1、黑龙江省哈尔滨市第九中学2020届高三数学5月第二次模拟考试试题 理（含解析）本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），共23题，满分150分，考试时间120分钟第I卷一选择题1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解绝对值不等式求得集合，解一元二次不等式求得集合，由此求得.【详解】由得，即，故.由，解得，所以.所以.故选：C【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查绝对值不等式和一元二次不等式的解法，属于基础题.2. 已知复数满足，则复数的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数除法、模的运算求得，由此求得的共
2、轭复数.【详解】由得，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查复数的除法和模的运算，考查共轭复数的概念，属于基础题.3. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】若,则,利用均值定理可得,则,进而判断命题之间的关系.【详解】若,则,因为,当且仅当时等号成立,所以,因为,所以“”是“”的充分不必要条件,故选:A【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,考查利用均值定理求最值.4. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域和奇偶性，确定正确选项.【详解】令，的定义域为，由
3、此排除B选项.，所以为奇函数，由此排除CD选项.故选：A【点睛】本小题主要考查根据函数的解析式确定函数图象，属于基础题.5. 刘徽（约公元225年295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到的近似值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用扇形面积公式和三角形的面积公式列方程，化简求得的近似值.
4、【详解】设圆的半径为，依题意小扇形的圆心角为，依题意，小扇形的面积近似等于小等腰三角形的面积，故，化简得.故选：D【点睛】本小题主要考查三角形面积公式、扇形面积公式，考查中国古代数学文化，属于基础题.6. 若,则下列不等式成立的是( ).A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据,结合指数函数和对数函数单调性,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,若,则,故A错误;对于B,若,则,则,故B错误;对于C,是增函数,故,故C错误;对于D,是减函数,故,故D正确.故选:D.【点睛】本题主要考查了根据已知不等式判断所给不等式是否正确,解题关键是掌握不等式基础知识和指数函数和对数函数单调性
5、,考查了分析能力,属于基础题.7. 已知的展开式中所有项的系数和为，则展开式中含项的系数为（ ）A. 80B. C. 40D. 【答案】D【解析】【分析】利用展开式中所有项的系数和为求得，再求得展开式中含项的系数.【详解】令代入得，所以，二项式展开式的通项公式为.令，解得；令，解得.故展开式中含的项为，所以展开式中含项的系数为.故选：D【点睛】本小题主要考查二项式展开式所有项系数和，考查二项式展开式指定项的系数的求法，属于中档题.8. 已知双曲线，过右焦点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，以为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线交于，两点，且，三点共线，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2
6、D. 【答案】B【解析】【分析】判断出线段的长，根据对称性得到点的坐标，代入双曲线的方程，化简后求得双曲线的离心率.【详解】双曲线焦点到渐近线的距离为，则.由于三点共线，根据圆和双曲线的对称性可知，三点在直线上，所以，代入双曲线方程得，即.故选：B【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.9. 正方体中，在平面上，为的中点，连接且在线段上已知，则的最小值为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】判断出点的轨迹为圆，根据直线和圆的位置关系，求得的最小值.【详解】由于，所以，由于在平面上，所以的轨迹是以为圆心，半径为的圆.由于在线段上，所以的最小值为到线段的距离减.由
7、于，所以到线段的距离为，所以的最小值为.故选：B【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10. 若抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，弦的中点在准线上的射影为，则的最大值为（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的定义以及正弦定理化简，结合三角函数最值的求法，求得的最大值.【详解】根据抛物线的定义，由正弦定理得，设，则化为所以当时，有最大值为，即的最大值为.故选：B【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查正弦定理，考查三角函数最值的求法，属于中档题.11. 在数列中，数列的前项和为，下列结论正确的是（ ）A. 数列为等差
