1、课时规范练36空间直线、平面的垂直基础巩固组1.给定下列四个命题,其中真命题是()A.垂直于同一直线的两条直线相互平行B.若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两条直线相互平行C.垂直于同一平面的两个平面相互平行D.若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直2.,是两个平面,l,m是两条直线,且l,m,则下列命题中正确的是()A.若,则lmB.若,则lmC.若,则lmD.若,则lm3.如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,则下列结论中不正确的是()A.ACSBB.ADSCC.平面SAC平面SBDD.BDSA4.(已知平面,直线n,直
2、线m,则下列命题正确的是()A.mnB.mnC.mD.mnm5.(多选)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是()6.已知AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于A,B的一点,D为下底面圆周上一点,且AD圆柱的底面,则必有()A.平面ABC平面BCDB.平面BCD平面ACDC.平面ABD平面ACDD.平面BCD平面ABD7.在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA=PB=PC,则点O是ABC的心;(2)若PAPB,PBPC,PCPA,则点O是ABC的心.8.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点
3、,当点M满足条件:BMDM,DMPC,BMPC中的时,平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件序号即可).9.在矩形ABCD中,ABBC,现将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中,给出下列结论:存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直;存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直;存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.其中正确结论的序号是.10.如图1,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E,F分别在线段BC,AD上,EFAB,将矩形ABEF沿EF折起,记折起后的矩形为矩形MNEF,且平面MNEF平面ECDF,如图2.(1)求证:NC平面MFD;(2)若EC
4、=3,求证:NDFC;(3)求四面体NEFD体积的最大值.11.如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,APC=90.(1)证明:平面PAB平面PAC;(2)设DO=2,圆锥的侧面积为3,求三棱锥P-ABC的体积.综合提升组12.(多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为线段BC1上的一个动点,下列结论中正确的是()A.A1DD1PB.平面PAD1平面BCC1B1C.存在唯一的点P,使得CPD1为90D.当点P为BC1中点时,CP+PD1取得最小值13.刘徽注九章算术商功“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,
5、鳖臑居一,不易之率也.合两鳖臑三而一,验之以棊,其形露矣.”如图1解释了由一个长方体得到“堑堵”“阳马”“鳖臑”的过程.堑堵是底面为直角三角形的直棱柱;阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥;鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体.图1图2在如图2所示由正方体ABCD-A1B1C1D1得到的堑堵ABC-A1B1C1中,当点P在下列三个位置:A1A中点,A1B中点,A1C中点时,分别形成的四面体P-ABC中,鳖臑的个数为()A.0B.1C.2D.314.(多选)如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC,PA=2AB,下列结论正确的是()A.PBAEB.平面PAE平面
6、PDEC.异面直线PD与BC所成角为30D.直线PD与平面PAB所成角的余弦值为10415.如图1,AD,BC是等腰梯形CDEF的两条高,AD=AE=CD=2,点M是线段AE的中点,将该等腰梯形沿着两条高AD,BC折叠成如图2所示的四棱锥P-ABCD(E,F重合,记为点P).(1)求证:BMDP;(2)求点M到平面BDP的距离h.创新应用组16.如图是第七届国际数学教育大会的会徽,它的主题图案由一连串如图所示的直角三角形演化而成.设其中的第一个RtOA1A2是等腰三角形,且A1A2=A2A3=AnAn+1=1,则OA2=2,OA3=3,OAn=n,现将OA1A2沿OA2翻折成OPA2,则当四面
