1、课时规范练23正弦、余弦定理与解三角形基础巩固组1.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b=2,A=60,则c=()A.12B.1C.3D.22.(2020陕西西安中学八模,理9)若ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin 2A=asin B,且c=2b,则ab=()A.32B.43C.2D.33.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinAsinB=ac,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则ABC的形状为()A.直角三角形B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.钝角三角形4.在ABC中,B=4,BC边上的高等于13BC,则cos A=
2、()A.31010B.1010C.-1010D.-310105.在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos A+acos B=c2,a=b=2,则ABC的周长为()A.7.5B.7C.6D.56.(多选)(2020山东菏泽一中月考,9)在ABC中,给出下列4个命题,其中正确的命题是()A.若AB,则sin Asin BB.若sin Asin B,则AB,则1sin2A1sin2BD.若Acos2B7.如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为,则坡度值tan =.8.已知岛A
3、南偏西38方向,距岛A 3 n mile 的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h能截住该走私船?参考数据:sin 38=5314,sin 22=3314综合提升组9.(2020河北保定一模,理6)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且acos C,bcos B,ccos A成等差数列,若ABC外接圆的半径为1,则b=()A.32B.2C.3D.210.(多选)(2020山东烟台模拟,11)在ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cosCDB=-55,
4、则()A.sinCDB=310B.ABC的面积为8C.ABC的周长为8+45D.ABC为钝角三角形11.(2020河南开封三模,理16)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,c=33,tan A=2tan B,则cos A=,ABC的面积为.创新应用组12.(2020全国1,理16)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=3,ABAC,ABAD,CAE=30,则cosFCB=.参考答案课时规范练23正弦、余弦定理与解三角形1.B由已知及余弦定理,得3=4+c2-22c12,整理得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.2.Dbsin2A=asinB,则
5、sinB2sinAcosA=sinAsinB,因为sinAsinB0,故cosA=12,且A(0,),故A=3.由c=2b,得sinC=2sinB=2sin23-C,化简整理得到cosC=0,且C(0,),故C=2,B=6,ab=sinAsinB=3212=3.故选D.3.C因为sinAsinB=ac,所以ab=ac,所以b=c.又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,所以b2+c2-a2=bc,所以cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12.因为A(0,),所以A=3,所以ABC是等边三角形.4.C如图,设BC边上的高为AD,则BC=3AD.结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以A
6、C=AD2+DC2=5AD,AB=2AD.由余弦定理,得cosA=AB2+AC2-BC22ABAC=2AD2+5AD2-9AD222AD5AD=-1010,故选C.5.DbcosA+acosB=c2,a=b=2,由余弦定理可得bb2+c2-a22bc+aa2+c2-b22ac=c2,整理可得2c2=2c3,解得c=1,则ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5.故选D.6.ABD若AB,则ab,由正弦定理得2RsinA2RsinB,所以sinAsinB,故A正确;同理B正确;当A=120,B=30时,1sin2A0,故C错误;若AB,则sinAsinB,sin2Asin2B,即1-cos2Ac
7、os2B,故D正确.故选ABD.7.2315在ABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且+ACB=.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(-),解得cos=516,则sin=23116,所以tan=sincos=2315.8.解设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为xnmile/h,则BC=0.5xnmile,AC=5nmile,依题意,BAC=180-38-22=120,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcos120,解得BC2=49,BC=0.5x=7
8、,解得x=14.又由正弦定理得sinABC=ACsinBACBC=5327=5314,所以ABC=38.又BAD=38,所以BCAD.故缉私艇以14nmile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5h截住该走私船.9.C由题意,得2bcosB=acosC+ccosA,由正弦定理,得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,即2sinBcosB=sin(A+C)=sinB,故cosB=12,则B=3.又ABC外接圆的半径为1,则b=2rsinB=3.故选C.10.BCD因为cosCDB=-55,所以sinCDB=1-cos2CDB=255,故A错误;设CD=a,则BC=2a,在BCD
9、中,BC2=CD2+BD2-2CDBDcosCDB,解得a=5,所以SDBC=12BDCDsinCDB=1235255=3,所以SABC=3+53SDBC=8,故B正确;因为ADC=-CDB,所以cosADC=cos(-CDB)=-cosCDB=55,在ADC中,AC2=AD2+CD2-2ADDCcosADC,解得AC=25,故ABC的周长=AB+AC+BC=3+5+25+25=8+45,故C正确;因为AB=8为最大边,所以cosC=BC2+AC2-AB22BCAC=-350,即C为钝角,所以ABC为钝角三角形,故D正确.故选BCD.11.32332由正弦定理得bc=sinBsinC=sinBsin(A+B)=sinBsinAcosB+cosAsinB=tanBsinA+cosAtanB=233.将tanB=12tanA代入上式得cosA=32,故sinA=12.所以SABC=12bcsinA=1223312=332.12.-14由题意得BD=2AB=6,BC=AC2+AB2=2.D,E,F重合于一点P,AE=AD=3,BF=BD=6,在ACE中,由余弦定理,得CE2=AC2+AE2-2ACAEcosCAE=12+(3)2-213cos30=1,CE=CF=1.在BCF中,由余弦定理,得cosFCB=BC2+CF2-BF22BCCF=22+12-(6)2221=-14.