1、综合拔高练 五年高考练 考点 1 点与圆的位置关系 1.(2020 北京,5,4 分,)已知半径为 1 的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4 B.5 C.6 D.7 考点 2 直线与圆的位置关系 2.(2020 全国,5,5 分,)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线 2x-y-3=0的距离为()A.55 B.255 C.355 D.455 3.(2020 全国,10,5 分,)若直线 l 与曲线 y=和圆 x2+y2=15都相切,则 l 的方程为()A.y=2x+1 B.y=2x+12 C.y=12x+1 D.y=12x+12 4.(2020 全国,6
2、,5 分,)已知圆 x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2019 浙江,12,6 分,)已知圆 C 的圆心坐标是(0,m),半径长是 r.若直线 2x-y+3=0 与圆C 相切于点 A(-2,-1),则 m=,r=.考点 3 圆的方程的综合应用 6.(2020 全国,11,5 分,)已知M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线 l:2x+y+2=0,P 为 l 上的动点.过点 P 作M 的切线 PA,PB,切点为 A,B,当|PM|AB|最小时,直线 AB 的方程为()A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0 C
3、.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0 7.(2018 课标全国,8,5 分,)直线 x+y+2=0 分别与 x 轴,y 轴交于 A,B 两点,点 P 在圆(x-2)2+y2=2 上,则ABP 面积的取值范围是()A.2,6 B.4,8 C.2,32 D.22,32 8.(2018 江苏,12,5 分,)在平面直角坐标系 xOy 中,A 为直线 l:y=2x 上在第一象限内的点,B(5,0),以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D.若 =0,则点 A 的横坐标为 .考点 4 圆的方程在实际生活中的应用 9.(2019 江苏,18,16 分,)如图,一个湖的边界是圆心为 O 的圆
4、,湖的一侧有一条直线型公路 l,湖上有桥 AB(AB 是圆 O 的直径).规划在公路 l 上选两个点 P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段 PB,QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径.已知点 A,B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD(C,D 为垂足),测得 AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路 PB 与桥 AB 垂直,求道路 PB 的长;(2)在规划要求下,P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路 PB 和 QA 的长度均为 d(单位:百米),求当 d 最小时,P,Q 两点间的距离.三年模
5、拟练 应用实践 1.(2020 山东烟台莱州一中高二期中,)过点 P(4,2)作圆 x2+y2=4 的两条切线,切点分别为A、B,O 为坐标原点,则OAB 的外接圆的方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=5 B.(x-2)2+(y-1)2=20 C.(x+2)2+(y+1)2=5 D.(x+4)2+(y+2)2=20 2.(2020 江苏赣榆高级中学高二月考,)已知圆 O:x2+y2=4 上恰有三个点到直线 l:y=x+b 的距离等于 1,则实数 b 的值为()A.2或-2 B.2 或-2 C.-2或-2 D.-2 或 2 3.(2020 江苏泰州姜堰中学高二期中,)设点 M(3,4)在圆