8、数列B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据数列的递推关系式判断出数列的规律，由此判断出正确结论.【详解】当为奇数时，即数列中的偶数项构成以为首项，公差为的等差数列，所以，B选项错误.当为偶数时，则，两式相减得，即数列中的奇数项从开始，每间隔一项的两项相等，即数列从第三项起的奇数项呈周期变化.在中，令得，则，所以，C选项错误.在中，令得，所以数列不是等差数列，A选项错误.根据上述分析可知，在数列中，；偶数项构成以为首项，公差为的等差数列，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查根据数列的递推关系式研究数列的规律，属于中档题.12. 已知函数，且对于任意的，当时都有成立，则实数的取值范围是（
9、 ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】不妨设，可得，构造函数，可得函数在上为减函数，根据导数和函数的单调性的关系，结合换元法求得的取值范围.【详解】依题意对于任意的，当时都有成立，不妨设，可得，构造函数，可得函数在上为减函数，则在上恒成立.设，则，在上恒成立，即在上恒成立，所以，解得.故选：C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.第II卷二填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量，若，则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】利用向量垂直的性质列方程求解即可.【详解】,解得，故答案为：【点睛】本题主要考查了向
10、量垂直的性质，数量积的运算，属于容易题.14. 记表示正整数除以正整数后所得的余数为，例如表示8除以6后所得的余数为2执行下图的程序框图，若输入的值为5，则输出的值为_【答案】17【解析】【分析】通过分析程序框图作用，求得输出的的值.【详解】该程序框图的作用是从中，找出第一个被除余数为的整数，被除余数为；被除余数为；被除余数为；被除余数为.所以输出的的值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据程序框图计算输出结果，属于基础题.15. 如图所示的三角形称为希尔宾斯基三角形，现分别从图（2）和图（3）中各随机选取一个点，则此两点均取自阴影部分的概率为_【答案】【解析】【分析】根据相互独立事件概率计
11、算公式，计算出所求概率.【详解】图（2）中，随机选取一个点，该点取自阴影部分的概率为；图（3）中，随机选取一个点，该点取自阴影部分的概率为；根据相互独立事件概率计算公式可知分别从图（2）和图（3）中各随机选取一个点，则此两点均取自阴影部分的概率为.故答案为：【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查相互独立事件概率计算，属于基础题.16. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称
12、这样的半正多面体为二十四等边体若二十四等边体的棱长为2，则其体积为_；若其各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】将二十四正多面体放入正方体中，结合图形求出该几何体的体积.判断出正方体的中心即球心，由此求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】将二十四正多面体放入正方体中，如下图所示，由于二十四等边体的棱长为，则正方体的棱长为.该二十四正四面体是由棱长为正方体沿各棱中点截去个三棱锥所得，所以该二十四正四面体的体积为.由于正方体的中心到正方体各棱中点的距离都为，所以该二十四正四面体外接球的球心为，且半径为，其表面积为.故答案为：(1). (2).
13、 【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查空间想象能力，属于中档题.三解答题（一）必考题17. 已知多面体中，是的中点（1）求证：（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，得到，通过证明证得面，由此证得.（2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，计算出直线与平面所成角的正弦值【详解】（1）证明：取的中点，连接则，四点共面，且，又，面，又平面，（2）设，以的中点为坐标原点，分别为，建系.则，所以，设平面的一个法向量为，则令，则，设直线与平面所成角为，则则直线与平面所成角正弦值为【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查
14、线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18. 在中，角，的对边分别为，已知（1）求角的大小；（2）若，求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.（2）利用正弦定理化简已知条件，求得、的值，进而求得的值.【详解】（1）又因为，所以又因为，所以（2）由，所以所以，所以，所以所以【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.19. 已知椭圆的离心率为，分别为左右焦点，直线与椭圆交于两点，的重心分别为，当时，的面积为（1）求椭圆的方程；（2）当时，证明：原点在以为直径的圆的外部【答案】（1）（2）
