1、指数函数基础过关练题组一指数函数的概念1.下列函数中指数函数的个数是(深度解析)y=2x;y=x2;y=2x+1;y=xx;y=(6a-3)xa12且a23.A.0B.1C.2D.32.(2020江苏镇江中学高一期中)已知指数函数f(x)的图象过点(-2,4),则f(6)=()A.34B.164C.43D.1123.已知函数f(x)=2x,x3,f(x+1),x”“1时,函数y=ax和y=(a-1)x2的大致图象是() A B C D7.已知y1=13x,y2=3x,y3=10-x,y4=10x,则在同一平面直角坐标系内,它们的图象大致为()8.(2021江苏连云港板浦高级中学高一期中)已知函
2、数f(x)=ax-2+1(a0,a1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=n-mx的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限题组三指数(型)函数的性质及简单应用9.(2021江苏镇江大港中学高一期中)函数y=1-12x的定义域是()A.(0,+)B.(-,0)C.0,+)D.(-,010.(2020江苏扬州宝应中学高一月考)函数y=1-2x,x0,1的值域是()A.0,1B.-1,0C.0,12D.-12,011.(2020江苏泰州姜堰中学高一期末)函数y=ax(a0,a1)在0,2上的最大值与最小值的差为2,则a的值为()A.2B.3C.2D.312.(2021
3、山东济宁高一上期中)不等式122x2-1124-3x的解集为.13.(2020江苏泰兴第一高级中学高一上期中)若函数y=6-x2+ax在区间(-,1上单调递增,则实数a的取值范围是.14.比较下列各组数中两个数的大小.(1)12-3与12-1.7;(2)23-45与3267;(3)279与14-49;(4)a-35与a-47(其中a0且a1).易错15.(2020江苏常州教学研究合作联盟高一上期中)已知函数f(x)=m2x-1-1是奇函数.(1)求实数m的值;(2)求证:函数f(x)在(0,+)上单调递增.16.(2020江苏扬州高一期中)已知函数f(x)=ax+k-a-x(a0且a1)是定义
4、在R上的奇函数.(1)求实数k的值;(2)若f(1)0,且a1),给出下列说法:这个指数函数的底数是2;第5个月时,浮萍的面积就会超过30m2;浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月;浮萍每个月增加的面积都相等.其中正确的是()A.B.C.D.18.(2021江苏无锡高一期末)酒驾是严重危害交通安全的违法行为,为了保障安全,根据国家有关规定:100mL血液中酒精含量达到2080mg(不包括80mg)的驾驶员即为酒后驾车,80mg及以上的人即为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中酒精含量上升到了0.6mg/mL,如果停止饮酒后,他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少,那么他要想
5、驾车,至少需要经过的小时数为()A.6B.5C.4D.319.(2021江苏海安高级中学高一阶段测试)某车间产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)之间的关系为P=P02-kt(其中P0表示初始废气中污染物数量).经过5h后,经测试,消除了20%的污染物.问:(1)15h后还剩百分之几的污染物?(2)污染物减少36%需要花多长时间?易错能力提升练题组一指数(型)函数的图象及应用1.()如图所示,面积为8的平行四边形OABC的对角线ACCO,AC与BO交于点E.若指数函数y=ax(a1)的图象经过点E,B,则a等于()A.2B.3C.2D.32.(2020
6、广东汕头澄海中学高一期中,)已知函数f(x)=x-4+9x+1,x(0,4).当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=a|x+b|的图象是()ABCD3.()若函数y=|ax-1|(a0,a1)的图象与直线y=2a有两个公共点,则实数a的取值范围是.4.(2020江苏盐城东台高一上期中,)已知函数f(x)=bax(其中a,b为常数,且a0,a1)的图象经过点M(1,1),N(3,9).(1)求a+b的值;(2)当x-3时,函数y=1ax+1b的图象恒在函数y=2x+t图象的上方,求实数t的取值范围.题组二指数(型)函数的性质及应用5.(2021江苏江安高级中学高一期中,)若函数f(x
