1、课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例基础巩固组1.(2021四川成都二诊)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=3b,sin A=35,则sin B的值为()A.15B.115C.13D.592.(2021江西宜春模拟)在ABC中,BC=17,AC=3,cos A=13,则ABC的面积为()A.42B.2C.4D.923.(2021四川眉山三诊)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若ABC的面积SABC=c2-a2-b24,则C=()A.3B.23C.34D.564.(2021河南郑州模拟)ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,A=30,a=3,若
2、这个三角形有两解,则b的取值范围是()A.3b23B.3b23C.b23D.b235.(2021云南红河三模)如图所示,网格中小正方形的边长均为1,ABC的三个顶点均在小正方形的顶点处,则ABC外接圆的面积为()A.1309B.659C.6518D.65366.(2021山西临汾适应性考试)说起延安革命纪念地景区,可谓是家喻户晓,它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、西北局革命旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山,它可是圣地延安的标志,见证了中国革命的进程,在中国老百姓的心中具有重要地位.如图,宝塔山的坡度比为73(坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比),在山坡A处测得CAD=15,从A处
3、沿山坡往上前进66 m到达B处,在山坡B处测得CBD=30,则宝塔CD的高为()A.44 mB.42 mC.48 mD.46 m7.(2021江苏徐州考前模拟)在平面四边形ABCD中,AB=8,AC=14,cos BAC=57,内角B与D互补,若AC平分BAD,则CD的长为.8.(2021浙江杭州二模)设a,b,c分别为ABC的内角A,B,C的对边,a+cb=sinA-sinBsinA-sinC.若a=1,c=7,则C=,ABC的面积S=.9.(2021山东潍坊二模)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2b2=(b2+c2-a2)(1-tan A).(1)求角C;(2)若c=2
4、10,D为BC中点,cos B=255,求AD的长度.10.(2021山东德州二模)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知6cos22+A+cos A=5.(1)求A;(2)若a=2,求b2+c2的取值范围.综合提升组11.(2021东北三省四市联考)圣索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省,是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂,为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准,被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体,极具对称之美,可以让游客从任何角度都能领略它的美.小明同学为了估算圣索菲亚教堂的高度,在该教堂的正东方向找到一座建筑物AB,高为
5、(153-15)m,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,教堂顶C的仰角分别是15和60,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30,则小明估算该教堂的高度为()A.20 mB.30 mC.203 mD.303 m12.(2021河南郑州二模)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=90,ABC的平分线交AC于点D.若a+4c的最小值为9,则BD=.13.(2021四川成都石室中学高三月考)拿破仑定理:“以任意三角形的三条边为边,向外构造三个正三角形,则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置,合理组
6、织人流、物流,使城市土地的利用率、建筑的使用效率达到最佳,因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图,设ABC代表旧城区,新的城市发展中心O1,O2,O3分别为正三角形ACD,正三角形BCF,正三角形ABE的中心.现已知AB=2,ACB=30,三角形O1O2O3的面积为3,则三角形ABC的面积为.14.(2021福建三明模拟)在bsin B+csin C=233bsin C+asin A;cos2C+sin Bsin C=sin2B+cos2A;2b=2acos C+c这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作答.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC外接圆的半径R为
7、1,且.(1)求角A;(2)若AC=2,AD是ABC的内角平分线,求AD的长度.创新应用组15.(2021广东深圳二模)著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马(16011665)提出的平面几何极值问题:“已知一个三角形,求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点,已知对于每个给定的三角形,都存在唯一的费马点,当ABC的三个内角均小于23时,则使得APB=BPC=CPA=23的点P即为费马点.已知点P为ABC的费马点,且ACBC,若|PA|+|PB|=|PC|,则实数的最小值为.16.(2021辽宁大连一模)如图,AB是底部不可到达的一个建筑物,A为建筑物的
8、最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告;注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式.(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际高度有误差,请你针对误差情况进行说明.答案：课时规范练1.A解析:由正弦定理可知asinA=bsinB,即3b35=bsinB,所以sin B=15.2.A解析:因为BC=17,AC
