1、课时规范练13函数模型及其应用基础巩固组1.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量/升加油时的累计里程/千米2021年5月1日1235 0002021年5月15日4835 600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升B.8升C.10升D.12升2.(2021四川成都诊断测试)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”,与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N=1 000v0.7v+0.3v2+d0,其中d0为安全距离(单位:m)
2、,v为车速(单位:m/s).当安全距离d0取30 m时,该道路一小时“道路容量”的最大值约为()A.135B.149C.165D.1953.(2021西藏拉萨二模)某大型建筑工地因施工噪音过大,被周围居民投诉.现环保局要求其整改,降低声强.已知声强I(单位:W/m2)表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度,声强级L(单位:dB)与声强I的函数关系式为L=10lg(aI),其中a为正实数.已知I=1013 W/m2时,L=10 dB.若整改后的施工噪音的声强为原声强的10-2,则整改后的施工噪音的声强级降低了()A.50 dBB.40 dBC.30 dBD.20 dB4.(2021江西吉
3、安模拟)根据道路交通安全法规定:驾驶员在血液中的酒精含量大于或等于20 mg/100 mL,小于80 mg/100 mL时的驾驶行为视为饮酒驾驶.某人喝了酒后,血液中的酒精含量升到60 mg/100 mL.在停止喝酒后,若血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少,为了保障交通安全,这人至少经过几小时才能开车()(精确到1小时,参考数据:lg 30.48,lg 20.3)A.7B.6C.5D.45.(2021广东深圳一模)冈珀茨模型(y=kabt)是由冈珀茨(Gompertz)提出,可作为动物种群数量变化的模型,并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型:y=k
4、0e1.4e-0.125t(当t=0时,表示2020年初的种群数量),若m(mN*)年后,该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半,则m的最小值为.(ln 20.7)综合提升组6.(2021福建厦门一模)某医药研究机构开发了一种新药,据监测,如果患者每次按规定的剂量注射该药物,注射后每毫升血液中的含药量y(单位:微克)与时间t(单位:小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定,当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时,治疗该病有效,有下列说法:a=3;注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时;注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克;注射一次治疗该病的有效时间长度
5、为53132小时.其中说法正确的序号有.7.(2021云南昆明一中高三月考)科学家在研究物体的热辐射能力时定义了一个理想模型叫“黑体”,即一种能完全吸收照在其表面的电磁波(光)的物体.然后,黑体根据其本身特性再向周边辐射电磁波,科学研究发现单位面积的黑体向空间辐射的电磁波的功率B与该黑体的绝对温度T的4次方成正比,即B=T4,为玻尔兹曼常数.而我们在做实验数据处理的过程中,往往不用基础变量作为横纵坐标,以本实验结果为例,B为纵坐标,以T4为横坐标,则能够近似得到(曲线形状).8.(2021山东菏泽高三期中)某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位
6、:万元)的增加而增加,奖金不超过90万元,同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为y=f(x)时,在估计能获得25,1 600万元的投资收益时,该公司对函数模型的基本要求是:当x25,1 600时,f(x)是增函数;f(x)90恒成立;f(x)x5恒成立.(1)现有两个奖励函数模型:f(x)=115x+10;f(x)=2x-6.试分析这两个函数模型是否符合公司要求?(2)已知函数f(x)=ax-10(a2)符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a的取值范围.创新应用组9.(2021北京西城一模)长江流域水库群的修建和联合调度,极大地降低了洪涝灾害风险,发挥了重要的防洪减灾作用.每
7、年洪水来临之际,为保证防洪需要、降低洪涝风险,水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度,统一蓄水,用蓄满指数(蓄满指数=水库实际蓄水量水库总蓄水量100)来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下:(1)调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间0,100;(2)调度后每座水库的蓄满指数都不能降低;(3)调度前后,各水库之间的蓄满指数排名不变.记x为调度前某水库的蓄满指数,y为调度后该水库的蓄满指数,给出下面四个y关于x的函数解析式:y=-120x2+6x;y=10x;y=10x50;y=100sin200x.则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是.答案：课时规范练1.B解析:5月1日到5
8、月15日,汽车行驶了35 600-35 000=600(千米),实际耗油48升,所以该车每100千米平均耗油量为486=8(升).2.B解析:由题意得,N=1 000v0.7v+0.3v2+d0=1 0000.7+0.3v+30v1 0000.7+20.330149,当且仅当0.3v=30v,即v=10时取等号,所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.3.D解析:由已知得10=10lg(a1013),解得a=10-12,故L=10lg(10-12I)=10(-12+lg I).设施工噪音原来的声强为I1,声强级为L1,整改后的声强为I2,声强级为L2,则L1-L2=10(-12+lg
9、I1)-10(-12+lg I2)=10(lg I1-lg I2)=10lgI1I2=20.4.C解析:设这人至少经过x小时才能开车,由题意得60(1-20%)x20,即0.8xlog0.813=-lg33lg2-1-0.4830.3-1=4.8,所以这人至少经过5小时才能开车.5.6解析:令t=m,由题意知,k0e1.4e-0.125m12k0e1.4e0=12k0e1.4,所以2ln 20.7,则1-e-0.125m12,所以e-0.125mln20.1250.70.125=5.6,所以m的最小值为6.6.解析:由函数图象可知y=4t,0t1,12t-a,t1,当t=1时,y=4,即121
10、-a=4,解得a=3,y=4t,0t1,12t-3,t1,故正确;药物刚好起效的时间,4t=0.125,解得t=132,药物刚好失效的时间,12t-3=0.125,解得t=6,故药物有效时长为6-132=53132小时,药物的有效时间不到6个小时,故错误,正确;注射该药物18小时后每毫升血液含药量为418=0.5微克,故错误.7.射线解析:因为B=T4,为玻尔兹曼常数.以B为纵坐标,以T4为横坐标,因为x=T40,所以B=x(x0),所以曲线是一条射线.8.解:(1)对于函数模型:f(x)=115x+10,验证条件:当x=30时f(x)=12,而x5=6,即f(x)x5不成立,故该函数模型不符
11、合公司要求;对于函数模型:f(x)=2x-6,当x25,1 600时,条件f(x)是增函数满足;f(x)max=21 600-6=240-6=7490,满足条件;对于条件:记g(x)=2x-6-x5(25x1 600),则g(x)=-15(x-5)2-1,x5,40,当x=5时,g(x)max=-15(5-5)2-1=-10,f(x)x5恒成立,即条件也成立.故函数模型f(x)=2x-6符合公司要求.(2)a2,函数f(x)=ax-10符合条件;由函数f(x)=ax-10符合条件,得a1 600-10=a40-1090,解得a52;由函数f(x)=ax-10符合条件,得ax-10x5对x25,
12、1 600恒成立,即ax5+10x对x25,1 600恒成立.x5+10x22,当且仅当x5=10x,即x=50时等号成立,a22.综上所述,实数a的取值范围是2,52.9.解析:y=-120x2+6x=-120(x2-120x)=-120(x-60)2+180,x0,100,该函数在x=60时函数值为180,超过了100,不合题意;y=10x为增函数,且x0,100,y0,100,且x10,则x10x,符合题意;y=10x50,x0,100,当x=50时10x50=100;当xx0,100,g(x)0;故g(x)在0,x0上单调递增,在x0,100上单调递减.g(0)=0,g(100)=0,故0,100上,g(x)0,即在0,100上,100sin200xx.故符合题意.