7、)=ax(a0,a1)在-1,2上的最大值为9,最小值为n,且函数g(x)=(4n-1)x+1在-1,+)上是减函数,则a=()A.3B.19C.9D.136.(2021江苏连云港石榴高级中学高一月考,)若函数f(x)=a2x2-ax+1(a0且a1)在区间(1,3)上单调递增,则实数a的取值范围为()A.(1,2)B.(0,1)C.(1,4D.4,+)7.(2020浙江温州十五校联合体高一上期中联考,)已知a0,设函数f(x)=2019x+1+32019x+1(x-a,a)的最大值为M,最小值为N,那么M+N=()A.2025B.2022C.2020D.20198.(2021江苏泰兴中学高一
8、月考,)已知函数f(x)=2x+m2x+1,若对任意x1,x2,x3R,总有f(x1),f(x2),f(x3)为某一个三角形的边长,则实数m的取值范围是()A.12,1B.0,1C.12,2D.1,29.(多选)(2020江苏徐州郑集高级中学高一期中,)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设xR,用x表示不超过x的最大整数,则y=x称为高斯函数.例如,-3.5=-4,2.1=2.已知函数f(x)=2x1+2x-12,则关于函数g(x)=f(x)的叙述中正确的是()A.g(x)是偶函数B.f(x
9、)是奇函数C.f(x)在R上是增函数D.g(x)的值域是-1,0,110.(2021江苏扬州新华中学高一月考,)已知1+2x+4xa0对一切x(-,1恒成立,则实数a的取值范围是.11.(2020山东济南兖州实验高级中学高一期末,)已知函数f(x)=2ax-4+a2ax+a(a0,a1)是定义在R上的奇函数.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的值域;(3)当x(1,2)时,2+mf(x)-2x0恒成立,求实数m的取值范围.12.(2019江苏泰州姜堰第二中学高一上第一次月考,)已知函数f(x)=1-5xa5x+1,x(b-3,2b)是奇函数.(1)求实数a,b的值;(2)证明:f(x)是区间
10、(b-3,2b)上的减函数;(3)若f(m-1)+f(2m+1)-3m0,求实数m的取值范围.13.(2020浙北G2高一上期中联考,)已知实数a0,定义域为R的函数f(x)=3xa+a3x是偶函数.(1)求实数a的值;(2)判断函数f(x)在(0,+)上的单调性并用定义证明;(3)是否存在实数m,使得对任意的tR,不等式f(t-2)12且a23,所以6a-30且6a-31,故是指数函数.所以指数函数的个数是2,故选C.解题模板判定一个函数是指数函数的依据:形如y=ax的函数,ax的系数必须是1;底数a满足a0,a1;自变量为x,而不是a,且自变量的取值范围为R.2.B设f(x)=ax(a0且
11、a1).f(x)的图象过点(-2,4),f(-2)=a-2=4,解得a=12,f(6)=126=164.故选B.3.答案8解析f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=23=8.4.答案解析设f(x)=ax(a0,且a1).依题意得f(3)=a3=9f(1)=9a1,即a(a+3)(a-3)=0,解得a=0(舍去)或a=3或a=-3(舍去),所以f(x)=3x.因此f(4)=34,f(8)=38=3434,所以f(8)f(4).5.D将函数y=2-x的图象向右平移1个单位长度后可得y=2-(x-1)=21-x的图象.故选D.6.A当a1时,函数y=ax为增函数,函数y=(a-1)x2的图象开口向
12、上,且对称轴为y轴,故选A.7.Ay2=3x与y4=10x是增函数,y1=13x与y3=10-x=110x是减函数,在第一象限内作直线x=1(图略),该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小,易知选A.8.C易知f(x)=ax-2+1(a0,a1)的图象恒过定点(2,2),m=n=2,g(x)=2-2x,g(x)为减函数,且过点(0,1),函数g(x)的图象不经过第三象限.故选C.9.C易得1-12x0,即12x1=120,解得x0,因此函数y=1-12x的定义域为0,+).故选C.10.B令f(x)=2x,由指数函数的性质可得f(x)=2x是增函数,当x0,1时,f(0)f(x)f
13、(1),即1f(x)2,-2-2x-1,-11-2x0,函数y=1-2x,x0,1的值域为-1,0.故选B.11.B当a1时,函数y=ax单调递增,则在0,2上的最大值与最小值的差为a2-a0=2,解得a=3(a=-3舍去).当0a124-3x,y=12x在R上是减函数,2x2-14-3x,解得-52x1,不等式的解集为-52,1.13.答案2,+)解析函数y=6-x2+ax是由y=6u与u=-x2+ax复合而成的,y=6u在(-,1上单调递增,u=-x2+ax的图象的对称轴为直线x=a2,故a21,解得a2.14.解析(1)y=12x为减函数,且-312-1.7.(2)23-45=3245,
