1、2008年期考数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1已知集合=, ,则为 （ ）A B. C.1 D.（）2若函数的定义域是,则其值域为 （ ）A. B. C. D.3在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为 ( )ABCD4对于不重合的两个平面，给定下列条件： 存在平面，使得都垂直于； 存在平面，使得都平行于； 存在直线，直线，使得； 存在异面直线l、m，使得 其中，可以判定与平行的条件有（ ）A1个B2个C3个D4个5.已知首项为正数的等差数列an满足:a2005+a20060,a2005a20060成立的最大自然数n是 ( ) A. 4009 B.
2、4010 C. 4011 D.40126. 函数的反函数图像大致是 （ ） A B C D7. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为A1D1、B1C1的中点，则在面BCC1B1内到BC的距离是到EF的距离的2倍的点的轨迹是（ ）A一条线段 B椭圆的一部分 C抛物线的一部分 D双曲线的一部分8.已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）ABCD9.已知函数在上恒正，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 10. 如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30方向2 km处，河流的
3、没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离 比到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物.经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）A(22)a万元B5a万元C(2+1) a万元D(2+3) a万元二、填空题：本大题5个小题，每小题5分，共25分11已知函数f(x)=Acos2(x+)+1（A0，0）的最大值为3，f(x)的图象在y轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为2，则f(1)+f(2)+f(3)+f(100)=_12. 设点P是曲线y=x3x+2上的任意一点,P点处切线倾斜角为,则角的
4、取值范围是_13.若函数满足：对于任意都有，且成立，则称函数具有性质M. 给出下列四个函数：，.其中具有性质M的函数是 （注：把满足题意的所有函数的序号都填上）14如图,在杨辉三角中,斜线l上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿数列:1,3,3,4,6,5,10,记其前n项和为Sn,则S19等于_. 11 1 l 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 15. 已知f（x+y）=f(x)f(y)对任意的实数x、y都成立,且f(1)=2,则+= _.三、解答题：本大题6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明推理过程或计算步骤.16（本题满分12分）已知函数f
5、(x)=a+bsin2x+ccos2x的图象经过点A（0，1），B（， 1）,且当x0, 时，f(x)取得最大值21.（）求f(x)的解析式；（）是否存在向量，使得将f(x)的图象按向量平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出最小的;若不存在，说明理由. 17（本小题满分12分）已知一次函数的图象关于直线对称的图象为C，且，若点在曲线C上，并有 求的解析式及曲线C的方程； 求数列的通项公式； 设，求的值 18（本题满分12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点。()求证：AM平面BDE；() 求二面角ADFB的大小.（）试问：在线段
6、AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为60？19（本题满分13分）如图，一载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶，其中在距离O地5a（a为正数）公里北偏东角的N处住有一位医学专家，其中sin= 现有110指挥部紧急征调离O地正东p公里的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当两车行驶的路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时. （1）求S关于p的函数关系； （2）当p为何值时，抢救最及时.20.（本题满分13分）已知=（c,0）(c0), =(n,n)(nR), |的最小值为1,若动点P同时满足下列三个条件:| = |(ac
7、0); = (其中=(,t),0,tR); 动点P的轨迹C经过点B(0,1) .()求c的值; ()求曲线C的方程; ()是否存在方向向量为a=(1,k)(k0)的直线l,使l与曲线C交于两个不同的点M、N,且|=|?若存在,求出k的范围;若不存在,请说明理由.21（本题满分13分）如图，过点P(1,0)作曲线C: 的切线，切点为,设点在x轴上的投影是点；又过点作曲线C的切线，切点为,设在x轴上的投影是；依此下去,得到一系列点,设点的横坐标为.（）试求数列的通项公式；（用的代数式表示）（）求证：（）求证：（注：）.参考答案及评分标准一、选择题1C 易知A=-1，0，1，B=1，2，故AB=1.
