1、上海市上海市三林中学2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题（含解析）一、填空题（本大题共12题，满分36分，每小题对得3分，否则一律不得分）1.数1与9的等差中项是_.【答案】5【解析】【分析】若、成等差数列,则,称为、的等差中项,由题,故,解出即可【详解】设等差中项为,则,故答案为：5【点睛】本题考查等差中项概念,属于基础题2.数列满足，则_【答案】【解析】【分析】递推公式为,故用累乘法求得数列的通项公式,令,即可求解【详解】由题,当时, 用累乘法可得,即,当时,故答案为：【点睛】本题考查数列的递推公式,考查累乘法求通项公式,考查求数列的某一项3.数列的前四项为，则该数列的一个通
2、项公式为_【答案】【解析】【分析】观察数列,奇数项为非负数,偶数项为负数；分母为,分子为,将这些特征整理即可【详解】由题,会发现奇数项为非负,偶数项为负,故用来处理,即该数列的通项公式为故答案为：【点睛】本题考查归纳、猜想的应用问题,解题时应观察数列各项的特征,通过归纳猜想,即可得出该数列的一个通项公式4.等差数列中，则_【答案】6【解析】【分析】将代入等差数列通项公式中,求得,即得到通项公式,再将代入通项,求得即可【详解】设,通项公式为,当时,即,故答案为：6【点睛】本题考查定义法求等差数列通项公式,考查等差数列的某一项,属于基础题5.数列满足，则其通项公式_【答案】【解析】【分析】由递推公
3、式可得数列是以1为首项,3为公比的等比数列,根据等比数列定义求出通项公式即可【详解】由题知,数列是以1为首项,3为公比的等比数列,故答案为：【点睛】本题考查定义法求等比数列通项公式,属于基础题6.等差数列中，表示其前n项和，若，则_【答案】9【解析】【分析】根据等差数列前项和的性质,、仍成等差数列,将值代入即可求解【详解】是等差数列,、仍成等差数列,根据等差中项可得,即, 故答案为：9【点睛】本题考查等差数列前项和的性质的应用,考查等差中项,属于基础题7.数列的前项为，则此数列的通项公式为_【答案】【解析】【分析】用公式法求数列的通项公式,分别讨论当和当的情况,最后要检验【详解】当时,；当时,
4、检验,当时,符合故答案为：【点睛】本题考查公式法求数列的通项公式,方法如下：（1）当时,；（2）当时,；（3）检验,当时,代入（2）中的后判断是否与（1）中值一致,若符合,则；若不符合,则8.公差不为零的等差数列中，成等比数列，则其公比为_【答案】3【解析】【分析】由等比中项可得,且等差数列,故为,可得到,则,均用来表示,进一步求得公比【详解】由题,可得等差数列,即,即,故答案为：3【点睛】本题考查求等比数列的公比,等比中项,考查等差数列通项公式的应用9.等差数列中，其公差，且满足，则该数列的通项公式为_.【答案】【解析】【分析】根据且得到,代入中求与后整理即可【详解】且或又,是递减数列,，
5、， 故答案：【点睛】本题考查定义法求等差数列通项公式,考查由公差判断等差数列的单调性,考查解二元一次方程组10.等差数列中，表示其前n项和，则_【答案】810【解析】【分析】由等差数列的前项和公式为,将、分别用其表示代入等式中,整理可得,根据等差数列的性质,即得结果【详解】等差数列,表示其前n项和,即故答案为：810【点睛】本题考查等差数列前项和公式的两种形式,考查等差数列的性质,考查运算能力11.设数列满足，则_【答案】2【解析】【分析】根据递推公式,得到,故周期为6,由周期性可得,即可得到结果【详解】由题, ,余3,即故答案为：2【点睛】本题考查数列周期性,考查数列递推公式,考查运算能力1
6、2.设数列an的前n项和为Sn（nN*），关于数列an有下列三个命题：若数列an既是等差数列又是等比数列，则anan+1；若Snan2+bn+c（a、b、cR），则数列an是等差数列；若Sn1（2）n，则数列an是等比数列其中，真命题的序号是_【答案】【解析】【分析】易得既是等差数列又是等比数列的是非0常数列；利用公式法证明其结论的正确性【详解】既是等差数列又是等比数列的是一个非0常数列,则有,故是真命题；当时,则,， 当时,，,若,则当且仅当时,数列为等差数列,题中,故为假命题；当时,则；当时,，,数列是以为首项,为公比的等比数列,故为真命题故答案为：【点睛】本题考查对常数列的认知,考查等差
