1、江西省南昌市第二中学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法解：因为NM.所以“aM”是“aN”的必要而不充分条件故选B2.已知全集为，集合,，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化简集合A，得到，再求其补集，然后化简集合B，再求两个集合的交集.【详解】因为，所以化简得，所以，又因为
2、，化简得，故.故选：D【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查运算求解的能力，属于基础题.3.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，则（ ）A. 2B. 4C. -2D. -4【答案】C【解析】【分析】先求出的值，再由函数的奇偶性得出可得出结果【详解】由题意可得，由于函数是定义在上的奇函数，所以，故选C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求值，求函数值时要结合自变量的取值选择合适的解析式来计算，考查计算能力，属于基础题4.设随机变量，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由随机变量，根据独立重复试验的概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，随机变量，所以，故选A.【点
3、睛】本题主要考查了二项分布的概率的计算，其中解答中熟记独立重复试验的概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.有下列四个条件：，；，；，；、是异面直线，.其中能保证直线/平面的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用线面平行的判定定理可判断；利用线面的位置关系可判断；【详解】对于，由线面平行的判定定理可知直线/平面；对于，则直线平面或直线平面；对于，则直线平面或直线平面；对于，、是异面直线，则，直线/平面.故选：C.【点睛】本题考查线面平行的判断，考查线面平行判定定理的应用，考查推理能力，属于基础题.6.若且满足，则的最小值是（
4、）A B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：原式整理成，等号成立的条件是时，所以最小值就是7考点：基本不等式求最值7.从中不放回地依次取个数，事件“第一次取到的是奇数”，事件“第二次取到的是奇数”，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】由题意得，选A8.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀总计甲班10b乙班c30总计105已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（ ）参考公式：附表：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828
5、A. 列联表中c的值为30，b的值为35B. 列联表中c的值为15，b的值为50C. 根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D. 根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”【答案】C【解析】【分析】根据题意可求出成绩优秀的学生数是，所以成绩非优秀的学生数是，即可求出的值，判断出的真假，再根据列联表求出K2，即可由独立性检验的基本思想判断出的真假【详解】由题意知，成绩优秀的学生数是，成绩非优秀的学生数是，所以c20，b45，选项A，B错误；根据列联表中的数据，得到6.1093.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”，选项C
6、正确故选：C【点睛】本题主要考查独立性检验的基本思想的应用，属于基础题9. 某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（ ）A. 36种B. 30种C. 24种D. 6种【答案】B【解析】试题分析：从人中选出两个人作为一个元素有种方法，同其他两个元素在三个位置上排列，其中有不符合条件的，即学生甲，乙同时参加同一学科竞赛有种结果，不同的参赛方案共有，故选B.考点：计数原理的应用.10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】该空间几何
7、体是由具有相同底面和高的三棱柱和三棱锥组合而成，分别求出体积即可.【详解】该空间几何体是由具有相同底面和高的三棱柱和三棱锥组合而成，底面三角形的面积为，三棱柱和三棱锥的高为1，则三棱柱的体积，三棱锥的体积为，故该几何体的体积为.故选A.【点睛】本题考查了空间组合体的三视图，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.11.已知函数是单调函数，且时，都有，则（ ）.A. -4B. -3C. -1D. 0【答案】C【解析】【分析】函数是单调函数，是一个定值，因此可以设为常数k，那么，且，由此可解得k，即得的值。【详解】由题得，设，k是一个常数，则有，解得，.故选：C【点睛】本题考查求函数解析式，解题关键
8、是根据是定值，设，进而求出。12.设函数，则使得成立的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过定义判断函数为偶函数，利用求导的方法判断函数在单调递增，利用函数的单调性化简，可得的范围.【详解】，故为偶函数，当时，故在上为增函数.综上为偶函数，且在上为增函数.故可得.即，解得或故选：B【点睛】本题考查了函数的奇偶性、导数在研究函数的应用和函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力、数学运算能力和转化的数学思想，属于一般题目.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13.如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去掉一个点
9、使得余下的个点所对应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是_【答案】. 【解析】分析：由于点越靠近回归直线，则相关性越强，相关系数越大，又由于点E到回归直线的距离最大，所以要去掉点E.详解：由于点E到回归直线的距离最大，所以去掉点E后，剩下的5个点对应的相关系数会最大.点睛：（1）本题主要考查回归直线方程和相关系数，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2) 两个变量之间线性相关关系的强弱用相关系数来衡量.相关系数 ，表示两个变量正相关；，表示两个变量负相关；的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强.的绝对值越接近0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常，的绝对值大于0.75时