8、2D 分x1与2x0, S4011=4011a20060的最大自然数是4010,故选B. 本小题结论可以推广成一般结论:等差数列中,a10,ak+ak+10,且akak+10的最大自然数n是2k.6B 原函数的图象是由y=图象向下移动一个单位,且在(,0),(0,)上为减函数,所以其反函数的图象是由y=的图象向左移动一个单位,且在定义域上为减函数.7B 易知面BCC1B1内的点到点F的距离是到BC的距离倍的，由椭圆的第二定义即知.8D 设 M F双曲线的交点为P，焦点F（c,0）, F2(c,0),由平面几何知识知：F2PFM，又|F F2|=2c 于是 |PF2| =2csin60=c |P
9、F1| =c 故 2a= |PF2| |PF1| =cc =（ 1）c e= =+1.9C 特值法：令a=2与可知在上恒正，显然选项D不正确.10B 依题意知PMQ曲线是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支（以B为焦点），此双曲线的离心率为2，以直线AB为轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为 x21，点C的坐标为（3，）.则修建这条公路的总费用=a|MB|+2|MC|=2a|MB|+|MC|,设点M、C在右准线上射影分别为点M 、C ，根据双曲线的定义有|M M|=|MB|，所以=2a|M M|+|MC|2a|C C|=2a（3-）=5a.当且仅当点M在线段C C上时
10、取等号，故的最小值是5a.二、填空题11.200 易知A=2 ,= ,=,y=2cos(x+)=2sinx,从而f(1)+f(2)+f(3)+f(100)=2100=200.12. 解析y=3x2, tan 又 0 013.、 可通过作差比较得到结论.14. 283 解析 由条件知道:该数列的奇数项分别为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,偶数项分别为3,4,5,6,7,8,9,10,11,把奇数项的前10项与偶数项的前9项相加即得S19=283. 15. 4012 解析f(1+0)=f(1)f(0),2=2f(0),f(0)=1 f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)=2
11、2, f(3)=f(2+1)=f(2)f(1)=23, 依此类推:f(2005)=22005,f(2006)=22006, 原式=4012.三、解答题16解：解： （）由题意知 b=c=1a, f(x)=a+(1a)sin(2x+).x0, , 2x+,. 当1a0时，由a+(1a)=21,解得a=1; 当1a0时， a+(1a)=21,无解; 当1a=0时，a=21，相矛盾. 综上可知a=1. f(x)=1+2sin(2x+). 6分。()略17解：设，则 ，即又，是曲线C的解析式因为点在曲线C上，所以，又，故k1，代入得f(x)x1，曲线C的方程是由知当时，故而，于是，即因为所以，所以18
12、方法一解: ()记AC与BD的交点为O,连接OE, 1分 O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，四边形AOEM是平行四边形， 2分AMOE. 3分平面BDE， 平面BDE， AM平面BDE. 4分 ()在平面AFD中过A作ASDF于S，连结BS，ABAF， ABAD， AB平面ADF， 5分AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BSDF.BSA是二面角ADFB的平面角。 7分在RtASB中， 8分 二面角ADFB的大小为60. 9分（）设CP=t（0t2）,作PQAB于Q，则PQAD，PQAB，PQAF，PQ平面ABF，QF平面ABF， PQQF. 11分 在RtPQF中，FP
13、Q=60，PF=2PQ.PAQ为等腰直角三角形， 12分又PAF为直角三角形， 所以t=1或t=3(舍去)即点P是AC的中点. 14分方法二（ 仿上给分） （）建立如图所示的空间直角坐标系。 设，连接NE， 则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）, NE=(, 又点A、M的坐标分别是 （）、（ AM=（NE=AM且NE与AM不共线，NEAM.又平面BDE， 平面BDE，AM平面BDF.（）AFAB，ABAD，AFAB平面ADF. 为平面DAF的法向量。NEDB=（=0，NENF=（=0得NEDB，NENF，NE为平面BDF的法向量。cos=AB与NE的夹角是60.即所求二面角ADFB的大小是
14、60.（）设P(t,t,0)(0t)得DA=（0，0，），又PF和AD所成的角是60.解得或（舍去），即点P是AC的中点.19解：（1）以O为原点，正北方向为y轴建立直角坐标系，则 设N（x0，y0）， 又B（p，0），直线BC的方程为： 由得C的纵坐标，（2）由（1）得 ，当且仅当时取等号，当公里时，抢救最及时.20解:()法一: |= ,当n= 时, |min=1,所以c=. 3分法二:设G(x,y),则G在直线y=x上,所以|的最小值为点F到直线y=x的距离,即=1,得c=.()= (0),PE直线x= , 又 | = | (ac0). 点P在以F为焦点,x= 为准线的椭圆上. 5分设P
15、(x,y), 则有 = |x|, 点B(01)代入, 解得a=.曲线C的方程为 +y2=1 7分()假设存在方向向量为a0=(1,k)(k0)的直线l满足条件,则可设l:y=kx+m(k0),与椭圆+y2=1联立,消去y得(1+3k2)x2+6kmx+3m23=0. 10分由判别式0,可得m23k2+1. 设M(x1,y1),N(x2,y2), MN的中点P(x0,y0),由|BM|=|BN|, 则有BPMN.由韦达定理代入kBP=,可得到m= 联立,可得到 k210, 12分 k0, 1k0或01时,切线过点,即,解得.数列是首项为，公比为的等比数列，故所求通项 . 4分 () 由（1）知 9分()设,则,两式相减得，. 故. 14分