1、单调性与奇偶性微专题 一.设计目标.本节是在学完函数单调性与奇偶性后设计的一次微专题探究课，众所周知，函数性质是高一上一个教学难点也是高考必考点，所以有必要通过设计此次微专题课达到两方面目标：1.加强对函数单调性奇偶性的理解与认识，特别是在两个性质的应用方面，要通过题目强化认知，数形结合，提高认知能力.2.拓展对奇偶性的认知，将其推广到函数对称性，并进一步考虑单调性与对称性的综合应用，再次加强对函数性质的理解，最后通过个别高考题目达到强化，培优的效果.二知识回顾 1.函数的单调性定义 2.判断或证明函数单调性的常见方法 3.单调性的常见应用 4.函数奇偶性定义 5.判断或证明函数奇偶性的常见方
2、法 6.奇偶性常见应用 三微专题探究 2.1.奇偶性与单调性综合问题.例 1.已知偶函数)(xf在区间),0 上单调递增，则满足)31()12(fxf的 x 取值范围为（）A1 2,3 3 B1 2,3 3 C1 2,2 3 D1 2,2 3 例 2已知函数5()10f xxx，若 1 30f tft，则实数t 的取值范围是（）A1,2 B1,2 C1,4 D1,4 例 1.解析f（x）为偶函数，f（x）f（|x|）.则 f（|2x1|）13f ，又f（x）在0，）上单调递增，1213x，解得 1233x.故选：A.例 2 解析：由题得55()10(10)()fxxxxxf x ，所以函数()
3、f x 是奇函数，因为4()=5100fxx，所以()f x 是 R 上的增函数，所以 1 3(31)f tftft，所以131,2ttt .故选：A练习 1.定义在 R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,0,x xxx，有 21210f xf xxx，则（）A202120202019fff B201920202021fff C202020192021fff D202020212019fff 故选：A.2.2 函数的对称性.函数对称性主要有轴对称和中心对称两种情况.函数对称性研究的是一个函数本身所具有的性质.1.轴对称:函数图象关于一条垂直于 x 轴的直线对称，则当函数图象上任意两
4、个点)(,(),(,2211xfxxfx（到直线ax 的距离相等且函数值)()(21xfxf时.我们就称函数)(xfy 关于ax 对称.代数表示:(1).)()(xafxaf (2).)2()(xafxf 即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线ax 对称.一般地，若函数)(xfy 满足)()(xbfxaf，则函数)(xfy 的图象关于直线2bax对称.特别地，偶函数(关于 y 轴对称)，)()(xfxf，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相等.2.中心对称：函数)(xfy 上任意一点（)(,11xfx）关于点),(ba对称的点（)(,22xfx）也
5、在函数图像上，此时我们就称函数为关于点(ba,)对称的中心对称图像，点(ba,)为对称中心.用代数式表示：(1).bxafxaf2)()(2).bxafxf2)2()(一般地,若函数)(xfy 满足cxbfxaf)()(,则函数的图象关于点)2,2(cba 对称.特别地，奇函数(关于原点对称)，)()(xfxf，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反.3.注释:对称性的作用:知一半而得全部，即一旦函数具备对称性，则只需分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质.(1).利用对称性求得函数在某点的函数值.(2).利用对称性可以在作图时只需作出一半的图象，然后再根据对称性作出另一半
6、的图象.(3).对于轴对称函数，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；对于中心对称函数，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同.2.3.对称性的应用 2.3.1 对称性与单调性 例 3.在 R 上定义的函数 f x 是偶函数，且 2f xfx若 f x 在区间1,2 上是减函数，则 f x（）A在区间2,1 上是增函数，在区间3,4 上是减函数 B在区间2,1 上是增函数，在区间3,4 上是增函数 C在区间2,1 上是减函数，在区间3,4 上是增函数 D在区间2,1 上是减函数，在区间3,4 上是减函数 例 3 解析：由 2f xfx可得11f xfx，所以 f x 的对称轴为1x ，因为