14、y=32x为增函数,且4567,23-453267.(3)14-49=289,y=2x为增函数,且7989,2791时,y=ax单调递增,又-35-47,a-35a-47.当0a1时,y=ax单调递减,又-35a-47.易错警示利用指数函数的单调性判断指数式的大小关系时,要注意底数与1的关系.15.解析(1)由题意知2x-10,解得x0,所以f(x)的定义域为x|x0,由f(x)是奇函数,得f(-x)=-f(x)对于定义域内的任意x恒成立,则m2-x-1-1=-m2x-1+1,即m2x1-2x=-m2x-1+2,即m2x=m+2(1-2x),即(m+2)(2x-1)=0对于定义域中的任意x都成
15、立,所以m=-2.经检验,m=-2时,f(x)是奇函数.(2)证明:由(1)知f(x)=-22x-1-1.在(0,+)内任取x1,x2,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=-22x1-1-1-22x2-1+1=-2(2x2-2x1)(2x1-1)(2x2-1),0x10,2x2-10,2x2-2x10,f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2),f(x)在(0,+)上单调递增.16.解析(1)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=ak-1=0,解得k=0,当k=0时,f(x)=ax-a-x,f(-x)=a-x-ax=-f(x),且f(x)的定义域为R,所以f(x)为奇函数,符合题意.
16、(2)由(1)知f(x)=ax-a-x,由f(1)0得a-1a0,所以0a30,正确;当y=4时,由4=2t1知t1=2,当y=12时,由12=2t2知t2=log212=2+log23,t2-t1=log231.5,故错误;浮萍每月增加的面积不相等,增长速度越来越快,错误.故选D.18.C设他需要经过x个小时才能驾车,则60(1-25%)x20,即34x13;当x=4时,344=812560),则由已知可得A8m,m,E4m,m,B8m,2m.因为点E,B在指数函数y=ax(a1)的图象上,所以m=a4m,2m=a8m,式两边平方得m2=a8m,联立,得m2-2m=0,所以m=0(舍去)或m
17、=2,所以a=2或a=-2(舍去).2.A函数f(x)=x-4+9x+1=x+1+9x+1-5可以看成由函数y=u+9u-5和u=x+1复合而成的.当x(0,2)时,u=x+1是增函数,此时u(1,3),y=u+9u-5是减函数,故f(x)是减函数;当x(2,4)时,u=x+1是增函数,此时u(3,5),y=u+9u-5是增函数,故f(x)是增函数.故当x=2时,f(x)取得最小值,依题意得a=2,b=f(2)=3+3-5=1,故g(x)=a|x+b|=2|x+1|,g(x)的图象是由y=2|x|=2x,x0,12x,x0的图象向左平移一个单位长度得到的.故选A.3.答案0a0,a1)的大致图
18、象.当0a1时(如图1),需满足02a1,即0a1时(如图2),2a2,两个函数图象不可能有两个公共点.图2所以满足题意的a的取值范围是0a0,a1)的图象经过点M(1,1),N(3,9),ba=1,ba3=9,a2=9,a=3(a=-3舍去),b=13,a+b=103.(2)由(1)得当x-3时,函数y=13x+3的图象恒在函数y=2x+t图象的上方,即当x-3时,不等式13x+3-2x-t0恒成立,亦即当x-3时,t13x+3-2xmin.设g(x)=13x+3-2x(x-3),y=13x在(-,-3上单调递减,y=-2x在(-,-3上单调递减,g(x)=13x+3-2x在(-,-3上单调
19、递减,g(x)min=g(-3)=36,t36.5.Bg(x)=(4n-1)x+1在-1,+)上是减函数,4n-10,解得n1时,f(x)的最大值为a2=9,即a=3(负值舍去),最小值n=3-1=1314,不符合题意;当0a1时,f(x)的最大值为a-1=9,即a=19,最小值n=192=18114,符合题意.综上所述,a=19.故选B.6.C当0a1时,f(x)在-,a4上单调递增,在a4,+上单调递减,因为函数f(x)在(1,3)上单调递增,所以0a1时,f(x)在-,a4上单调递减,在a4,+上单调递增,因为函数f(x)在(1,3)上单调递增,所以a1,a41,解得1f(x3)恒成立.
