1、荆州中学高三年级第一次质量检测数学试卷（理）命题人：谢 俊 审题人:陈 侃一.选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是（） A. a+b B. + C. 2 D. 2若随机变量xN（1，4），P（x0）= m，则P（0x2）=（）A . B. C. D. 3 直线（t为参数）被曲线所截的弦长为（）A . B. C. D. 4 若当方程所表示的圆取得最大面积时，则直线 的倾斜角（ ） A . B. C. D. 5从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x(cm)
2、160165170175180体重y(kg)6366707274根据上表可得回归直线方程0.56x，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为 ()A70.09kg B70.12kg C70.55kg D71.05kg6在区间，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2axb2+有零点的概率为 （） A . B. C. D. 7. 设a，b，c都是正数，M，Nabc，则M，N的大小关系是 ()AMN BMN CMN DMN8设函数f（x）的导函数为f（x），对任意xR都有f（x）f（x）成立，则（） A 3f（ln2）2f（ln3）B3f（ln2）=2f（ln3）C 3f（
3、ln2）2f（ln3）D3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定9将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数有 （）A . 240种 B. 300种 C. 360种 D. 420种10.如图，等腰梯形ABCD中，ABCD且AB=2，AD=1，DC=2x（x（0，1）以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值范围为 （）A . B. C. D. 二.填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11如图，的外接圆的切线与的延长线相交于点，的平分线与相交于点
4、，若，则_ 12甲、乙两种水稻试验品种连续4年的单位面积平均产量如下：品种第1年第2年第3年第4年甲9.89.910.210.1乙9.7101010.3其中产量比较稳定的水稻品种是 .13把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现反面”，事件B=“恰有一次出现正面”求= .14定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有 成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件。若函数满足利普希茨条件，则常数的最小值为 .15. 已知函数及其导数，若存在，使得=，则称是 的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是 .(填上正确的序号) ，三.解答题: （本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明
5、，证明过程或演算步骤）16.（本题满分12分）已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2) 0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求 Z = a2b3c 的最小值.17（本题满分12分）某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在1000，1500），单位：元）（）估计居民月收入在1500，2000）的概率；（）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看做有放回的抽样），求月收入在1500，2000）的居民数X的分布列和数学期望
6、18（本小题满分12分）已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为非零常数，为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.（）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；（）是否存在实数，使得直线与曲线C有两个不同的公共点、，且（其中为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由.19（本题满分12分）设函数f（x）=alnx，g（x）= x2（1）记g（x）为g（x）的导函数，若不等式f（x）+2g（x）（a+3）xg（x）在x1，e 上有解，求实数a的取值范围；（2）若a=1，对任意的x1x20，不等式mg（x1）g（x2）x1f（x1）x
7、2f（x2）恒成立求m（mZ，m1）的值20（本题满分13分）已知椭圆E：= 1（ab0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直 线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N，在线段MN上取点H，满足，试证明点H恒在一定直线上21.（本题满分14分）设函数()（）求的单调区间；（）试通过研究函数（）的单调性证明：当时，；（）证明：当,且，均为正实数, 时，参考答案（解析版）一、选择题1、C 因为ab0，则或
8、，则排除A与B；由于a2+b22ab恒成立，当且仅当a=b时，取“=”，故D错；由于ab0，则 ，即， 所以选C2、A 随机变量xN（1，4），正态曲线的对称轴是x=1，P（x0）=P（x2） P（x0）=m，P（0x2）=1mm=12m， 故选A3、C直线（t为参数）化为普通方程：直线3x+4y+1=0曲线，展开为=cossin，2=cossin，化为普通方程为x2+y2=xy，即，圆心C，圆心C到直线距离d=，直线被圆所截的弦长=故选C4、A ，当有最大半径时有最大面积，此时，直线方程为，设倾斜角为，则由且得 故选A 5、B 6、 B 由题意知本题是一个几何概型，a，b使得函数f（x）=x