7、体O-PA2A3体积最大时,它的表面有个直角三角形;当PA3=1时,四面体O-PA2A3外接球的体积为.17.如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,侧棱SA底面ABCD,过点A作AE垂直SB交SB于点E,作AH垂直SD交SD于点H,平面AEH交SC于点K,点P为SA上一动点,且AB=1,SA=2.(1)证明不论点P在何位置,都有DBPC;(2)求PB+PH的最小值;(3)设平面AEKH与平面ABCD的交线为l,求证:BDl.参考答案课时规范练36空间直线、平面的垂直1.D正方体同一顶点的三条棱两两垂直,则垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故A错误;若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,
8、那么两直线可以相交,也可以平行,故B错误;正方体的两个相邻侧面都垂直于底面,这两个侧面不平行,故C错误;利用反证法证明如下:若两个平面,垂直,假设平面内与它们的交线l不垂直的直线l1与另一个平面垂直.因为l1,且平面,的交线l,故可得l1l,这与题设l与l1不垂直相互矛盾,故假设不成立,原命题成立.故选D.2.B若,因为m,l,所以m,lm,故B正确,A错误.若,因为m,所以m或m,则l与m可能平行,可能相交,可能异面,故C,D错误.3.DSD底面ABCD,SB在平面ABCD的射影BD与AC垂直,则SBAC,A正确;SC在平面ABCD的射影DC与AD垂直,则SCAD,B正确;利用上述垂直可得A
9、C平面SBD,且AC平面SAC,从而有平面SAC平面SBD,C正确;若BDSA,则BD垂直SA在平面ABCD内的射影DA,这不符合题意,D错误.故选D.4.C若直线n,直线m,则m与n可能异面,可能平行,故A错误;由直线n,直线m,则m与n可能平行,可能相交,可能异面,故B错误;由直线m,m,可得,故C正确;由直线n,直线m,mn,则m与可能平行,可能相交,故D错误.故选C.5.BD对于A,由AB与CE所成角为45,可得直线AB与平面CDE不垂直;对于B,由ABCE,ABED,CEED=E,可得AB平面CDE;对于C,由AB与CE所成角为60,可得直线AB与平面CDE不垂直;对于D,连接AC,
10、由ED平面ABC,可得EDAB,同理可得ECAB,又EDEC=E,所以AB平面CDE.故选BD.6.B因为AB是圆柱上底面的一条直径,所以ACBC.又AD圆柱的底面,所以ADBC,因为ACAD=A,所以BC平面ACD.又BC平面BCD,所以平面BCD平面ACD.故选B.7.(1)外(2)垂(1)如图,连接OA,OB,OC,OP,在RtPOA,RtPOB和RtPOC中,PA=PB=PC,所以OA=OB=OC,即点O为ABC的外心.(2)如图,延长AO,BO,CO分别交BC,AC,AB于H,D,G.因为PCPA,PBPC,PAPB=P,所以PC平面PAB,又AB平面PAB,所以PCAB,因为ABP
11、O,POPC=P,所以AB平面PGC,又CG平面PGC,所以ABCG,即CG为ABC边AB上的高.同理可证BD,AH分别为ABC边AC,BC上的高,即点O为ABC的垂心.8.(或)PA底面ABCD,PABD.底面各边都相等,ACBD.PAAC=A,BD平面PAC,BDPC.当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD,而PC平面PCD,平面MBD平面PCD.9.假设AC与BD垂直,过点A作AEBD于点E,连接CE.则AEBDBDACBD平面AEC,则BDCE,而在平面BCD中,CE与BD不垂直,故假设不成立,不正确.假设ABCD,ABAD,AB平面ACD,ABAC,由ABBC可知,存在这样的
12、直角三角形,使ABAC,故假设成立,正确.假设ADBC,CDBC,BC平面ACD,BCAC,即ABC为直角三角形,且AB为斜边,而ABBC,故矛盾,假设不成立,不正确.10.(1)证明因为四边形MNEF,EFDC都是矩形,所以MNEFCD,MN=EF=CD.所以四边形MNCD是平行四边形,所以NCMD,因为NC平面MFD,所以NC平面MFD.(2)证明连接ED,设EDFC=O.因为平面MNEF平面ECDF,且NEEF,所以NE平面ECDF,所以FCNE.又EC=CD,所以四边形ECDF为正方形,所以FCED.所以FC平面NED,所以NDFC.(3)解设NE=x,则EC=4-x,其中0x4.由(
13、1)得NE平面FEC,所以四面体N-FEC的体积为VN-FEC=13SEFCNE=12x(4-x),所以VN-FEC12x+(4-x)22=2.当且仅当x=4-x,即x=2时,四面体N-FEC的体积有最大值2.11.(1)证明由题设可知,PA=PB=PC.由于ABC是正三角形,故可得PACPAB,PACPBC.又APC=90,故APB=90,BPC=90.从而PBPA,PBPC,故PB平面PAC,所以平面PAB平面PAC.(2)解设圆锥的底面半径为r,母线长为l.由题设可得rl=3,l2-r2=2.解得r=1,l=3.从而AB=3.由(1)可得PA2+PB2=AB2,故PA=PB=PC=62.