20、函数f(x)=2x+m2x+1=2x+1+m-12x+1=1+m-12x+1.当m1时,f(x)在R上单调递减,函数f(x)的值域为(1,m),所以f(x1)+f(x2)2且f(x3)m,所以m2,又m1,所以1m2;当m2m且f(x3)1,所以12m,解得m12,所以12m0,1+2x1,011+2x1,-1212-11+2x12,即-12f(x)0可化为a-1+2x4x=-2-2x-2-x.令t=2-x,则a-t2-t,由x(-,1,得t12,+,易知函数y=-t2-t=-t+122+14在12,+上递减,所以当t=12时,y=-t2-t取得最大值-34,所以a-34.11.解析(1)f(
21、x)是定义在R上的奇函数,f(0)=2-4+a2+a=0,解得a=2.经检验,满足题意.(2)由(1)知f(x)=22x-222x+2=2x-12x+1=1-22x+1,易知f(x)在R上单调递增,2x+11,-2-22x+10,-11-22x+10,mf(x)2x-2,mf(x)=m2x-12x+12x-2.当x(1,2)时,m(2x+1)(2x-2)2x-1,令2x-1=t(1t(t+2)(t-1)t=t-2t+1,令y=t-2t+1(1t3),函数y=t-2t+1在(1,3)上为增函数,t-2t+13-23+1=103,m103,实数m的取值范围为103,+.12.解析(1)函数f(x)
22、=1-5xa5x+1,x(b-3,2b)是奇函数,f(0)=1-a2=0,且b-3+2b=0,a=2,b=1.经检验,满足题意.(2)证明:由(1)得函数f(x)=1-25x5x+1,x(-2,2).任取x1,x2(-2,2),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=1-25x15x1+1-1-25x25x2+1=2(5x2-5x1)(5x1+1)(5x2+1),y=5x在(-2,2)上为增函数,且x1x2,5x10,又5x1+10,5x2+10,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)是区间(-2,2)上的减函数.(3)构造函数g(x)=f(x)-x,则y=g(x)是奇函数且
23、在定义域内单调递减.原不等式等价于g(m-1)g(-2m-1),m-1-2m-1,-2m-12,-2-2m-12,即m0,-1m3,-32m12,-1m0,所以a=1.(2)函数f(x)=3x+13x在(0,+)上单调递增.证明如下:任取x1,x2(0,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=3x1+13x1-3x2+13x2=(3x1-3x2)+13x1-13x2=(3x1-3x2)+3x2-3x13x13x2=(3x1-3x2)(3x13x2-1)3x13x2.因为0x1x2,所以3x11,3x21,所以(3x1-3x2)(3x13x2-1)3x13x20,即f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故函数f(x)=3x+13x在(0,+)上单调递增.(3)不存在.理由如下:由(2)知函数f(x)在(0,+)上单调递增,而函数f(x)是偶函数,则函数f(x)在(-,0)上单调递减.若存在实数m,使得对任意的tR,不等式f(t-2)f(2t-m)恒成立,则|t-2|2t-m|恒成立,即(t-2)20对任意的tR恒成立,则=-(4m-4)2-12(m2-4)0,即(m-4)20,无解,所以不存在.
