1、十二 二次函数的性质 【基础全面练】(20 分钟 35 分)1函数 y2x2x 在下列哪个区间上，函数值 y 随 x 增大而增大()A(，2 B2，)C14，D，14【解析】选 D.因为 y2x2x2x14218，所以其在区间，14上函数值 y 随 x 增大而增大2若函数 f(x)x22ax2 在(3，)上是增加的，则实数 a 的取值范围是()Aa3 Ba3Ca3 Da3【解析】选 B.因为 f(x)x22ax2(xa)22a2，即函数 f(x)的增区间为(a，)，减区间为(，a).又函数 f(x)在(3，)上是增加的，所以(3，)(a，)，即a3，即 a3.3已知函数 yx22x3 在闭区间
2、0，m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是()A1，)B0，2C(，2 D1，2【解析】选 D.f(x)(x1)22，因为 f(x)最小值2，f(x)最大值3，且 f(1)2，f(0)f(2)3，所以 1m2.4已知函数 f(x)x24x，xm，5的值域是5，4，则实数 m 的取值范围是_【解析】如图，二次函数对称轴为 x2，代入 f(x)，得 f(2)4，当 x5 时，f(5)5，由二次函数的对称性可知，f(1)5.因为 xm，5时值域为5，4，所以 m1，2.答案：1，25已知图像开口向上的二次函数 f(x)对任意 xR 都满足 f(3x)f(x)，若 f(x)在区间(a，2a
3、1)上是减少的，则实数 a 的取值范围为_【解析】由题意得函数 f(x)的对称轴为直线 x32，且图像开口向上，由 f(x)在区间(a，2a1)上是减少的可知32 2a1，又 a2a1，解得 11 时，f(x)在1，t上是增加的，在t，)上是减少的，所以 f(x)maxf(t)t22t2t2，此时 t23，解得 t 3，又t1，所以 t 3.综上可得 t 3.4若函数f(x)x2mx4m在区间1，4上单调，则实数m的取值范围为()A(，82，)B2，)C(，8D(，28，)【解析】选 A.因为函数 f(x)x2mx4m 的对称轴为 xm2，所以 xm2(1，4)时，函数 f(x)x2mx4m
4、在区间1，4上单调当m2 1 时，m2；当m2 4 时，m8，所以实数 m 的取值范围为(，82，).5函数 f(x)ax22(a3)x1 在区间(2，)上是减少的，则 a 的取值范围是()A3，0 B(，3C3，0)D2，0【解析】选 A.(1)当 a0 时，显然正确(2)当 a0 时，f(x)ax22(a3)x1 在(2，)上是减少的，应满足a0，2（a3）2a2，解得3a0.由(1)(2)可知，a 的取值范围是3，0.【误区警示】本题容易漏掉对二次项系数是否为零，即 a0 的讨论二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6已知函数 f(x)kx22kx3(k0)在区间3，2上的最大值是
5、6，则实数 k 的值为_【解析】函数 f(x)kx22kx3 的图象对称轴为 x1，若 k0，抛物线开口向上，在区间3，2上的最大值是 f(2)4k4k36，得 k38.答案：3 或387若函数 f(x)mx2mx1 的定义域为 R，则实数 m 的取值范围是_【解析】因为函数 f(x)mx2mx1 的定义域是 R，所以 mx2mx10 的解集为 R，所以 m0 或m0，m24m0，解得 m0 或 0m4，即 0m4，故实数 m 的取值范围为0，4.答案：0，48已知函数 yx2axa4 在区间0，1上的最大值是32，则实数 a 的值为_【解析】因为 yf(x)xa2214(a2a)，对称轴为
6、xa2.(1)当 0a2 1，即 0a2 时，f(x)max14(a2a)，由14(a2a)32，解得 a2或 a3 与 0a2 矛盾，不符合要求(2)当a2 0，即 a1，即 a2 时，f(x)在0，1上递增，所以 f(x)maxf(1)，由 f(1)32 得1aa4 32 解得 a103.综上可知 a6 或103.答案：6 或103三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9某租赁公司拥有汽车 100 辆，当每辆车的月租金为 3 000 元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加 50 元时，未租出的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50
7、元(1)当每辆车的月租金为 3 600 元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【解析】(1)当每辆车的月租金为 3 600 元时，未租出的车辆数为3 6003 0005012，所以这时租出了 88 辆车(2)设 每 辆 车 的 月 租 金 为 x(x3 000)元，则 租 赁 公 司 的 月 收 益 为 f(x)100 x3 00050(x150)x3 0005050，整理得 f(x)x250 162x21 000 150(x4 050)2307 050.所以，当 x4 050 时，f(x)最大，最大值为 f(4 050)307 050
8、.即当每辆车的月租金为 4 050 元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为 307 050 元10已知一元二次函数的最大值为 15，其图象的对称轴为 x1，且与 x 轴两个交点的横坐标的平方和为 7.(1)求该一元二次函数；(2)要将该函数图象的顶点平移到原点，请说出平移的方式【解析】(1)二次函数的顶点为(1，15)，设函数为 ya(x1)215，即 yax22axa15.设图象与 x 轴两个交点的横坐标为 x1，x2，即方程 ax22axa150 的两根，由韦达定理 x1x22，x1x2a15a，又由 x21 x22 7，即(x1x2)22x1x27，解得 a6，所以二次函数为 y6(x
9、1)215，即 y6x212x9.(2)y6(x1)215 的图象【应用创新练】已知二次函数 f(x)(xa)(bxa)(常数 a，bR)的图像关于 y 轴对称，其值域为(，4，则 a_，b_.【解析】f(x)(xa)(bxa)bx2a(b1)xa2，依题意 f(x)为偶函数f(x)图像的对称轴为 xa（b1）2b0，所以 b1 或 a0，当 b1 时，f(x)x2a2，顶点为(0，a2).因为 f(x)的值域为(，4，所以 a24，所以 a2.当 a0 时，f(x)bx2 与题意不符合答案：2 1【补偿训练】已知函数 f(x)x2mxn 的图像过点(1，3)，且 f(1x)f(1x)对任意实
10、数都成立，函数 yg(x)与 yf(x)的图像关于原点对称(1)求 f(x)与 g(x)的解析式(2)若 F(x)g(x)f(x)在(1，1上是增加的，求实数 的取值范围【解析】(1)因为 f(1x)f(1x)，所以对称轴为 x1m2，即 m2.又 f(x)的图像过点(1，3)，所以 312mn，即 mn2，所以 n0，所以 f(x)x22x，又 yg(x)与 yf(x)的图像关于原点对称，所以g(x)(x)22(x)，所以 g(x)x22x.(2)因为 F(x)g(x)f(x)(1)x2(22)x，当 10 时，F(x)的对称轴为 x222（1）11，又因为 F(x)在(1，1上是增加的所以10，111，所以 1 或10；当 10，即 1 时，F(x)4x 显然在(1，1上是增加的综上所述，的取值范围为(，0.