6、 O:x2+y2=r2(r0)外,若圆 O 上存在点 N,使得OMN=3,则 r 的取值范围是()A.52,+)B.532,+)C.532,5)D.52,5)4.(2020江 苏 泰 州 靖 江 高 级 中 学 期 中,)平 面 上 的 两 个 向 量 和,|=cos,|=sin,0,2 ,=0,若 向 量=+(,R),且(2-1)2cos2+(2-1)2sin2=14,则|的最大值为()A.32 B.34 C.35 D.37 5.(多选)()设有一组圆 Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(kN*).下列四个命题中为真命题的是()A.存在一条定直线与所有的圆均相切 B.存在一条定直
7、线与所有的圆均相交 C.存在一条定直线与所有的圆均不相交 D.所有的圆均不经过原点 6.(多选)(2020 山东潍坊高二期中,)已知圆 C:x2+y2=4,直线 l:x+y+m=0,则下列结论正确的是()A.当 m=2 时,直线 l 与圆 C 相交 B.Q(x1,y1)为圆 C 上的点,则(x1-1)2+(y1-22)2的最大值为 9 C.若圆 C 上有且仅有两个不同的点到直线 l 的距离为 1,则 m 的取值范围是(2,32)D.若直线 l 上存在一点 P,圆 C 上存在两点 A、B,使APB=90,则 m 的取值范围是-4,4 7.(2020 江苏常州高级中学高二期中,)2020 年是中国
8、传统的农历“鼠年”,有人用 3 个圆组成“卡通鼠”的形象,如图所示,其中 Q(0,-3)是圆 Q 的圆心,圆 Q 过坐标原点 O;点 L、S均在 x 轴上,圆 L 与圆 S 的半径都等于 2,圆 S、圆 L 均与圆 Q 外切.已知直线 l 过点 O,若直线 l 被圆 L、圆 S、圆 Q 所截得的弦长均等于 d,则 d=.8.(2020 上海杨浦高级中学高二期中,)定义一个圆的圆心到一条直线的距离与该圆的半径之比,叫作直线关于圆的距离比,记作.已知圆 C1:x2+y2=1,直线 l:3x-4y+m=0.(1)若直线 l 关于圆 C1的距离比=2,求实数 m 的值;(2)当 m=0 时,若圆 C2
9、与 y 轴相切于点 A(0,3),且直线 l 关于圆 C2的距离比=65,试判断圆 C1与圆 C2的位置关系,并说明理由.9.(2020 山东潍坊一中高二期中,)如图,已知圆 C:x2+y2-4x-14y+45=0 及点 Q(-2,3).(1)若点 P(m,m+1)在圆 C 上,求直线 PQ 的斜率以及直线 PQ 与圆 C 的相交弦 PE 的长度;(2)若 N(x,y)是直线 x+y+1=0 上任意一点,过 N 作圆 C 的切线,切点为 A,当切线长 NA 最小时,求点 N 的坐标,并求出这个最小值;(3)若 M(a,b)是圆上任意一点,求-3+2的最大值和最小值.迁移创新 10.(2020
10、广东佛山一中高二上期中,)规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的位置,我们说球 A 是指该球的球心点 A.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.将所有的球都简化为平面上半径为 1 的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平面直角坐标系,解决下列问题:(1)如图,若母球 A 的位置为(0,0),目标球 B 的位置为(4,0),要使目标球 B 向 B(8,-4)处运动,求母球 A 的球心运动的直线方程;(2)如图,若母球 A 的位置为(0,-2),目标球 B 的位置
11、为(4,0),能否让母球 A 击打目标球 B后,使目标球 B 向 B(8,-4)处运动?(3)当 A 的位置为(0,a)时,使得母球 A 击打目标球 B,目标球 B(42,0)可以向能碰到目标球C(72,-52)的方向运动,求 a 的最小值(只需要写出结果即可).图 图 2.12.3 综合拔高练 五年高考练 1.A 设圆心为 A(x,y),由已知得(x-3)2+(y-4)2=1,即 A 在以(3,4)为圆心,1 为半径的圆上,所以圆心 A 到原点的距离的最小值为(3-0)2+(4-0)2-1=5-1=4.故选 A.2.B 设圆心为 P(x0,y0),半径为 r,圆与 x 轴,y 轴都相切,|x