9、=3,cos A=13,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcos A,所以AB2-2AB-8=0,所以AB=4.又因为cos A=13,A(0,),所以sin A=223,所以SABC=12ABACsin A=1243223=42.3.C解析:由SABC=12absin C,得c2-a2-b24=12absin C,整理得c2=a2+b2+2absin C,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C,所以sin C=-cos C,即tan C=-1.又C(0,),所以C=34.4.B解析:当ABC有两解时,bsin Aab,即bsin 303b,解得3b23.5.C解析:由
10、图可知a=3,b=10,c=13,由余弦定理,得cos C=10+9-13610=1010,所以sin C=31010.设R为ABC外接圆的半径,根据正弦定理知2R=csinC=1331010=1303,所以R=1306,所以S=R2=13036=6518.6.A解析:由题可知CAD=15,CBD=30,则ACB=15,所以BC=AB=66.设坡角为,则由题可得tan =73,则可求得cos =34.在BCD中,BDC=+90,由正弦定理,得CDsin30=BCsin(+90),即CD12=66cos=6634,解得CD=44,故宝塔CD的高为44 m.7.10解析:在ABC中,由余弦定理,得
11、BC=AB2+AC2-2ABACcosBAC=82+142-281457=10.由cosBAC=57可得sinBAC=267.由正弦定理,得sin B=ACBCsinBAC=1410267=265,又内角B与D互补,所以sin D=sin B=265.因为AC平分BAD,所以sinDAC=sinBAC=267,所以由正弦定理,得CD=ACsinDsinDAC=14265267=10.8.3334解析:因为a+cb=sinA-sinBsinA-sinC=a-ba-c,整理得a2+b2-c2=ab,由余弦定理,得cos C=a2+b2-c22ab=12,因为C为三角形内角,所以C=3.由a2+b2
12、-c2=ab且a=1,c=7得b2-b-6=0,解得b=3或b=-2(舍去),所以ABC的面积S=12absin C=121332=334.9.解:(1)2b2=(b2+c2-a2)(1-tan A),2b2=2bccos A(1-tan A).b=c(cos A-sin A),由正弦定理,得sin B=sin C(cos A-sin A),sin(A+C)=sin Ccos A-sin Csin A,sin Acos C=-sin Csin A,sin A0,tan C=-1,又C(0,),解得C=34.(2)cos B=255,sin B=55.sin A=sin(B+C)=sin Bco
13、s C+cos Bsin C=1010,由正弦定理,得a=csinAsinC=22,BD=2,在ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+BD2-2ABBDcos B,解得AD=26.10.解:(1)由题意得6sin2A+cos A=5,整理得6cos2A-cos A-1=0,解得cos A=12或cos A=-13.又A0,2,所以cos A=12,即A=3.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得4=b2+c2-bc,即b2+c2=4+bc.由正弦定理,得asinA=bsinB=csinC=232=433,即b=433sin B,c=433sin C,而C=23-B,bc=16
14、3sin Bsin C=163sin Bsin23-B=833sin Bcos B+83sin2B=433sin 2B-43cos 2B+43=83sin2B-6+43.又0B2,023-B2,解得6B2,所以62B-60,所以tan A=3.又因为A(0,),所以A=3.方案二:选择,cos2C+sin Bsin C=sin2B+cos2A得1-sin2C+sin Bsin C=sin2B+1-sin2A,即sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,由正弦定理,得b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cos A=b2+c2-a22bc=12,因为A(0,),所以A=3.方案三
15、:选择,由2b=2acos C+c,结合正弦定理,得2sin B=2sin Acos C+sin C.因为A+B+C=,所以sin B=sin(A+C),即2sin(A+C)=2sin Acos C+sin C,所以2cos Asin C=sin C.因为C(0,),所以sin C0,所以cos A=12.因为A(0,),所以A=3.(2)在ABC中,由正弦定理,得ACsinB=2R=2,所以sin B=22,所以B=4因为A=3,由三角形内角和定理,B不可能为34.在ABC中,C=-3-4=512.因为AD是ABC的内角平分线,所以CAD=6,所以ADC=-6-512=512,所以AD=AC
16、=2.15.23+2解析:根据题意,点P为ABC的费马点,ABC的三个内角均小于23,所以APB=BPC=CPA=23.设PCB=,所以在BCP和ACP中,CBP=3-,ACP=2-,CAP=3-ACP=-6,且均为锐角,所以6,3.所以由正弦定理,得|BP|sin=|PC|sin(3-),|PA|sin(2-)=|PC|sin(-6),所以|BP|=sinsin(3-)|PC|,|PA|=sin(2-)sin(-6)|PC|,因为|PA|+|PB|=|PC|,所以=sinsin(3-)+sin(2-)sin(-6)=32-sincossincos-34=34-(sincos-34)sincos-34=34sincos-34-1=32sin2-3-1,因为6,3,所以23,23,所以2sin 2-3(0,2-3,所以32sin2-3-123+2,+),故实数的最小值为23+2.16.解:(1)选用测角仪和米尺,如图所示,选择一条水平基线HG(如图),使H,G,B三点共线;在H,G两点用测角仪测得A的仰角分别为,用米尺测量得CD=a,测得测角仪的高为h;经计算建筑物AB=asinsinsin(-)+h或者写成atantantan-tan+h.(2)答案合理即可.测量工具精度问题;两次测量时位置的间距差.