9、2+2axb2+有零点，0 a2+b2试验发生时包含的所有事件是=（a，b）|a，bS=（2）2=42， 而满足条件的事件是（a，b）|a2+b2，s=422=32， 由几何概型公式得到P=， 故选B7、A 由题意不妨设abc0， 则abacbc，由排序不等式，知abacbcabacbc，即MN当且仅当abc时等号成立故选A8、C 令g（x）=，则=，因为对任意xR都有f（x）f（x），所以g（x）0，即g（x）在R上单调递增，又ln2ln3，所以g（ln2）g（ln3），即，所以，即3f（ln2）2f（ln3）， 故选C9、D 四棱锥为PABCD下面分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论
10、，（1）各个点的不同的染色方法 P：C51，A：C41，B：C31，C与B同色：1，D：C31 ，故共有 C41C31C31 种（2）各个点的不同的染色方法 P：C51，A：C41，B：C31，C与B不同色C21，D：C21，故共有C41C31C21C21 种由分步计数原理可得不同的染色方法总数有 C41C31C31 +C41C31C21C21 =420 故选D10、B 由已知易求得 ， =1 但 + 2中，不能取“=”， + =+=+令t= 则 + = t(0 , 1) + （ ，+） 故选 B二、填空题11、4 ，而，所以所以， ，所以12、甲甲的平均数是=10 乙的平均数是=10，两个品
11、种的平均数相同，甲的方差是 乙的方差是=0.045甲的方差小于乙的方差，即甲的产量比较稳定 故答案为：甲13、3/714、 1/2 15、 :中的函数，。要使，则，解得，可见函数有巧值点；对于中的函数，要使，则，由对，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于中的函数，要使，则，由函数与的图象它们有交点，因此方程有解，原函数有巧值点；对于中的函数，要使，则，即，显然无解，原函数没有巧值点；对于中的函数，要使，则，即，设函数，且，显然函数在上有零点，原函数有巧值点。三 、解答题16、(1)因为f(x2)m|x|， f(x2)0等价于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的
12、解集为1,1，故m1. 6分(2)由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式得Z=a2b3c(a2b3c)29. Z=a2b3c 的最小值为9 . 12分17、（）由题意，居民月收入在1500，2000）的概率约为1（0.0002+0.0001+0.0003+0.00052）500=10.0016500=10.8=0.2 2分（）由频率分布直方图知，中位数在2000，2500），设中位数为x，则0.0002500+0.2+0.0005（x2000）=0.5，解得x=24006分（）居民月收入在1000，2000）的概率为0.0002500+0.2=0.3， 由题意知，XB（3，0.3），因此，
13、10分故随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.3430.441 0.189 0.027 X的数学期望为30.3=0.9 12分18、（），可将曲线C的方程化为普通方程：. 2分时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆； 4分 当时，曲线C为中心在原点的椭圆. 6分（）直线的普通方程为：. 8分联立直线与曲线的方程，消得，化简得.若直线与曲线C有两个不同的公共点，则，解得.又 10分故.解得与相矛盾. 故不存在满足题意的实数. 12分19、（1）不等式f（x）+2g（x）（a+3）xg（x），即为，化简得：，由x1，e知xlnx0，因而，设，由=当x（1，e）时x10，y0在x1，e 时
14、成立由不等式有解，可得知，即实数a的取值范围是，+）.6分（2）当a=1，f（x）=lnx由mg（x1）g（x2）x1f（x1）x2f（x2）恒成立，得mg（x1）x1f（x1）mg（x2）x2f（x2）恒成立，设由题意知x1x20，故当x（0，+）时函数t（x）单调递增，t（x）=mxlnx10恒成立，即恒成立，因此，记，得，函数在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，函数h（x）在x=1时取得极大值，并且这个极大值就是函数h（x）的最大值由此可得h（x）max=h（1）=1，故m1，结合已知条件mZ，m1，可得m=1 .12分20、（1）由题意可得，解得，c=1，所以椭圆E： 2分
15、（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y0），Q（x1，y1），因为PF2F2Q，所以，所以y1y0=2（x11）又因为且代入化简得即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值 7分.（3）设过P（3，3）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x1，y1），N（x2，y2），点H（x，y），则，设，则，（3x1，3y1）=（x23，y23），（xx1，yy1）=（x2x，y2y）整理得，从而，由于，我们知道与的系数之比为2：3，与的系数之比为2：3，所以点H恒在直线2x+3y2=0上 13分21、（）由，有， 1分当，即时，单调递增；当，即时， 单调递减；所以的单调递增区间为，单调递减区间为 3分（）设（），则，5分 由（）知在单调递减，且，在恒成立，故在单调递减，又，得，即：8分（）由，及柯西不等式： ， 所以，. 11分又，由（）可知，即，即.则.故. 14分