14、所以三棱锥P-ABC的体积为1312PAPBPC=1312623=68.12.AB利用正方体的特征可知A1DBC1,A1DC1D1,且BC1C1D1=C1,所以A1D平面BC1D1.因为D1P平面BC1D1,则A1DD1P,所以A正确;因为平面PAD1即为平面ABC1D1,因为AB平面BCC1B1,且AB平面PAD1,所以平面PAD1平面BCC1B1,所以B正确;设正方体的棱长为1,C1P=x,0x2,在CC1P中,CP2=CC12+C1P2-2CC1C1Pcos4=x2+1-2x,在RtC1D1P中,D1P2=C1P2+C1D12=x2+1,当CPD1=90时,CD12=2=CP2+D1P2
15、=2x2+2-2x,即2x2-2x=0,解得x=0或x=22,所以当点P与点C1重合或P为BC1的中点时,满足CPD1为90,所以满足条件的点P不唯一,所以C不正确;将正方体的对角面ABC1D1进行翻折,使其与BCC1在同一平面内,可得图形如图所示,根据平面内两点之间直线段最短,所以当P为CD1与BC1的交点时,CP+PD1取得最小值,显然P不为BC1中点,所以D不正确.故选AB.13.C设正方体的棱长为a,则由题意知,A1C1=AC=2a,A1B=2a,A1C=3a,当P为A1A的中点时,因为PA平面ABC,则PAC=PAB=90,ABC=90.由BC平面PAB,得BCPB,即PBC=90,
16、则PAB,PAC,ABC,PBC是直角三角形,即此时P-ABC是鳖臑;当P为A1B的中点时,因为BC平面ABB1A1,所以BCPB,BCAB,所以PBC,ABC为直角三角形.因为ABB1A1是正方形,所以APBP,则PAB是直角三角形,又APBC,BPBC=B,所以AP平面PBC,所以APPC,所以PAC是直角三角形,则此时P-ABC是鳖臑;当P为A1C的中点时,此时PA=PC=12A1C=3a2,又AC=2a,由勾股定理可知,PAC不是直角三角形,则此时P-ABC不是鳖臑.故选C.14.ABD连接BD,根据正六边形性质得ABAE,因为PA平面ABC,AE平面ABC,所以PAAE.因为PA,A
17、B为平面PAB内两相交直线,所以AE平面PAB.因为PB平面PAB,所以PBAE,故A正确;根据正六边形性质得DEAE,因为PA平面ABC,DE平面ABC,所以PADE,因为PA,AE为平面PAE内两相交直线,所以DE平面PAE.因为DE平面PDE,所以平面PAE平面PDE,故B正确;根据正六边形性质得ADBC,所以PDA为异面直线PD与BC所成角,因为PA=2AB=AD,所以PDA=4,即异面直线PD与BC所成角为45,故C错误;上面已证AE平面PAB,因为BDAE,所以BD平面PAB,所以DPB为直线PD与平面PAB所成角,因为PA=2AB,所以PD=2PA,PB=52PA,所以cosDP
18、B=PBPD=522=104,故D正确.15.(1)证明因为ADEF,所以ADAP,ADAB.又APAB=A,AP,AB平面ABP,所以AD平面ABP.因为BM平面ABP,所以ADBM.由已知得,AB=AP=BP=2,所以ABP是等边三角形.又因为点M是AP的中点,所以BMAP.因为ADBM,APBM,ADAP=A,AD,AP在平面ADP中,所以BM平面ADP.因为DP平面ADP,所以BMDP.(2)解取BP中点N,连接DN,因为AD平面ABP,AB=AP=AD=2,所以DP=BD=22,所以DNBP,所以,在RtDPN中,DN=DP2-PN2=8-1=7.所以SDBP=12BPDN=1227
19、=7,因为AD平面ABP,所以VD-BMP=13ADSBMP.因为VM-BDP=VD-BMP,所以13hSBDP=13ADSBMP.又SBMP=12SABP=1234AB2=3822=32,所以h=ADSBMPSBDP=37=217,即点M到平面BDP的距离为217.16.443当四面体OPA2A3体积最大时,平面OPA2平面OA2A3,因为A2A3OA2,所以根据平面与平面垂直的性质定理可得A2A3平面OPA2,所以A2A3PA2,所以PA2A3为直角三角形,所以PA3=PA22+A2A32=1+1=2,又OP=1,OA3=3,所以OA32=OP2+PA32,所以OPPA3,所以三角形OPA
20、3为直角三角形,所以它的表面有4个直角三角形.当PA3=1时,因为PO=PA2=PA3=1,所以点P在平面OA2A3内的射影是直角三角形OA2A3的外心,也就是OA3的中点M,且四面体O-PA2A3的外接球的球心N在直线PM上,如图,因为OP=1,OA3=3,得PM=12,设NA3=NP=R,则在直角三角形NMA3中,由勾股定理可得NA32=NM2+MA32,即R2=(R-12)2+322,解得R=1,所以四面体O-PA2A3外接球的体积为43R3=43.17.(1)证明底面ABCD是正方形,DBAC.SA底面ABCD,BD平面ABCD,DBSA.又SAAC=A,BD平面SAC.不论点P在何位
21、置都有PC平面SAC,DBPC.(2)解将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内,如图所示,则当B,P,H三点共线时,PB+PH取最小值,这时,PB+PH的最小值即线段BH的长,设HAD=,则BAH=-,SD=5,在RtAHD中,AH=SAADSD=25,cos=AHAD=25,在BAH中,由余弦定理得BH2=AB2+AH2-2ABAHcos(-)=1+45-225-25=175,(PB+PH)min=BH=855.(3)证明连接EH,AB=AD,SA=SA,RtSABRtSAD,SB=SD.又AESB,AHSD,AE=AH,RtSEARtSHA,SE=SH,SESB=SHSD,EHBD.又EH平面AEKH,BD平面AEKH,平面AEKH平面ABCD=l,BDl.