12、0|=|y0|=r,又圆经过点(2,1),x0=y0=r 且(2-x0)2+(1-y0)2=r2,(r-2)2+(r-1)2=r2,解得 r=1 或 r=5.r=1 时,圆心 P(1,1),则圆心到直线 2x-y-3=0 的距离为|2-1-3|22+(-1)2=255;r=5 时,圆心 P(5,5),则圆心到直线 2x-y-3=0 的距离为|10-5-3|22+(-1)2=255.故选 B.3.D 由选项知直线 l 的斜率为 2 或12,不妨假设为 2,设直线 l 与曲线 y=的切点为 P(x0,y0),则12 0-12=2,解得 x0=116,则 y0=14,即 P(116,14),显然点
13、P 在圆 x2+y2=15内,不符合题意,所以直线 l的斜率为12,又直线 l 与圆 x2+y2=15相切,所以只有 D 项符合题意,故选 D.4.B 由 x2+y2-6x=0 得圆心为(3,0),设此点为 C,点(1,2)为 A,当过点 A 的弦与 AC 垂直时,弦长最小,易知|AC|=22+(1-3)2=22,因为半径,半弦长,弦心距三者所在的直线围成直角三角形,所以弦的长度的最小值为 232-(22)2=2,故选 B.5.答案-2;5 解析 设直线 2x-y+3=0 为 l,则 ACl,又 kl=2,kAC=+10+2=-12,解得 m=-2,C(0,-2),r=|AC|=(0+2)2+
14、(-2+1)2=5.6.D 如图,由题可知,ABPM,|PM|AB|=2S 四边形 APBM=2(SPAM+SPBM)=2(|PA|+|PB|),|PA|=|PB|,|PM|AB|=4|PA|=4|2-|2=4|2-4,当|PM|最小时,|PM|AB|最小,易知|PM|min=54+1=5,此时|PA|=1,ABl,设直线 AB 的方程为 y=-2x+b(b-2),圆心 M 到直线 AB 的距离 d=|3-|5,|AB|=4|=45,d2+|2|2=|MA|2,即(3-)25+45=4,解得 b=-1 或 b=7(舍去).综上,直线 AB 的方程为 y=-2x-1,即 2x+y+1=0,故选
15、D.7.A 圆心(2,0)到直线 x+y+2=0 的距离为|2+2|2=22,圆的半径为2,设点 P 到直线的距离为 d,则 dmin=22-2=2,dmax=22+2=32,又易知 A(-2,0),B(0,-2),|AB|=22,(SABP)min=12|AB|dmin=12222=2,(SABP)max=12|AB|dmax=122232=6.ABP 面积的取值范围是2,6.故选 A.8.答案 3 解析 设 A(a,2a),a0,D(xD,yD),则 C(+52,),圆 C 的方程为(-+52)2+(y-a)2=(-5)24+a2,由(-+52)2+(-)2=(-5)24+2,=2,可得=
16、1,=2,=(5-a,-2a)(-32,2-)=2-2-152+2a2-4a=0,a=3 或 a=-1,又 a0,a=3,点 A 的横坐标为 3.9.解析 解法一:(1)过 A 作 AEBD,垂足为 E.由已知条件得,四边形 ACDE 为矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因为 PBAB,所以 cosPBD=sinABE=810=45.所以 PB=cos=1245=15.因此道路 PB 的长为 15 百米.(2)不能,理由如下:若 P 在 D 处,由(1)可得 E 在圆上,则线段 BE 上的点(除 B,E)到点 O 的距离均小于圆 O 的半径,所以 P 选在 D 处不满足规划要求.若
17、Q 在 D 处,连接 AD,由(1)知 AD=2+2=10,从而 cosBAD=2+2-22=7250,所以BAD 为锐角.所以线段 AD 上存在点到点 O 的距离小于圆 O 的半径.因此 Q 选在 D 处也不满足规划要求.综上,P 和 Q 均不能选在 D 处.(3)先讨论点 P 的位置.当OBP90时,在PP1B 中,PBP1B=15.由上可知,d15.再讨论点 Q 的位置.由(2)知,要使得 QA15,点 Q 只有位于点 C 的右侧,才能符合规划要求.当 QA=15时,CQ=2-2=152-62=321.此时,线段 QA 上所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径.综上,当 PBAB,
