1、拉萨中学高三年级（2021届）第四次月考理科数学试题（满分：150分，考试时间：120分钟。请将答案填写在答题卡上）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,则( )A. B. C. D.2.已知（其中为虚数单位）,则的虚部为()A. B. -1 C. 1 D. 23.已知，则( )A. B. C. D.4.为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论： 样本数据落在区间的频率为0.45；如果规
2、定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有的当地中小型企业能享受到减免税政策；样本的中位数为480万元.其中正确结论的个数为（ ）A0B1C2D35.已知， , ，则的大小关系为( )A. B. C. D. 6.底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是( )A.4 B.8 C. D. 7.若两个正实数满足,则的最小值为( )A.5 B.6C.7 D.8 8.宋元时期,中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰四大家”,朱世杰就是其中之一.朱世杰是一位平民数学家和数学教育家.朱世杰平生勤力研习九章算术,旁通其它各种算法,成为元代著名数
3、学家.他全面继承了前人数学成果,既吸收了北方的天元术,又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀,在此基础上进行了创造性的研究,写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的算学启蒙,其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.如图,是源于其思想的一个程序框图.若输入的分别为3,1,则输出的（ ）A. 2 B. 3 C. 4D. 59.若函数 (其中，)图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象( )A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度10.已知，
4、设则大致图象是（ ）A. B. C. D. 11.已知双曲线的右顶点为,以为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于两点.若,则双曲线的离心率为( )A.B.C.D.212.已知函数的定义域为，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上。 13、设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 . 14、在边长为1 的正三角形中,设，则 _. 15、在中,已知，,则_. 16、下列说法: 函数 的零点只有1个且属于区间 ; 若关于 的不等式 恒成立,则; 函数的图像与函数的图像有3个不同的交点; 函数的
5、最小值是1. 正确的有 .(请将你认为正确的说法的序号都写上) 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）设数列是公差不为零的等差数列，其前n项和为.若成等比数列.（1）求及；（2）设，求数列前n项和.18.（本小题满分12分）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动,该滑雪场的收费标准是滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为元(超过部分不足1小时的按1小时计算).甲、乙两人相互独立地来到该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为,
6、又知两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量.求的分布列与数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，底面，点分别为棱的中点，是线段的中点，（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为,点在上(1)求椭圆的标准方程；(2)设为坐标原点,试判断在椭圆上是否存在三个不同点(其中的纵坐标不相等),满足,且直线与直线倾斜角互补？若存在,求出直线的方程,若不存在,说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数,.(1) 当时,讨论函数的零点个数；(2) 若在上单调递增,且求c的
7、最大值.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小题满分10分）在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)M为曲线上的动点,点P在线段上,且满足，求点P的轨迹的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为,点B在曲线上,求面积的最大值.23.（本小题满分10分）已知设函数（1）若，求不等式的解集；（2）若函数的最小值为1,证明： 理科数学参考答案题号123456789101112答案CBADACCCBDAB1.答案：C2.答案：B解析：,3.答案：A4.答案：D解析：由频率分布直方图可得, .样本数据落在区间的频率
8、为,正确.年收入在500万元以内的频率为,估计有的当地中小型企业能享受到减免税政策,正确.样本的中位数为,正确.所以正确的个数有3个.5.答案：A6.答案：C解析：根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；画出图形,如图所示;所以该四棱锥的底面积为,高为所以该四棱锥的体积是.7.答案：C解析：，8.答案：C9.答案：B解析：根据已知函数 (其中，)的图象过点，可得，解得再根据五点法作图可得，可得，可得函数解析式为，故把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故选B10.答案：D11.答案：A解析：双曲线的右顶点为,不妨设圆与渐近线交于两点.由,可得到渐近线的距离为,可得,
9、即,可得的离心率为.故选A.12.答案：B解析：，可得，令，则，其中，又，则，即，因此实数的取值范围是，故选B.二、填空题13、 答案：4 14、 答案： 15、答案： 16、 答案： 解析： 试题分析:函数 在 上是增函数,且 , .所以正确. 当 时原不等式变形为 ,恒成立;当 时,要使关于 的不等式 恒成立,则 ,综上可得关于 的不等式 恒成立时 .故不正确. 由函数图像可知函数 的图像与函数 的图像只有一个交点,故不正确. , 时, ,所以此函数在 上单调递增.所以 .故正确. 三、解答题17.解（1）由题意，得，解得，所以.（2）因为，所以18.解：（1）若两人所付费用相同,则相同的
10、费用可能为0元,元,元.两人都付0元的概率为;两人都付元的概率为;两人都付元的概率为；则两人所付费用相同的概率为（2）由题意得的所有可能取值为.;。的分布列为0P19.解：（1）证明：取中点，连接，为中点，平面，平面，平面为中点，又分别为的中点，则平面，平面，平面又，且，平面，平面平面，又平面，则平面；（2）解：底面，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，由，得，取，得由图可得平面的一个法向量为二面角的余弦值为，则正弦值为； 20.解析：(1)由题意知可得,解得, 则椭圆的方程为； (2)由题意,直线的斜率存在且不为0,设直线方程为,设点, 联立,得,所以
11、, ,因为,所以,因为在椭圆上,所以,化简得, 满足,又因为直线与直线倾斜角互补,所以,所以,所以,所以,所以, 因为,所以,代入得, 所以存在满足条件的三个点,此时直线的方程为或. 21.解析：(1)当时, ,定义域为, 由可得,令, 则,由,得,由,得,所以在上单调递增,在上单调递减, 则 的 最 大 值 为, 且当时, ,当时, ,由此作出函数的大致图象,如图所示.由图可知,当时,直线和函数的图象有两个交点,即函数有两个零点； 当或 ,即或时,直线和函数的图象有一个交点,即函数有一个零点； 当 即时 ,直线与函数的 象 没 有 交 点 ,即 函数无零点. (2)在上单调递增,即在上恒成立.设,则 .若,则,在上 单 调递减,显 然在上不恒成立,若,则,在上单调递减, 当时, ,故,单调递减,不符合题意.若,当时, 单调递减,当时 , , 单调递增,所以, 由 ,得,设,则,当时 , , 单调递减, 当时, , 单调递增,所以,所以, 又,所以,即c的最大值为2. 22.解析：(1)设P的极坐标为，M的极坐标为由题设知， 由得的极坐标方程因此的直角坐标方程为(2)设点B的极坐标为由题设知，于是面积当时，S取得最大值所以面积的最大值为. 23.解析：（1），不等式，即当时，当时，当时，解集为（2）,