7、函数 f x 是偶函数，所以 fxf x，由 2f xfx可得：2fxfx，所以 2f xfx，所以 f x 是周期为2 的周期函数，若 f x 在区间1,2 上是减函数，根据对称性可知 f x 在0,1 上是增函数，根据周期为 2 可知：f x 在区间2,1 上是增函数，在区间3,4 上是减函数，故选：A.2.3.2 已知对称性求解析式 例 4.已知函数()yf x的定义域为,11,，且(1)f x 为奇函数，当1x 时，2()2f xxx，则1()2f x 的所有根之和等于 A4 B5 C6 D12 例 4 解析：因为(1)f x 为奇函数，所以图像关于0,0 对称，所以函数()yf x的
8、图像关于1,0 对称，即 20f xfx当1x 时，2()2f xxx，所以当1x 时，2()68f xxx当2122xx时，可得122xx 当21682xx时，可得346xx所以1()2f x 的所有根之和为624故选 A2.3.3 对称函数的图象性质 例 5.已知函数)(Rxxf满足)2()(xfxf，若函数|32|2xxy的图象与函数)(xfy 的图象的交点为),),.(,(),(2211mm yxyxyx,则miix1()A.0 B.m C.m2 D.m4 结论 1.若)(),()()2()(xfyxafxafxafxf则或的图像关于直线ax 对称.设个不同的实数根，则有nxf0)(n
9、axaxxaxxaxxxxnnn)2()2()2(22221121.),212(111axxaxkn时，必有当 例 8.已知函数)(Rxxf满足)(2)(xfxf,若函数xxy1与)(xfy 图像的交点为)(1,1 yx,),(22 yx，（mm yx,），则miiiyx1)(A.0 B.m C.m2 D.m4 结论 2.若kyyhxxkhxfy2,2),)(/对称，则关于点（,即kxhfxfxfxf2)2()()()(/.一般地，对于 nkxhfxhfxhfxfxfxfnnn2)2()2()2()()()(1121 练习 2.已知函数 1f x 是偶函数，当121xx时，12120f xf
10、xxx 恒成立，设12af，2bf，3cf，则 a，b，c 的大小关系为（）Abac Bcba Cbca Dabc 练习 3已知函数)(xfy 在区间2,0上单调递增，且函数)2(xf为偶函数，则下列结论成立的是（）A57(1)22fff B 75122fffC 75122fffD57(1)22fff练习 2【详解】当121xx时，12120f xf xxx，则 21f xf x，所以，函数 f x 为1,上的增函数，由于函数 1f x 是偶函数，可得11fxfx，1335112222affff，53212，因此，bac.故选：A.练习 3【详解】因为函数 f(x2)是偶函数，所以 f(x2)
11、f(x2)，即函数 f(x)的图象关于 x2 对称，又因为函数 yf(x)在区间0，2上单调递增，所以函数 yf(x)在区间2，4上单调递减.因为 13ff，75322，所以 75322fff，即 75122fff，故选：B.一、单选题 1已知函数()()yf x xR满足()6(2)fxfx，若函数321xyx与()()yf x xR图象的交点为1122(,),(,)(,)mmx yx yxy，则 1()miiixy的值为（）A4m B3m C2m Dm 2已知函数 fx xR 满足 6fxf x，函数33yx 的图象与 yf x的图象的交点为11,x y，22,xy，1111,xy，则11
12、111ixy（）A 40 B50 C33 D70 3已知函数(1)f x 是偶函数，当211xx 时，21210f xf xxx恒成立，设1,(1),(2)2afbfcf则 a，b，c 的大小关系是（）A abc B acb Ccba Dcab 4已知定义在 R 上的函数()f x 在(1,)上为增函数，且函数(1)f x 为偶函数，则11,(4),(3)2fff的大小关系为（）A11(4)(3)2fff B11(4)(3)2fff C11(3)(4)2fff D11(4)(3)2fff 5已知函数 yf x是定义在 R 上的奇函数，且 2 f xf x，当0,2x时，22f xxx，则 1,
13、2fff的大小关系是（）A 12fff B 12fff C 12fff D 12fff 二、填空题 6若函数 3f xxaxb为偶函数，且在0,上单调递增，则20fx 的解集为_ 7已知定义在 R 上的奇函数 yf x满足2fxfx，且 12f，则102103ff的值为_.8已知函数 yf x是定义在 R 上的偶函数，当0 x 时，2f xx，那么不等式 210f x 的解集是 _ 三直击高考 1(2021 年高考全国甲卷理科)设函数 f x 的定义域为 R，1f x 为奇函数，2f x 为偶函数，当1,2x时，2()f xaxb若 036ff，则92f A94 B32 C 74 D 52 2
14、(2019 年高考数学课标全国卷理科)设函数()f x 的定义域为 R，满足(1)2()f xf x，且当0,1x时，()(1)f xx x若对任意,xm，都有 8()9f x，则 m 的取值范围是 A9,4 B7,3 C5,2 D8,3 3(2018 年高考数学课标卷（理）)已知()f x 是定义域为(,)的奇函数，满足(1)(1)fxfx若(1)2f，则(1)(2)(3)(50)ffff A 50 B0 C2 D50 参考答案 一练习题 1A解：由()6(2)fxfx，得(2)()6fxfx，所以函数()()yf x xR的图像关于点(1,3)对称，因为323(1)113111xxyxxx