18、点 Q 位于点 C 右侧,且 CQ=321时,d 最小,此时 P,Q 两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321.因此,d 最小时,P,Q 两点间的距离为(17+321)百米.解法二:(1)如图,过 O 作 OHl,垂足为 H.以 O 为坐标原点,直线 OH 为 y 轴,建立平面直角坐标系.因为 BD=12,AC=6,所以 OH=9,直线 l 的方程为 y=9,点 A,B 的纵坐标分别为 3,-3.因为 AB 为圆 O 的直径,AB=10,所以圆 O 的方程为 x2+y2=25.从而 A(4,3),B(-4,-3),直线 AB 的斜率为34.因为 PBAB,所以直线 PB 的斜率为-43
19、,直线 PB 的方程为 y=-43x-253.所以 P(-13,9),PB=(-13+4)2+(9+3)2=15.因此道路 PB 的长为 15 百米.(2)若 P 在 D 处,取线段 BD 上一点 E(-4,0),则 EO=45,所以 P 选在 D 处不满足规划要求.若 Q 在 D 处,连接 AD,由(1)知 D(-4,9),又 A(4,3),所以线段 AD:y=-34x+6(-4x4).在线段 AD 上取点 M(3,154),因为 OM=32+(154)232+42=5,所以线段 AD 上存在点到点 O 的距离小于圆 O 的半径.因此 Q 选在 D 处也不满足规划要求.综上,P 和 Q 均不
20、能选在 D 处.(3)先讨论点 P 的位置.当OBP90时,在PP1B 中,PBP1B=15.由上可知,d15.再讨论点 Q 的位置.由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由 AQ=(-4)2+(9-3)2=15(a4),得 a=4+321,所以 Q(4+321,9).此时,线段 QA 上所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径.综 上,当P(-13,9),Q(4+3 21,9)时,d最 小,此 时P,Q两 点 间 的 距 离PQ=4+321-(-13)=17+321.因此,d 最小时,P,Q 两点间的距离为(17+321)百
21、米.三年模拟练 1.A 由题意知,O、A、B、P 四点共圆,所求圆的圆心为线段 OP 的中点(2,1),其半径 r=12|OP|=5,所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,故选 A.2.A 圆 O:x2+y2=4,直线 l:y=x+b,圆 O 上恰有三个点到直线 l 的距离等于 1,圆心 O(0,0)到直线 l:y=x+b 的距离 d=1,|2=1,解得 b=2或 b=-2.故选 A.3.C 如图所示:若圆 O:x2+y2=r2(r0)上存在点 N,使得OMN=3,则OMN 的最大值大于或者等于3 时,一定存在点 N,使得OMN=3,当 MN 与圆相切时,OMN 取得最大值,此时 OM
22、=5,在 RtONM 中,sinOMN=5 32,解得 ON532,即 r532,又 M(3,4)在圆外,所以 32+42r2,解得 r5.综上所述,532 rd,Ck含于 Ck+1之中,选项 A 错误;当 k 无限增大时,可以认为所有直线都与圆相交,选项 C 错误;将(0,0)代入圆 Ck的方程,则有(-k+1)2+9k2=2k4,即 10k2-2k+1=2k4(kN*),因为等号左边为奇数,等号右边为偶数,所以不存在 k 使此式成立,即所有圆均不经过原点,选项 D 正确.故选 BD.6.AD 对于 A 选项,当 m=2 时,直线 l 的方程为 x+y+2=0,圆 C 的圆心为 C(0,0)
23、,圆心 C 到直线 l 的距离 d=22=22,则直线 l 与圆 C 相交,A 选项正确;对于 B 选项,点 Q 与点(1,22)之间的距离的最大值为(0-1)2+(0-22)2+2=5,所以(x1-1)2+(y1-22)2的最大值为 25,B 选项错误;对于 C 选项,当圆 C 上有且仅有两个不同的点到直线 l 的距离为 1 时,如图所示:由于圆 C 的半径为 2,因此圆心 C 到直线 l 的距离 d 满足|2-d|1,解得 1d3,即 1|2 3,解得-32m-2或2m0),则2+32=2+3,所以 a=4,即 S(4,0),则 L(-4,0).由题意知直线 l 的斜率存在,故设直线 l