10、，表明两个变量的线性相关性很强.14.的展开式中x2项的系数为_.【答案】【解析】分析】先求出的通项公式，此展开式中的次数为偶数，所以的展开式中x2项的系数是由中的常数项与负二次项的系的和组成.【详解】解：的通项公式，为偶数 当时， ，此时展开式的常数项为，当时，此时展开式的的系数为，所以的展开式中x2项的系数为，故答案为：【点睛】此题考查利用二项式定理的通项公式求某一项的系数，考查计算能力，属于中档题.15.已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b，使得关于x的方程f
11、（x）=b有三个不同的根，则，解得，故m的取值范围是.【考点】分段函数，函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.16.下列四种说法：命题“，”的否定是“，”；若不等式解集为，则不等式的解集为；对于，恒成立，则实数a的取值范围是；已知p：，q：（），若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 正确的有_.【答案】【解析】【分析】根据全称命题否定的求解，二次不等式的求解，恒成立问题求参数的方法以及由命题的
12、充分性求参数范围的方法，结合选项进行逐一分析即可求得.【详解】对：命题“，”的否定是“，”，故错误；对：不等式的解集为，故可得，解得，故不等式等价于，解得，故正确；对：，恒成立等价于，当时，显然不成立；当时，只需即可，解得，故正确；对：p是q的充分不必要条件，故可得在恒成立.则只需，整理得即可，又，故解得.故正确.故答案为：.【点睛】本题考查全称命题的否定的求解，二次不等式的求解，二次函数恒成立问题求参，属综合困难题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 选修4-5：不等式选讲已知函数，M为不等式的解集.（）求M；（）证明：当a，b时，.【答案
13、】（）；（）详见解析.【解析】试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，试题解析：（I）当时，由得解得；当时，；当时，由得解得.所以的解集.（）由（）知，当时，从而，因此【考点】绝对值不等式，不等式的证明. 【名师点睛】形如（或）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为，（此处设）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集（2）图象法：作出函数和的图象，结合图象求解18.为了了解地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如
14、下统计数据：年份20152016201720182019足球特色学校（百个）0.300.601.001.401.70（1）根据上表数据，利用与的相关系数，说明与的线性相关性强弱（已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）；（2）求关于的线性回归方程，并预测地区2020年足球特色学校的个数（精确到个）.本题参考公式和数据：，.【答案】（1）答案见解析；（2）；208个.【解析】【分析】（1）求出，代入公式计算即可；（2）根据公式求出回归方程，根据回归方程计算预测结果.【详解】解：（1），所以，所以y与线性相关性很强.（2），关于的线性回归方程是.当时，百
15、个，即地区2020年足球特色学校有208个.【点睛】本题考查相关系数的计算以及回归方程的计算，考查学生对公式的运用，是中档题.19.已知函数（1）若是定义在上的偶函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若，求函数的零点【答案】（1）；（2）有两个零点，分别为和【解析】【详解】试题分析：（1）由函数为偶函数得即可求实数的值；（2），计算令，则即可.试题解析：(1)解：是定义在上的偶函数.，即故.经检验满足题意（2）依题意.则由，得，令，则解得.即.函数有两个零点，分别为和.20.如图所示，梯形中，平面平面，且四边形为矩形，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）
16、证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质得面，再运用线面垂直的判定证得平面，根据面面垂直的判定可得证；（2）由三棱锥的等体积法求得点到平面的距离，设直线与平面所成角为，运用线面角的定义得，可得答案.【详解】（1）证明：，又平面平面，且平面平面，面，面，又平面，在中，在中，又，平面，平面，平面平面；（2）解：由（1）可知为直角三角形，且，作于，则，由已知平面平面，且平面平面，面，面，因为，所以为等腰三角形，设点到平面的距离为，直线与平面所成角为.则，即，解得：，又因为，所以.【点睛】本题考查空间中的线线、线面、面面垂直关系的判定和性质，以及线面角的求解方法，属于中档题.21.在
17、一个不透明的盒中，装有大小、质地相同的两个小球，其中1个是黑色，1个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者得0分，一人比另一人多3分或取满9次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多3分时，得分高者才能获得游戏奖品.已知前3次取球后，甲得2分，乙得1分.（1）求甲获得游戏奖品的概率；（2）设表示游戏结束时所进行的取球次数，求的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为.【解析】【分析】（1）由于前3次取球后，甲得2分，乙得1分，所以甲获得游戏奖品有3种情况：第4次和第5次甲都取到白球
18、，从而得到取5次球甲获奖的概为；第4次或第5次中乙有1次取到白球，则到第7次中甲有3次取到白球，从而得到取7次球甲获奖的概率为；共取9次球，从第4次到第9次中，甲取到4次白球且第9必取到白球，若甲第7次取到白球，则甲第8次必为白球，4，5，6次中有1次为白球有3种，若甲第7次取到黑球，则4，5次中有1次为白球有2种，从而得到取9次球甲获奖的概率为，再由互斥事件的概率公式可得答案；（5）由（1）的求解中可知，可能取5，7，9，用（1）的方法先分别求出等于5，7的概率，从而可得为9的概率，然后列出分布列即可.【详解】解：（1）设甲获得游戏奖品为事件A：，所以甲获得游戏奖品的概率为；（2）X可能的取
19、值为：5，7，9；，分布列为579的数学期望.【点睛】此题考查了互斥事件和相互独立事件概率的求法，考查了离散型随机变量的分布列，考查了分析问题的能力，属于中档题.22.已知函数g(x)=x2-2ax+1在区间上的值域为.（1）求a的值；（2）设函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；若函数有三个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；.【解析】【分析】（1）先对函数配方求出抛物线的对称轴，然后分对称轴在区间两侧和区间内三种情况求g(x)的值域，再与已知的值域比较即可求出a的值；（2）在上恒成立等价于在上恒成立，若令，则，所以只要求出函数在上的最小值即可；若令，则，所以问题转化为有两个不等实根且或，再构造函数，利用一元二次方程根的分布情况可求解.【详解】解：在区间上的值域，若时，的最小值为，由，可得舍去，此时满足在区间上的值域；若时，在递减，的最小值为，由，解得舍去；若，则在递增，的最小值为，由，解得（舍去），综上可得，；（2）由已知可得，所以在上恒成立可化为，化为，令，则，因，故，记，因为，故，所以的取值范围是.由得，令则有两个不等实根且或记则或两不等式组解集分别为与的取值范围是.【点睛】此题考查二次函数与一元二次方程的关系，考查函数零点，考查了数学转化思想和分类思想，考查计算能力，属于中档题.