1、第1讲函数的图象与性质考点一函数的概念与表示理清对应，分类先行1函数的三要素定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则2分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数例 1(1)2022北京卷函数f(x)1x+1-x的定义域是_；(2)2022浙江卷已知函数f(x)-x2+2，x1，x+1x-1，x1，则ff12_；若当xa，b时，1f(x)3，则ba的最大值是_听课记录归纳总结1函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有
2、意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可2分段函数问题的5种常见类型及解题策略(1)求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算(2)求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小(3)解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提(4)求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程(5)奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断对点训练1.2022河源市河源中学模拟函数f(x)1log22x2-9x+14-2的定义域为_22022河北正定中学高三模拟已知函数f(x)x+2，x
3、12fx+3，x0)恒成立，则yf(x)是周期为_的周期函数(2)若yf(x)是偶函数，其图象又关于直线xa对称，则f(x)是周期为_的周期函数(3)若yf(x)是奇函数，其图象又关于直线xa对称，则f(x)是周期为_的周期函数(4)与函数周期性有关的3条结论若f(xT)f(x)，则_是f(x)的一个周期；若f(xT)1fx，则_是f(x)的一个周期；若f(xT)1fx，则_是f(x)的一个周期例 2 (1)2022全国乙卷已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)g(2x)5，g(x)f(x4)7.若yg(x)的图象关于直线x2对称，g(2)4，则k=122fk()A21 B22C
4、23 D24(2)2022山师大附中高三模拟已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)f(x)0，且f(1x)f(1x)，则下列结论一定正确的是()Af(x2)f(x)B函数yf(x)的图象关于点(2，0)对称C函数yf(x1)是奇函数Df(2x)f(x1)(3)2022全国乙卷若fxln a+11-xb是奇函数，则a_，b_听课记录归纳总结高考常考函数四个性质的应用(1)奇偶性，具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论f(x)f(|x|)；(2)单调性，可以比较大小、求函数最值、解不等式、证
5、明方程根的唯一性；(3)周期性，利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解；(4)对称性，常围绕图象的对称中心设置试题背景，利用图象对称中心的性质简化所求问题对点训练1.2021全国乙卷设函数f(x)1-x1+x，则下列函数中为奇函数的是()Af(x1)1 Bf(x1)1Cf(x1)1 Df(x1)122021全国甲卷设函数f(x)的定义域为R，f(x1)为奇函数，f(x2)为偶函数，当x1，2时，f(x)ax2b.若f(0)f(3)6，则f92()A94B32C74D52考点三函数的图象及应用识图用图，数形结合作函数图象有两种基本方法一是描点法，二
6、是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换例 3 (1)2022全国乙卷如图是下列四个函数中的某个函数在区间3，3的大致图象，则该函数是()Ay-x3+3xx2+1Byx3-xx2+1Cy2xcosxx2+1 Dy2sinxx2+1(2)已知函数f(x)是定义在2，)的单调递增函数，若f(2a25a4)2，ax-1，x2是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是()A14a0 Ba14C1a14Da1考点四新定义下的函数交汇创新紧扣定义，学会翻译，知识转化，顺利获解新定义函数问题主要包括两类：(1)概念型：即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素(定义域、对应法则
7、、值域)作为重点，考查考生对函数概念的深入理解；(2)性质型：即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查考生灵活应用函数性质的能力例 4 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(nN*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数给出下列函数：f(x)sin 2x；g(x)x3；h(x)13x；(x)ln x.其中是一阶整点函数的是()A BCD归纳总结本题意在考查学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻
8、译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解对点训练设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的xD，存在yD，使得f(x)f(y)成立，则称函数f(x)为“函数”. 给出下列四个函数：yx3；yx24x5；yx35；y|2xx2|.则其中是“函数”的有()A1个 B2个C3个 D4个第1讲函数的图象与性质考点一例1解析：(1)由题意可得x0，1-x0，解得x1且x0，所以函数f(x)的定义域为(，0)0，1.(2)因为f12122274，所以ff12f7474+4713728.易得f(x)在(，0)上是增函数，在
9、(0，1)上是减函数，在(1，)上是增函数，且f(1)1，f(0)21)，得x23.所以当a1，b23时，ba取得最大值，为33.答案：(1)(，0)0，1(2)372833对点训练1解析：由题意可知log2(2x29x14)20，而以2为底的对数函数是单调递增的，因此2x29x144，求解可得x52.答案：(，2)52，+2解析：f(x)x+2，x12fx+3，x1，f(10)2f(7)4f(4)8f(1)16f(2)32.答案：32考点二3(1)f(|x|)(2)0(3)相同相反4(1)2a(2)2|a|(3)4|a|(4)|T|2|T|2|T|例2解析：(1)若yg(x)的图象关于直线x
10、2对称，则g(2x)g(2x)因为f(x)g(2x)5，所以f(x)g(2x)5，所以f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数由g(2)4，f(0)g(2)5，得f(0)1.由g(x)f(x4)7，得g(2x)f(x2)7，代入f(x)g(2x)5，得f(x)f(x2)2，所以f(x)的图象关于点(1，1)中心对称，所以f(1)f(1)1.由f(x)f(x2)2，f(x)f(x)，得f(x)f(x2)2，所以f(x2)f(x4)2，所以f(x4)f(x)，所以f(x)为周期函数，且周期为4.由f(0)f(2)2，得f(2)3.又因为f(3)f(1)f(1)1，所以f(4)2f(2)1，所以k=1
11、22fk6f(1)6f(2)5f(3)5f(4)6(1)6(3)5(1)5124.故选D.(2)对于A选项，因为f(x)f(x)0，且f(1x)f(1x)，则f(1(1x)f(1(1x)，即f(x2)f(x)，A错；对于B选项，因为f(x2)f(x)，则f(x4)f(x2)f(x)，因为f(x)f(x)0，则f(2x)f(2x)0，即f(2x)f(2x)f(2x)，即f(2x)f(2x)0，故函数yf(x)的图象关于点(2，0)对称，B对；对于C选项，因为f(1x)f(1x)，故函数yf(x1)是偶函数，C错；对于D选项，因为f(1x)f(1x)，则f(11x)f(1(1x)，即f(2x)f(
12、x)f(x1)，D错故选B.(3)本题先采用特殊值法求出f(x)，再检验正确性因为f(x)为奇函数，所以f0=0，f2+f-2=0，即lna+1+b=0，lna-1+lna+13+2b=0.由可得bln |a1|.将代入可得，a-1a+13|a1|2.当(a1)(a13)(a1)2时，解得a12.把a12代入，可得bln 2，此时f (x)ln -12+11-xln 2ln1+x1-x，所以f(x)f (x)ln 1-x1+xln 1+x1-xln 10，所以f (x)为奇函数，且f(0)，f(2)，f(2)均有意义当(a1)(a13)(a1)2时，整理可得a223a130，此时494131，
13、所以35cos 335，与图象不符，故C不符合题意对于D选项，当x3时，y2sin3100，与图象不符，故D不符合题意综上，用排除法选A.(2)因为函数f(x)是定义在2，)的单调递增函数，且f(2a25a4)f(a2a4)，所以2a2-5a+42a2+a+422a2-5a+4a2+a+4a12或a2aR0a6，解得0a12或2a6.故选C.(3)当1x0时，0x11，则f(x)12f(x1)12(x1)x；当1x2时，0x11，则f(x)2f(x1)2(x1)(x2)；当2x3时，0x21，则f(x)2f(x1)22f(x2)22(x2)(x3)，由此可得f(x)12x+1x，-1x0，xx
14、-1，0x1，2x-1x-2，1x2，22x-2x-3，2x3，由此作出函数f(x)的图象，如图所示由图可知当20，当x(2，0)2，+时，f(x)0，所以由xf(x1)0可得：x00x-12或x0，解得：1x0或1x3，所以满足xf(x1)0的x的取值范围是1，01，3，故选D.答案：D3解析：因为f(x)ax2+x-1，x2，ax-1，x2是R上的单调递减函数，所以其图象如图所示，则a0，-12a2，2a-14a+2-1，解得a1，故选D.答案：D考点四例4解析：对于函数f(x)sin 2x，它的图象只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D；对于函数g(x)x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，所以它不是一阶整点函数，排除A；对于函数h(x)13x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(1，3)，所以它不是一阶整点函数，排除B.答案：C对点训练解析：由题意，得“函数”f(x)的值域关于原点对称，因为yx3与yx35的值域都为R，所以这两个函数均为“函数”，而yx24x5的值域为1，)，y|2xx2|的值域为0，)，故不是“函数”，故选B.答案：B