7、数列,等比数列的证明二、选择题（本大题共4题，满分12分，每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律不得分）13.等比数列中，表示其前n项和，若，则（ ）A. 210B. 120C. 121D. 111【答案】D【解析】【分析】根据等比数列前项和的性质,、仍成等比数列,将值代入即可求解【详解】由题, 等比数列,则有、仍成等比数列,由等比中项可得,即故选：D【点睛】本题考查等比数列前项和的性质的应用,属于基础题14.满足等式的正整数（ ）A. 2018B. 2019C. 2020D. 2021【答案】B【解析】【分析】通过观察可得,等式左侧分式的分母为连续偶数求和,分子为连续奇数求和,利用等
8、差数列前项和公式整理分式,求解即可【详解】由题,等式左侧分式分子为；分母为,原式,故选：B【点睛】本题考查等差数列前项和的公式的应用,属于基础题15.某工厂去年12月份的月产量为a，若该厂产量月平均增长率为P，则今年12月份的月产量比去年同期增加的比率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】今年12月份的月产量为,增加比率应为：（今年产量去年产量）去年产量,将式子代入整理即可【详解】由题,今年12月份的月产量为,则增加的比率为故选：B【点睛】本题考查等比数列在实际生活中的应用,属于基础题16.某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题
9、不成立，那么可推得（ ）A. 当时，该命题不成立B. 当时，该命题成立C. 当时，该命题成立D. 当时，该命题不成立【答案】D【解析】试题分析：“当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立”它的逆否命题为“当时该命题不成立，那么当时该命题也不成立”，因为它们同真，所以当时该命题不成立，那么可推得当时，该命题也不成立，故选择D.考点：四种命题和数学归纳法.三、解答题：（本大题共有6题，满分52分，每题必须写出必要的解题步骤）17.在1，x，9，y四个数中，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求x，y的值【答案】,或,【解析】【分析】根据等比中项可得；根据等差数列可得,求解即可【详解】由题,
10、,或 即当时,；当时,【点睛】本题考查等差中项、等比中项的应用,考查运算能力18.用数学归纳法证明：【答案】证明见解析.【解析】【分析】利用数学归纳法证明分两步进行:当时证明不等式左右两边相等;假设当时等式成立,应用此结论证明当时等式也成立即可.【详解】当时左边,右边所以左边=右边,等式成立.假设当时等式成立,即则当时,即当时等式也成立由可知, 对任意正整数都成立【点睛】本题考查了数学归纳法在证明等式中应用,注意证明的格式和步骤,对假设成立等式的应用是关键,属于中档题.19.在正数数列an中，前n项和Sn满足：Sn2an1，（1）求a1的值；（2）求an的通项公式.【答案】（1）1（2）【解析
11、】【分析】（1）当时,；（2）当时,，即用公式法求解通项公式【详解】（1）当时,（2）当时,即是首项为1,公比为2的等比数列,【点睛】本题考查求数列首项,考查公式法求通项公式,考查等比数列通项公式20.数列为等差数列，设（1）证明数列为等比数列；（2）若，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，当数列的公差时，求数列的前n项和的最大值【答案】（1）证明见解析；（2）或；（3）4【解析】【分析】（1）借助等差数列的定义来证明即可；（2）利用等比中项先求得,代入得到关于的方程,解出,由得到,再将代回中求得,整理后即得到数列的通项公式（3）由题, ,找到符合时的值,即找到最大时的值,再代入等差数列
12、的前项和公式即可求解【详解】（1）证明：数列为等差数列,设又,当时,即数列是以为首项,为公比的等比数列（2）解：由（1）可知,即,或当时,即,此时,，当时,即,此时,综上,或（3）,令,即,，,【点睛】本题考查等比数列的证明,等差数列的通项公式以及等差数列前项和的最值问题21.设正数列的前n项和为，其满足：（1）试求的值；（2）利用：当时，证明：数列为等差数列；（3）求数列的通项公式。【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）利用当时,来求解；（2）将用表示,整理即可得证；（3）由（2）得到的表达式,再利用当时,检验当时,符合即可.【详解】（1）由题,当时,即或正数列, （2）当时,则,即是以1为首项,1为公差的等差数列（3）由（2）得: ,又当时,检验,当时,符合,故【点睛】本题考查等差数列的证明,构造数列求通项公式,使用公式法求通项公式时需注意检验,考查运算能力及逻辑推理能力.
