1、课时规范练35空间中的平行关系基础巩固组1.下列说法正确的是()A.若两条直线与同一条直线所成的角相等,则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C.若一条直线分别平行于两个相交平面,则一定平行它们的交线D.若两个平面都平行于同一条直线,则这两个平面平行2.已知m,n为不同的直线,为不同的平面,给出下列命题:m,mnn;m,nmn;m,m;m,n,mn其中正确命题的序号是()A.B.C.D.3.已知正方体的棱C1D1上存在一点E(不与端点重合),使得BD1平面B1CE,则下列命题正确的是()A.BD1CEB.AC1BD1C.D1E=2EC1D.D1E=EC
2、14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G均是线段A1C1上的点,且A1E=EF=FG=GC1.则下列直线与平面A1BD平行的是()A.CEB.CFC.CGD.CC15.(多选)下面四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB平面MNP的图形是()6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G,H分别是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则必有()A.BD1GHB.BDEFC.平面EFGH平面ABCDD.平面EFGH平面A1BCD17.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B
3、1C1,BB1的中点,下列四个推断中正确的是()A.FG平面AA1D1DB.EF平面BC1D1C.FG平面BC1D1D.平面EFG平面BC1D18.如图,四边形ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是四边上的点,它们共面,且AC平面EFGH,BD平面EFGH,AC=m,BD=n,则当四边形EFGH是菱形时,AEEB=.9.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足条件时,有MN平面B1BDD1.10.已知平面,和直线m,给出以下条件:m;m;m;,当条件成立时,有m;当条件成立
4、时,有m(填所选条件的序号).11.(2020陕西西安高三三模)如图,菱形ABCD的边长为4,ABC=60,E为CD中点,将ADE沿AE折起,点D移动到点P的位置使得平面APE平面ABCE,BE与AC相交于点O,H是棱PE上的一点且满足PH=2HE.(1)求证:OH平面BCP;(2)求四面体A-BPH的体积.综合提升组12.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=DD1=1,AB=3,E,F,G分别为AB,BC,C1D1的中点,点P在平面ABCD内,若直线D1P平面EFG,则线段D1P长度的最小值是()A.223B.62C.52D.7213.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D
5、1中,AB=AD=2,AA1=1.一平面截该长方体,所得截面为六边形OPQRST,其中O,P分别为AD,CD的中点,B1S=12,则AT=.14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,ACBD=P,A1C1EF=Q,如图.(1)若A1C交平面EFBD于点R,证明:P,Q,R三点共线;(2)线段AC上是否存在点M,使得平面B1D1M平面EFBD,若存在,确定M的位置;若不存在,说明理由.创新应用组15如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,底面ABCD是矩形,EFBC.(1)证明:EF平面ABCD;(2)在九章算术中,称图中所示的五面体ABCDEF
6、为“刍甍”(chmng),书中将刍甍ABCDEF的体积求法表述为“术曰:倍下袤,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而一”.其意思是:若刍甍ABCDEF的“下袤”BC的长为a,“上袤”EF的长为b,“广”AB的长为c,“高”即“点F到平面ABCD的距离”为h,则刍甍ABCDEF的体积V的计算公式为V=16(2a+b)ch,证明该体积公式.参考答案课时规范练35空间中的平行关系1.C由两条直线与同一条直线所成的角相等,可知两条直线可能平行,可能相交,也可能异面,故A错误;若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面可能平行或相交,故B错误;设=l,m,m,利用线面平行的性质定理,在平面