15、证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积以及，求得的值，即而求得椭圆方程.（2）联立直线的方程和椭圆方程，写出根与系数关系，计算，由此判断出，所以原点在圆外.【详解】（1） ，所以代入得：，所以，所以，所以，所以椭圆方程为： （2）设，而，根据重心坐标公式得，直线与椭圆所以椭圆联立得：，所以，所以，所以原点在圆外.【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.20. 近期，湖北省武汉市等多个地区发生新型冠状病毒感染的肺炎疫情为了尽快遏制住疫情，我国科研工作者坚守在科研一线，加班加点争分夺秒与病毒抗争，夜以继日地进行研究新型冠
16、状病毒的潜伏期检测是疫情控制的关键环节之一在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期钟南山院士带领的研究团队统计了武汉市某地区10000名医学观察者的相关信息，并通过咽拭子核酸检测得到1000名确诊患者的信息如下表格：潜伏期（单位：天）人数80019082（1）求这1000名确诊患者的潜伏期样本数据的平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代表）（2）新型冠状病毒的潜伏期受诸多因素影响，为了研究潜伏期与患者性别的关系，以潜伏期是否超过7天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取100名，得到如下列联表请
17、将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有90%的把握认为潜伏期与患者性别有关潜伏期7天潜伏期7天总计男性患者12女性患者50总计100（3）由于采样不当标本保存不当采用不同类型的标本以及使用不同厂家试剂都可能造成核酸检测结果“假阴性”而出现漏诊当核酸检测呈阴性时，需要进一步进行血清学抗体检测，以弥补核酸检测漏诊的缺点现对10名核酸检测结果呈阴性的人员逐一地进行血清检测，记每个人检测出（是近期感染的标志）呈阳性的概率为且相互独立，设至少检测了9个人才检测出呈阳性的概率为，求取得最大值时相应的概率附：，其中0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246
18、.6357.87910.828【答案】（1）4.984天（2）见解析，不能有90%的把握认为潜伏期与患者年龄有关.（3）【解析】【分析】（1）根据平均数的计算方法，计算出平均数.（2）根据已知条件填写联表，计算出，由此判断出不能有90%的把握认为潜伏期与患者年龄有关.（3）求得的表达式，利用导数求得取得最大值时的的值.【详解】（1）天（2）潜伏期7天潜伏期7天总计男性患者381250女性患者42850总计8020100的观测值不能有90%的把握认为潜伏期与患者年龄有关.（3）由，化简得令，则则令，则，令解得；令，解得；在上单调递增，在上单调递减，有唯一的极大值为，也是最大值.当时，即时，取得最
19、大值【点睛】本小题主要考查平均数的计算，考查列联表独立性检验，考查利用导数研究函数的最值，考查数据分析与处理能力，属于中档题.21. 已知函数，（1）当时，直线与函数的图象相切，求的值；（2）若在上恒成立，求取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，设出切点坐标，求得切线方程，进而求得的值.（2）构造函数，根据在上恒成立，结合导数对进行分类讨论，由此求得的取值范围.【详解】（1）时，所以设切点为，所以所以切线方程为：，将点代入得：所以（2）在上恒成立即：在上恒成立设，即恒成立由，若，当时，所以在递增；当时，所以在递增.综上，在递增.所以恒成立若，则令，所以所以，使，且当时，所以在
20、递减，所以时，所以不成立.综上，.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.（二）选考题：选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）（1）写出直线的普通方程和圆的极坐标方程；（2）已知点，直线与圆交于，两点，求的值【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）消去参数方程中的参数，求得直线与圆的普通方程，根据直角坐标方程和极坐标方程的转化公式，求得圆的极坐标方程.（2）将直线的参数方程代入圆
21、的普通方程，化简后写出根与系数关系，根据直线参数方程中参数的几何意义，求得的值【详解】（1）由，两式相减并化简得直线的普通方程为：，由，消去参数，得圆的普通方程为：，所以圆的极坐标方程为：（2）把直线的参数方程（为参数）带入到圆的普通方程：中化简可得：，设，对应的参数分别为，则，异号，【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查直线参数方程中参数的几何意义的运用，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23. 已知为正数，且满足 证明：（1）；（2）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）变换，利用均值不等式得到答案.（2），利用三元均值不等式得到答案.【详解】（1），故，当时等号成立.（2）易知.当时等号成立.【点睛】本题考查了根据均值不等式证明不等式，意在考查学生对于均值不等式的应用能力.