1、专题八 排列、组合和概率（文）考情动态分析 排列与组合是发展迅速的组合数学的初步的知识这种以计数为特征的内容在中学数学中较为独特，是进一步学习高等数学有关知识的准备，而且由于其思想方法较为独特灵活，也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材概率与统计是在排列与组合的基础上，学习概率的一些初步的知识，让学生初步感受概率与统计的实际意义及思考方法，培养学生分析和解决实际问题的能力. 从今年全国及16省市的高考题来看，题目类型基本上都相同，一般是选择题、填空题12道，解答题1道，分值为1721分，难度为低、中档题，全面考查基础内容，并且注重了应用性和综合性及数学思想的考查 由于这部分内容与高等数学的
2、内容密切相关，同时为了进一步推动高中数学课程的教学改革，这一章的高考试题特点将会保持稳定8.1 排列、组合与二项式定量考点核心整合项 目内 容两个原理分类计数原理做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1+m2+m3+mn种不同的方法分步计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2m3mn种不同的方法排列排列从n个不同元素中，任取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，
3、叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列排列数公式从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用表示为=n(n-1)(n-2)(n-m+1)当m=n时，为全排列，即=n(n-1)(n-2)321=n!排列数公式可写成：=(规定0!=1)组合组合从n个不同元素中,任取m(mn)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.组合数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用表示.组合数公式=,还可以写成=.组合数性质=;=+.二项式定理展开式(a+b)n=an+an-1b+an
4、-rbr+bn.通项第r+1项Tr+1=an-rbr(r=0,1,2,n).二项式系数(r=0,1,2,n)注意(1)它表示二项展开式中的任意项,只要n与r确定,该项也随之确定.(2)通项公式表示的是第r+1项,而不是第r项.(3)公式中a、b的位置不能颠倒,它们的指数和一定为n.(4)二项式系数与项的系数区别.二项式系数性质对称性=(r=0,1,2,n)最值如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大,即:当n是偶数时,n+1是奇数,展开式共有n+1项,中间一项即第(+1)项的二项式系数最大,为;当n是奇数时,n+1是偶数,展
5、开式共有n+1项,中间两项即第项及第+1项的二项式系数最大,为.系数和(1)二项式系数的和等于2n,即+=2n.(2)二项展开式中,偶数项系数和等于奇数项系数的和,即：+=+=2n-1.系数比展开式中相邻两项的二项式系数的比是=(n-k)(k+1).考题名师诠释【例1】在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有（ ）A.36个 B.24个 C.18个 D.6个解：依题意满足条件的情况只有一种：两个奇数一个偶数. 从1，3，5三个数中任取两个数，有种取法； 从2，4两个数中取一个数有种取法； 把取出的3个数进行全排列有种排法. 由分步计数原理可得：共有=
6、36个.答案：A评述：本题主要考查排列组合知识，一般来讲解决方法都有直接法和间接法两种，本题就是直接法.【例2】8个人排成一排，其中甲、乙、丙3人中，有两个相邻，但这3个人不同时相邻，求满足条件的所有不同排法的种数.分析：通过审题发现，这是一道典型的排列问题，对于排列中元素必须在一起时，常把它们看作一个整体，然后考虑其内部的位置关系；对于排列中不能相邻的元素，采用插空的方式来处理.解法一：（直接插入法）先排甲、乙、丙以外的5个人，有种排法；再从甲、乙、丙3个人中选2人合并为一个元素，和余下的1个人插入6个空中，有种插排法.故总的排法为=21 600种.解法二：（间接法）先将8个人进行全排列，有
7、种排法，其中:甲、乙、丙3个人两两都不相邻的排法有种；甲、乙、丙3个人同时相邻的排法有种.故共有排法-（+）=21 600种.评述：捆绑法和插空法是解决相邻、不相邻问题最常用的方法.链接提示 有限制条件的排列问题的常见解法有:(1)优先排受限元素(或位置),再排不受限的元素(或位置),此法称为优限法；(2)n个不同元素排成一列,m个元素相邻问题,一般是先将相邻的m个元素看成一个元素,与另外n-m个元素进行全排列,共有种排法,再将m个元素全排列,共有Amn种排法,所以符合条件的排列数为Amn,此法称为视一法;(3)n个不同元素排成一列,有m个元素不相邻的问题,一般是先将另外n-m(n-mm-1)
8、个元素排好,得到(n-m+1)个空挡,再让不相邻的m个元素插空,共有种不同的排法,此法称为插空法;(4)先求出无限制条件的总排列数,再求出不符合条件的排列数,从总排列数中减去不符合条件的排列数,得到符合条件的排列数,此法称为逆向思考法;(5)对于m个元素顺序一定的问题,先取出m个位置放上这m个元素,再将其余n-m个元素进行全排列,共有种不同的排法;(6)当遇到几种情况发生的概率相同的问题时,常用机会均等法.【例3】某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教，（每地1人）其中甲和乙不同去，则不同的选派方法共有多少种？解：总的选派方法有种， 甲、乙同去的方法有种. 故不同的选派方法共有-=
9、1 320种.答案：1 320种评述：本题采用间接法简单明了.若采用直接法需分类讨论第一种情况：甲去乙不去；第二种情况:甲不去乙去；第三种情况：甲、乙都不去.直接法较复杂.链接提示 解决几何计数问题，常采用逆向思考法或分法讨论.应充分发挥空间想象能力和图形分析能力，综合运用相关的向何知识、尤其应注意问题的等价性.【例4】 已知(+3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992,求展开式中系数最大的项.分析： 本题由系数间的关系可求n,然后求系数最大的项,可以列不等式组求解.(保证它不小于相邻两项)解：令x=1,得各项的系数和为(1+3)n=4n,而各项的二项式系数和为+=2n,于是
10、,4n=2n+992,解得2n=32或2n=-31(舍去),n=5. 设第r+1项系数最大,则 解得r. 又rZ,r=4.第五项是系数最大的项,且T5=(3x2)4=405.评述：二项展开式的系数与二项式系数是截然不同的两个概念,二项式系数最大的项是中间项(一项或两项),而求系数最大的项需列不等式组.链接提示1.当a、b的系数为正时,要注意(a+b)n的展开式中的系数最大项的充分必要条件:必要性是它不小于相邻两项的系数,充分性是它不小于所有项的系数.如果在解不等式时求的r不是一个值,而是两个(或多个)值,则应比较这两项(或这多个项)的系数的大小,从中找到一个最大值.2.当a、b系数异号时,可先求系数绝对值最大的项,再确定系数最大项和最小项.
