1、第五章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列命题中,正确的是() A.复数的模总是正实数B.复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应C.若与复数z对应的点在第一象限,则与该复数对应的向量的终点也一定会在第一象限D.相等的向量对应着相等的复数解析复数的模大于或等于0,因此A不正确;复数集与复平面内所有从原点出发的向量组成的集合一一对应,因此B不对;同理C也不正确,D正确,因此选D.答案D2.已知z1=a+bi(a,bR),z2=c+di(c,dR),若z1-z2是纯虚数,则有()A.
2、a-c=0且b-d0B.a-c=0且b+d0C.a+c=0且b-d0D.a+c=0且b+d0解析依题意z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,因为z1-z2是纯虚数,所以实部a-c=0且虚部b-d0.故选A.答案A3.设复数z满足z(1+i)=2i+1(i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析复数z满足z(1+i)=2i+1(i为虚数单位),z=i.该复数在复平面内对应点,在第一象限.答案A4.若复数(4+ai)(1+i)(i为虚数单位,aR)为纯虚数,则a的值为()A.-4B.3C.4D.5解析(4+ai
3、)(1+i)=4+ai+4i+ai2=4-a+(a+4)i,则a=4.故选C.答案C5.在复平面内,复数z=i(1+2i)的共轭复数为()A.2-iB.-2-iC.2+iD.-2+i解析复数z=i(1+2i)=-2+i,复数z=i(1+2i)的共轭复数为-2-i.答案B6.复数z满足(1+i)z=1-i2 021,则的虚部为()A.1B.-1C.iD.-i解析因为(1+i)z=1-i2 021=1-i,所以z=-i,所以=i,故的虚部为1.故选A.答案A7.已知复数z满足(1-i)=2,则z5=()A.16B.-4+4iC.-16D.-16i解析(1-i)=2,=1+i,则z=1-i.z5=(
4、1-i)5=(1-i)4(1-i)=-4(1-i)=-4+4i.答案B8.下面是关于复数z=的四个命题.p1:|z|=2;p2:z2=2i;p3:z的共轭复数为1+i;p4:z的虚部为-1.其中的真命题为()A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4解析本题考查了复数的四则运算以及复数的模,共轭复数等知识.z=-1-i,p1:|z|=,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为-1+i,p4:z的虚部为-1.故真命题为p2,p4.答案C9.设z=+(1+i)2,则|=()A.B.1C.2D.解析z=+(1+i)2=+2i=1-i+2i=1+i,则|=.答案D10.若复数z=(aR,i
5、是虚数单位)是纯虚数,则在复平面内z对应点的坐标为()A.(0,2)B.(0,3i)C.(0,3)D.(0,2i)解析z=是纯虚数,即a=6.z=3i.在复平面内z对应点的坐标为(0,3).答案C11.已知复数i2 016(i是虚数单位)为纯虚数,则实数a的值为()A.2B.-2C.1D.-1解析i4=1,i2 016=1.复数i2 016=i为纯虚数.=0,0,解得a=2.答案A12.若A,B是锐角ABC的两内角,则复数z=(cos B-sin A)+(sin B-cos A)i在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析A,B是锐角ABC的两内角,A+B
6、.由得A-B.A,B为锐角ABC的内角,A.又在内,正弦函数是增加的,sin Asin,即sin Acos B.cos B-sin A-A,同理可得sin Bsin,即sin Bcos A,sin B-cos A0.故z对应的点在第二象限.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知i是虚数单位,计算=.解析=-i.答案-i14.已知复数z满足2z+=1-i,则|z|=.解析设z=a+bi(a,bR),因为2z+=1-i,所以2a+2bi+a-bi=1-i,故3a+bi=1-i,所以a=,b=-1,则|z|=.答案15.在复平面上,如果对应的复数分别是5+4i,-2+3i
7、,那么对应的复数为.解析对应的复数分别是5+4i,-2+3i,对应的复数为-2+3i-(5+4i)=-7-i.答案-7-i16.若复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称,且z1(3-i)=z2(1+3i),|z1|=,则z1=.解析设z1=a+bi,则z2=-a+bi,z1(3-i)=z2(1+3i),且|z1|=,解得z1=1-i或z1=-1+i.答案1-i或-1+i三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)若复数(m2-3m-4)+(m2-m-6)i表示的点在第四象限内,求实数m的取值范围.解由题意,知-2m-1.故m的
8、取值范围是m|mR,且-2m-1.18.(本小题满分12分)已知复数z=1+i,求实数a,b,使得az+2b =(a+2z)2.解因为z=1+i,所以az+2b =(a+2b)+(a-2b)i,(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a2+4a)+4(a+2)i.因为a,b都是实数,所以由az+2b =(a+2z)2,得两式相加并整理得a2+6a+8=0,解得a1=-2,a2=-4,相应得b1=-1,b2=2.所以所求实数为a=-2,b=-1或a=-4,b=2.19.(本小题满分12分)实数k为何值时,复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分别是(1)实数;(2)虚数;
9、(3)纯虚数;(4)零?解令z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.(1)当k2-5k-6=0时,zR,此时k=6或k=-1.(2)当k2-5k-60时,z是虚数,即k6且k-1.(3)当时,z是纯虚数,此时k=4.(4)当时,z=0,解得k=-1.综上,当k=6或k=-1时,z是实数;当k6且k-1时,z是虚数;当k=4时,z是纯虚数;当k=-1时,z是零.20.(本小题满分12分)已知复数z满足|z+2-2i|=2,且复数z在复平面内的对应点为M.(1)确定点M的集合构成图形的形状;(2)求|z-1+2i|的最大值和最小值.解(1)设复
10、数-2+2i在复平面内的对应点为P(-2,2),则|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=|MP|=2,故点M的集合是以P为圆心,2为半径的圆,如图所示.(2)设复数1-2i在复平面内的对应点为Q(1,-2),则|z-1+2i|=|MQ|.如图所示,由(1)知|PQ|=5,则|MQ|的最大值即|z-1+2i|的最大值,是|PQ|+2=7;|MQ|的最小值即|z-1+2i|的最小值,是|PQ|-2=3.21.(本小题满分12分)已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|.解(方法一)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).由已知,得a2+b2=1,c2+d
11、2=1,(a+c)2+(b+d)2=3.(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=2+2ac+2bd=3,2ac+2bd=1.又|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2ac-2bd=2-1=1,|z1-z2|=1.(方法二)在复平面内设z1,z2分别对应向量,则对角线对应z1+z2,对应z1-z2,由已知可得|=1,|=1,|=,OZ1Z=120.Z2OZ1=60.故在OZ1Z2中,|=1,即|z1-z2|=1.22.(本小题满分12分)已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(aR)有实数根b.(1)求实数a,b的值;(2)若
12、复数z满足|-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.解(1)因为b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(aR)的实数根,所以b2-(6+i)b+9+ai=0,即(b2-6b+9)+(a-b)i=0,故解得a=b=3.(2)设z=x+yi(x,yR),由|-3-3i|=2|z|,得|(x-3)-(y+3)i|=2|x+yi|,即(x-3)2+(y+3)2=4(x2+y2),即(x+1)2+(y-1)2=8.所以复数z对应的点Z的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,2为半径的圆,如图所示,当点Z在OO1的连线上时,|z|有最大值和最小值.因为|OO1|=,半径r=2,所以当z=1-i时,|z|min=.
