x1+x22)12f(x1)+f(x2)则称f(x)在a,b上具有性质P.设f(x)在1,3上具有性质P，则下列说法错误的是：( )A. f(x)在1,3上的图像
15、是连续不断的；B. f(x2)在1,3上具有性质P；C. 若f(x)在x=2处取得最大值1，则f(x)=1，x1,3；D. 对任意x1,x2,x3,x41,3，有f(x1+x2+x3+x44)14f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)【答案】AB【解析】对于A、反例fx=x2,1x310,x=3，此函数满足性质P但不连续，因此A错误；对于B、函数fx=x具有该性质，但是函数fx2=x2不具有该性质，因此B错误；对于C、因为对于任意x1,3，则4x1,3，而函数f(x)在1,3上具有性质P，所以f2=fx+4x212fx+f4x又因为函数f(x)在x=2处取得最大值1，所以fx+f4x2
16、fxfxmax=1f4xfxmax=1，所以fx=1，因此C正确；对于D、因为对任意x1,x2,x3,x41,3，所以12x1+x21,3，12x3+x41,3又因为函数f(x)在1,3上具有性质P，所以f(x1+x2+x3+x44)=f12x1+x2+12x3+x4212fx1+x22+fx3+x421212f(x1)+f(x2)+12f(x3)+f(x4)14f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)，因此D正确故选AB三、填空题13. 已知函数fx=12x22x+1，则gx=fx+1是_函数(从“奇”，“偶”，“非奇非偶”及“既是奇函数又是偶”中选择一个填空)，不等式fx2x+f4x
17、102的解集为_【答案】奇；5,2【解析】函数y=12x,y=22x+1单调递增，故fx=12x22x+1单调递增；gx=fx+1=12x22x+1+1=12x+2x12x+1，函数单调递增；gx=12x+2x12x+1=12x2x12x+1=gx，故gx是奇函数；fx2x+f4x102，即gx2xg4x10=g104x故x2x104x，解得5x2故答案为奇；5,214. 已知f(x)是定义在(,+)上的偶函数，且在(,0上是增函数，设a=f(log47)，b=f(log123)，c=f(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是_【答案】cb2，log123=log23=log491，|log
18、47|log23|0.20.6|0，f(0.20.6)f(log123)f(log47)，即cba，故答案为：cba15. 下列几个命题方程x2+(a3)x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a1，则x1”的否命题为“若x21，则x1”；命题“xR，使得x2+x+11”是“x2+x20”的充分不必要条件正确的是_【答案】【解析】方程x2+(a3)x+a=0的有一个正实根，一个负实根，根据韦达定理，得a1，则x1”的否命题为“若x21，则x1”，故命题错误；全称命题的否定为特称命题，命题“xR，使得x2+x+10的解为x1，“x1”是“x2+x20”的充分不必要条件，故命题正确正确的命题为故答案
19、为16. 设函数f(x)=ex+ex1lg(x2+1)，则使得f(2x+1)0时，f(x)单调递增，由f(2x+1)f(x2)可得|2x+1|x2|且2x+10，x20，所以|2x+1|x2|且x2，x12，所以4x2+4x+1x24x+4且x2，x12，解可得，3x0且a1)，f(1)=2(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间0,32上的最大值【答案】(1)f(1)=2，loga(1+1)+loga(31)=loga4=2，解得a=2(a0,a1)，由1+x03x0，得x(1,3)，函数f(x)的定义域为(1,3)；(2)f(x)=log2(1+x)+log2(3x)=lo
20、g2(1+x)(3x)=log2x12+4当x0,1时，f(x)是增函数；当x(1,32时，f(x)是减函数所以函数f(x)在0,32上的最大值是f(1)=log24=218. 已知二次函数(1)若f(x)+t0对于xR恒成立，求t的取值范围；(2)若g(x)=f(x)+mx，当x1,2时，若g(x)的最大值为2，求m的值【答案】解：(1)f(x)+t0对于xR恒成立，即2x23x+t0对于xR恒成立，=(3)28t0，解得t98；(2)若g(x)=f(x)+mx=2x2+(3+m)x，二次函数开口向下，对称轴x=3+m4，在x1,2时，g(x)的最大值为2，当3+m41，即m1时，g(x)m
21、ax=g(1)=2+3+m=2，解得m=1；当13+m42，即1m0,20满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：=32；周期T=；过点0,0；f3=32。(1)写出所满足的3个条件的序号(不需要说明理由)，并求fx的解析式；(2)求函数fx的图像与直线y=1相邻两个交点间的最短距离【答案】解：(1)所满足的三个条件是：，f(x)的周期T=，=2，f(x)=sin(2x+)+m，又过点(0,0)，且f3=32，sin+m=0，sin23+m=32，sin23+sin=32，32cos12sinsin=32，312cos32sin=32，sin6=32，又20，=6，又sin+m=0，12+m
22、=0，m=12，f(x)=sin2x6+12注：如果学生选取条件，并往下做：=32，f(x)=sin32x+m，又过点(0,0)，且f3=32，sin+m=0，sin2+m=32，sin2+sin=32，cossin=32，2sin4=32，又22时，恰有两个交点，即有两个不同的零点22. 已知f(x)是定义域为R的奇函数，且当x10，设p：“f(m2+3)+f(128m)0”(1)若p为真，求实数m的取值范围；(2)设q：集合A=x|(x+1)(4x)0与集合B=x|xm的交集为x|x1，若pq为假，pq为真，求实数m的取值范围【答案】解：(1)函数f(x)是奇函数，f(x)+f(x)=0，当x10，函数f(x)为R上的增函数f(m2+3)+f(128m)0，f(m2+3)f(128m)=f(8m12)，m2+38m12，若p为真，则m28m+150，解得3m5(2)A=x|x1或x4，若q为真，则1m4pq为假，pq为真，p、q一真一假若p真q假，则4m5；若p假q真，则1m3综上，实数m的取值范围是(1,3(4，5)