24、的方程为 y=kx+m(k0),点 L,S,Q 到该直线的距离分别为 d1,d2,d3,则 d1=|-4+|2+1,d2=|4+|2+1,d3=|3+|2+1,则 d2=4(4-12)=4(4-22)=4(9-32),即 4-(|-4+|2+1)2=4-(|4+|2+1)2=9-(|3+|2+1)2,解得 m=0,k2=421,则 d2=4(4-16 4211+421)=14425,所以 d=125(负值舍去).8.解析(1)由题意得|5=2,解得 m=10.(2)当 m=0 时,直线 l 的方程为 3x-4y=0,设 C2:(x-a)2+(y-3)2=a2,则|3-12|5|=65,解得 a
25、=-4 或 a=43.当 a=-4 时,C2:(x+4)2+(y-3)2=16,则两圆的圆心距 d1=5,两圆的半径之和为 1+4=5,因此两圆外切;当 a=43时,C2:(-43)2+(y-3)2=169,则两圆的圆心距 d2=(43-0)2+(3-0)2=973,两圆的半径之和为 1+43=73,因此两圆外离.9.解析(1)将点 P(m,m+1)代入圆 C 的方程,得 m2+(m+1)2-4m-14(m+1)+45=0,所以 m=4,故P(4,5),故直线 PQ 的斜率 k=5-34-(-2)=13,因此直线 PQ 的方程为 y-5=13(x-4),即 x-3y+11=0,将圆 C 的方程
26、化为标准方程得(x-2)2+(y-7)2=8,则圆心 C(2,7),圆 C 的半径r=22,则圆心 C(2,7)到直线 PQ 的距离 d=|2-37+11|10=4105,所以 PE=22-2=28-(4105)2=4105.(2)NA=2-2=2-8,当 NC 最小,即 NCl 时,NA 最小,NCmin=|2+7+1|2=52,易得过点 C 且与直线 x+y+1=0 垂直的直线的方程为 x-y+5=0,N(-3,2).(3)-3+2表示直线 MQ 的斜率 k,当直线 MQ 为圆 C 的切线时,斜率取得最值.设直线 MQ 的方程为 b-3=k(a+2),即 ka-b+2k+3=0.当直线 M
27、Q 与圆相切时,圆心到直线 MQ 的距离为|2-7+2+3|2+1=22,两边平方并整理,得(4k-4)2=8(k2+1),解得 k=2-3或 k=2+3.所以-3+2的最大值和最小值分别为 2+3和 2-3.10.解析(1)过点B(4,0)与点B(8,-4)的直线方程为x+y-4=0,由题意知,A,B两球碰撞时,球 A 的球心在直线 x+y-4=0 上,且在第一象限,此时|AB|=2.设 A,B 两球碰撞时球 A 的球心坐标为 A(a,b),则有 +-4=0,(-4)2+2=2,0,0,解得=4-2,=2,即 A,B 两球碰撞时球 A 的球心坐标为 A(4-2,2),所以母球 A 运动的直线
28、方程为y=24-2x=22+17x.(2)不 能.如 图,由(1)知,A(4-2,2),又A(0,-2),B(4,0),所 以=(4-2,2+2),=(-2,2),所以 =(4-2,2+2)(-2,2)=4-220,故AAB 为锐角.所以点 B(4,0)到线段 AA的距离小于 2,故球 A 的球心未到直线 BB上的点 A之前就会与球 B 碰撞.故不能让母球 A 击打目标球 B 后,使目标球 B 向 B(8,-4)处运动.(3)a 的最小值为-22.要使得 a 最小,临界条件为母球 A 从目标球 B 的左上方 A处撞击目标球 B 后,目标球 B 从目标球 C 的右上方 B1处撞击目标球 C.如图所示,设 B1(x,y)是目标球 B 可碰到目标球 C 的所有路径中最远离 BC 的那条路径上离目标球 C 最近的点,则有1 1,|1|=2,即(-42)(-72)+(+52)=0,(-72)2+(+52)2=4,所以=82,=-42,B1(82,-42),直线 CB1 的倾斜角为 45,直线 AB 的倾斜角为 135,易得A(32,2).过 A(32,2)作倾斜角为 45的直线,交 y 轴于点 A,易得 A(0,-22),若a-22,则母球 A 会在到达 A之前就与目标球 B 碰撞,不符合题意.因此 a 的最小值为-22.