7、中存在直线am,在平面中存在直线bm,所以可知ab,根据线面平行的判定定理,可得b,然后根据线面平行的性质定理可知bl,所以ml,故C正确;若两个平面都平行于同一条直线,则两个平面可能平行,也可能相交,故D错误.故选C.2.A若m,mn,则n或n,命题错误;若m,n,由线面垂直的性质定理可知mn,命题正确;若m,m,则,命题正确;若,m,n,则m与n无公共点,所以,m与n平行或异面,命题错误.故选A.3.D如图,设B1CBC1=O,可得平面BC1D1平面B1CE=OE,BD1平面B1CE,根据线面平行的性质定理可得BD1OE,O为B1C的中点,E为C1D1中点,D1E=EC1.故选D.4.B如
8、图,连接AC,使AC交BD于点O,连接A1O,CF,则O为AC的中点,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1CC1,且AA1=CC1,则四边形AA1C1C为平行四边形,A1C1AC,且A1C1=AC.O,F分别为AC,A1C1的中点,A1FOC,且A1F=OC,四边形A1OCF为平行四边形,则CFA1O.CF平面A1BD,A1O平面A1BD,CF平面A1BD.故选B.5.ADA.如图,连接AC,可得ACMN,BCNP,从而得AC平面MNP,BC平面MNP,于是有平面ABC平面MNP,AB平面MNP,A正确.B.如图,连接BC交MP于点O,连接ON,易知在底面正方形中O不是BC中点(实际上
9、是四等分点中靠近C的一个),而N是AC中点,因此AB与ON不平行,则在平面ABC内,AB与ON必相交,此交点也是直线AB与平面MNP的公共点,直线AB与平面MNP相交而不平行,B错误.C.如图,连接BN,PN,MN,正方体中有PNBM,因此B在平面MNP内,直线AB与平面MNP相交而不平行,C错误.D.如图,连接CD,可得ABCD,CDNP,即ABNP,直线AB与平面MNP平行,D正确.6.D由三角形中位线定理可知,GHD1C,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以BD1,GH不可能互相平行,故A错误;由三角形中位线定理可知,EFA1B,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线
10、平行,所以BD,EF不可能互相平行,故B错误;由三角形中位线定理可知,EFA1B,而直线A1B与平面ABCD相交,故直线EF与平面ABCD也相交,故平面EFGH与平面ABCD相交,故C错误;由三角形中位线定理可知,EFA1B,EHA1D1,所以EF平面A1BCD1,EH平面A1BCD1,而EFEH=E,因此平面EFGH平面A1BCD1,故D正确.故选D.7.AC在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,FGBC1,BC1AD1,FGAD1.FG平面AA1D1D,AD1平面AA1D1D,FG平面AA1D1D.故A正确;EFA1C1,A1C1与平面BC
11、1D1相交,EF与平面BC1D1相交.故B错误;E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,FGBC1,FG平面BC1D1,BC1平面BC1D1,FG平面BC1D1.故C正确;EF与平面BC1D1相交,平面EFG与平面BC1D1相交,故D错误.故选AC.8.mnAC平面EFGH,BD平面EFGH,AC平面ABC,BD平面ABD,平面ABC平面EFGH=EF,平面ABD平面EFGH=EH,EFAC,EHBD,EF=BEABm,EH=AEABn.又四边形EFGH是菱形,BEABm=AEABn,AEEB=mn.9.点M在线段FH上E,F,G,H分别为棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是