15、，所以321xyx的图像可以看成是由1yx的图像向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位得到的，所以函数321xyx的图像关于点(1,3)对称，所以函数321xyx与()()yf x xR的图像交点关于点(1,3)对称，所以121322mmmxxxxxx，121326mmmyyyyyy，设123mMxxxx，则121mmmMxxxx，所以12112()()()2mmmMxxxxxxm，所以 Mm，设123mNyyyy，则121mmmNyyyy，所以12112()()()6mmmNyyyyyym，所以3Nm，所以，1()4miiixyMNm故选：A2C 由 6f xfx可知 yf x的图象关
16、于点0,3 对称，又因为33yx 的图象也关于点0,3 对称，所以两个函数的图象的交点关于点0,3 对称，即12110 xxx，121133yyy，所以11133iiixy，故选：C 3D.由题设知：(1,)x 时，()f x 单调递增，(1)f x 是偶函数，()f x 关于1x 对称，即(,1)x 上()f x 单调递减，由对称性可知：(2)(0)cff，而1102 ，1(1)()(0)2fff，即bac.故选：D.4D.因为函数(1)f x 为偶函数，所以函数()f x 关于1x 对称，又因为函数()f x 在(1,)上为增函数，所以函数()f x 在(,1)上为减函数，又因为11|(4
17、)(1)|3(1)(1)2 ，所以11(4)(3)2fff 故选：D5C.由于 fx 是 R 上的奇函数，且 2 f xf x，所以 4222f xf xf xf x，所以 fx 是周期为4 的周期函数.当0,2x时，2222f xxxxx.111 210ff .224402244f.24442 4fff 268240.98041 .所以 12fff.故选：C.6,15,2333f xxaxbaxab xb为偶函数，223333fxaxab xbaxab xb，30ab，即3ba，2299f xaxaa x，f x 在0,上单调递增，0a，21 50fxaxx，150 xx，解得1x 或5x，
18、不等式的解集为,15,故答案为：,15,.7 2 对任意Rx，由()f x 是奇函数得()()fxf x，又(2)()fxfx，所以(2)()f xf x，则(4)(2)()f xf xf x，所以()f x 是以 4 为周期的函数.由()f x 是 R 上的奇函数得(0)0f，所以(102)(2)(0)0fff，(103)(3)(1)(1)2ffff ，故(102)(103)2ff .故答案为：2.833|22xx；因为当0 x 时，2f xx，所以3312222f ，由 210f x 可得：12fx ，即 32f xf ，因为函数 yf x是定义在 R 上的偶函数，所以 f xfxfx，所
19、以 32fxf，因为0 x 时，2f xx，可知 yf x在0,单调递增，所以32x，解得3322x，所以不等式 210f x 的解集是33|22xx，故答案为：33|22xx.二直击高考 1D【详解】因为 1f x 是奇函数，所以11fxf x ；因为2f x 是偶函数，所以22f xfx 令1x ，由得：024ffab ，由得：31ffab，因为 036ff，所以 462ababa ，令0 x，由得：11102fffb，所以 222f xx 思路一：从定义入手9551222222ffff1335112222ffff 511322=2222ffff 所以935222ff 思路二：从周期性入手
20、由两个对称性可知，函数 f x 的周期4T 所以91352222fff 故选：D2B【详解】(0,1x时，()=(1)f xx x，(+1)=()f x2 f x，()2(1)f xf x，即()f x 右移 1 个单位，图像变为原来的 2 倍如图所示：当23x时，()=4(2)=4(2)(3)f xf xxx，令84(2)(3)9xx，整理得：2945560 xx，1278(37)(38)0,33xxxx（舍），(,xm 时，8()9f x 成立，即73m，7,3m ，故选 B3C【详解】详解：因为()f x 是定义域为(,)的奇函数，且(1)(1)fxfx，所以(1)(1)(3)(1)(1)4fxf xfxf xf xT ,因此(1)(2)(3)(50)12(1)(2)(3)(4)(1)(2)ffffffffff，因为(3)(1)(4)(2)ffff ，所以(1)(2)(3)(4)0ffff，(2)(2)(2)(2)0ffff，从而(1)(2)(3)(50)(1)2fffff，选 C.