12、BC的中点,HNDB,FHD1D,又FHHN=H,平面FHN平面B1BDD1.点M在四边形EFGH及其内部运动,若MN平面B1BDD1,则点M在线段FH上.10.根据面面平行的性质可得,若m,则m;根据线面垂直以及面面平行的性质可得,若m,则m.11.(1)证明由题意,可得CEAB,AB=2CE,所以OEOB=12.又因为PH=2HE,所以OHBP.又由BP平面BCP,OH平面BCP,所以OH平面BCP.(2)解由平面APE平面ABCE,平面APE平面ABCE=AE,在菱形ABCD中,ABC=60,所以ABC,ADC都是等边三角形,又E为CD中点,所以AECE,所以CE平面APE.因为CEAB
13、,所以AB平面APE,SAPH=23SAPE=23122432=433,所以四面体A-BPH的体积V=VB-APH=13SAPHAB=134334=1693.12.D如图,连接D1A,AC,D1C,因为E,F,G分别为AB,BC,C1D1的中点,所以ACEF,EF平面ACD1,则EF平面ACD1,因为EGAD1,所以同理得EG平面ACD1,又EFEG=E,得平面ACD1平面EFG,因为直线D1P平面EFG,所以点P在直线AC上,在ACD1中,有AD1=2,AC=2,CD1=2,所以SAD1C=12222-222=72,故当D1PAC时,线段D1P的长度最小,有SAD1C=12ACD1P,解得D
14、1P=72122=72.故选D.13.25设AT=x,则A1T=1-x.由面面平行的性质定理可知OPSR,OTQR,PQTS,则DOPB1RS.又因为DP=DO=1,所以B1S=B1R=12,所以A1S=C1R=32.由ATOC1QR,可得AOAT=C1RC1Q,所以C1Q=32x.由A1TSCQP,可得CQCP=A1TA1S,所以CQ=23(1-x),所以32x+23(1-x)=1,可得x=25,所以AT=25.14.(1)证明因为ACBD=P,AC平面AA1C1C,BD平面EFBD,所以,点P是平面AA1C1C和平面EFBD的一个公共点,同理可知,点Q也是平面AA1C1C和平面EFBD的公
15、共点,即平面AA1C1C和平面EFBD的交线为PQ.因为A1C平面EFBD=R,A1C平面AA1C1C,所以,点R也是平面AA1C1C和平面EFBD的公共点,由基本事实3可知,RPQ,因此,P,Q,R三点共线;(2)解存在点M,使得平面B1D1M平面EFBD.如下图所示,设B1D1A1C1=O,过点O作OMPQ交AC于点M,下面证明平面B1D1M平面EFBD.因为E,F分别为D1C1,B1C1的中点,所以B1D1EF.因为B1D1平面EFBD,EF平面EFBD,所以B1D1平面EFBD.又OMPQ,OM平面EFBD,PQ平面EFBD,所以OM平面EFBD.因为OMB1D1=O,OM,B1D1都
16、在平面B1D1M中,因此,平面B1D1M平面EFBD.因为E,F分别为D1C1,B1C1的中点,所以EFB1D1,且EFOC1=Q,则点Q为OC1的中点,易知A1C1AC,即OQPM,又OMPQ,所以四边形OMPQ为平行四边形,所以PM=OQ=12OC1=14A1C1=14AC.因为四边形ABCD为正方形,且ACBD=P,则P为AC的中点,所以点M为AP的中点,所以AM=12AP=14AC,因此,线段AC上存在点M,且AMAC=14时,平面B1D1M平面EFBD.15.证明(1)四边形ABCD是矩形,BCAD.又AD平面ADEF,BC平面ADEF,BC平面ADEF.又BC平面BCEF,平面AD
17、EF平面BCEF=EF,BCEF.又BC平面ABCD,EF平面ABCD,EF平面ABCD.(2)设G,H分别是棱BC,AD上的点,且满足GC=HD=EF,连接FG,FH,GH.由(1)知,GCHDEF,四边形GCEF和GCDH为平行四边形.GFCE,GHCD.又CDCE=C,平面GHF平面CDE,多面体CDE-GHF为三棱柱.因此,刍甍ABCDEF可被分割成四棱锥F-ABGH和三棱柱CDE-GHF.由题意知,在矩形ABGH中,BG=BC-CG=BC-EF=a-b,AB=c,矩形ABGH的面积S矩形ABGH=(a-b)c.又四棱锥F-ABGH的高,即“点F到平面ABCD的距离”为h,四棱锥F-ABGH的体积VF-ABGH=13S四边形ABGHh=13(a-b)ch.三棱柱CDE-GHF的体积可以看成是以矩形GCDH为底,以点F到平面ABCD的距离h为高的四棱柱体积的一半.又矩形GCDH的面积S矩形GCDH=bc,三棱柱CDE-GHF的体积VCDE-GHF=12S矩形GCDHh=12bch.故刍甍ABCDEF的体积为V=VF-ABGH+VCDE-GHF=13(a-b)ch+12bch=cha-b3+b2=16(2a+b)ch.则刍甍ABCDEF体积公式得证.
