1、单元质检卷六数列(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020河北衡水二中高三模拟)记Sn为等差数列an的前n项和,若a1+3a5=12,则S7=()A.18B.21C.24D.272.(2020山西晋城一中高三月考)已知在等比数列an中,a5-a1=15,a4-a2=6,则a3=()A.-4B.4C.12或2D.-4或43.(2020湖北襄阳五中模考)在等比数列an中,a4,a6是方程x2+5x+1=0的两根,则a5=()A.1B.1C.52D.524.(2020海南高三调研)已知等差数列a
2、n,bn的前n项和分别为Sn和Tn,且SnTn=n+52n-1,则a7b6=()A.67B.1211C.1825D.16215.(2020江苏南京秦淮中学高三期末)在公差d不为零的等差数列an中,a6=17,且a3,a11,a43成等比数列,则d=()A.1B.2C.3D.46.在数列an中,a1=12,an=1-1an-1(n2,nN*),则a2 020=()A.12B.1C.-1D.27.(2020广东珠海高三模拟)已知等比数列an满足a1-a2=36,a1-a3=24,则使得a1a2an取得最大值的n为()A.3B.4C.5D.68.(2020河北唐山一中高一月考)数列an满足a1=23
3、,an+1=an2(2n+1)an+1,则数列an的前2 019项的和为()A.40354036B.40364037C.40374038D.40384039二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2020辽宁实验中学高三期中)已知数列an为等差数列,a1=1,且a2,a4,a8是一个等比数列中的相邻三项,记bn=anqan(q0,1),则数列bn的前n项和可以是()A.nB.nqC.q+nqn+1-nqn-qn(1-q)2D.q+nqn+2-nqn+1-qn+1(1-q)210.(202
4、0山东济南高三期末联考)已知数列an满足a1=1,an+1=an2+3an(nN*),则下列结论正确的有()A.1an+3为等比数列B.an的通项公式为an=12n+1-3C.an为递增数列D.1an的前n项和Tn=2n+2-3n-411.(2020河北邯郸大名中学高三月考)已知数列an不是常数列,其前n项和为Sn,则下列选项正确的是()A.若数列an为等差数列,Sn0恒成立,则an为递增数列B.若数列an为等差数列,a10,S3=S10,则Sn的最大值在n=6或7时取得C.若数列an为等比数列,则S2 021a2 0210恒成立D.若数列an为等比数列,则数列2an也为等比数列12.(202
5、0山东济南6月针对性训练)设an是无穷数列,若存在正整数k,使得对任意nN*,均有an+kan,则称an是间隔递增数列,k是an的间隔数,下列说法正确的是()A.公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B.已知an=n+4n,则an是间隔递增数列C.已知an=2n+(-1)n,则an是间隔递增数列且最小间隔数是2D.已知an=n2-tn+2 020,若an是间隔递增数列且最小间隔数是3,则4t20203恒成立,那么a的取值范围是.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2020安徽芜湖高三调考)已知各项均不为0的等差数列an的前n项和为Sn,
6、若a5=9,且a1,a4,S7成等比数列.(1)求数列an的通项公式an与Sn;(2)设bn=(-1)n(Sn+2n),求数列bn的前20项和T20.18.(12分)在数列an中,a1=1,an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2).(1)求an;(2)求1a2+2a3+3a4+n-1an.19.(12分)(2020上海第二中学高三期中)设Sn是等比数列an的前n项和,满足S3,S2,S4成等差数列,已知a1+2a3+a4=4.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn满足bn=1log2|an|,nN*,记Tn=b1b2+b2b3+b3b4+bnbn+1,nN*,若对于任意nN
7、*,都有aTn358的最小正整数n.参考答案单元质检卷六数列1.B因为a1+3a5=12,所以4a1+12d=12,即a1+3d=3=a4,所以S7=7(a1+a7)2=72a42=7a4=21.故选B.2.Da5-a1=15,a4-a2=6,则a1(q4-1)=15,a1(q3-q)=6,2q2-5q+2=0,解得q=2或q=12.q=2,a1=1或q=12,a1=-16.a3=22=4或a3=(-16)122=-4.故选D.3.B在等比数列an中,由题意知a4+a6=-5,a4a6=1,所以a40,a60恒成立,则公差d0,故an为递增数列,故A正确;若数列an为等差数列,a10,设公差为
8、d,由S3=S10,得3a1+322d=10a1+1092d,即a1=-6d,所以d0恒成立,故C正确;若数列an为等比数列,则2an=2a1qn-1,所以2an+12an=2an+1-an=2a1(qn-qn-1)不是常数,故数列2an不是等比数列,故D错误.故选ABC.12.BCD对于A,an+k-an=a1qn+k-1-a1qn-1=a1qn-1(qk-1),因为q1,所以当a10时,an+k0,解得k3,故B正确.对于C,an+k-an=2(n+k)+(-1)n+k-2n+(-1)n=2k+(-1)n(-1)k-1),当n为奇数时,2k-(-1)k+10,存在k1使an为间隔递增数列,
9、当n为偶数时,2k+(-1)k-10,存在k2使an为间隔递增数列.综上所述,an是间隔递增数列且最小间隔数是2,故C正确.对于D,若an是间隔递增数列且最小间隔数是3,则an+k-an=(n+k)2-t(n+k)+2020-(n2-tn+2020)=2kn+k2-tk0,nN*成立,则k2+(2-t)k0,对于k3成立,且k2+(2-t)k0,对于k2成立,即k+(2-t)0,对于k3成立,且k+(2-t)0,对于k2成立,所以t-23,且t-22,解得4t4a23,故要使得nN*,Sn20203恒成立只需4a2320203,解得a2505,故a505,+).17.解(1)设等差数列an的公
10、差为d,则a5=a1+4d=9,由a1,a4,S7成等比数列知a42=a1S7=a17a4,因为a40,所以a4=7a1,于是d=2a1,解得a1=1,d=2,an=2n-1,Sn=n(1+2n-1)2=n2.(2)因为bn=(-1)n(Sn+2n)=(-1)n(n2+2n),所以T20=b1+b2+b3+b20=-(12+21)+(22+22)-(32+23)+(202+220)=(22-12+42-32+202-192)+210=(1+2+3+20)+20=20(1+20)2+20=210+20=230.18.解(1)an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2),an-1=a1+
11、2a2+(n-2)an-2(n3),-,得an-an-1=(n-1)an-1,即anan-1=n(n3).当n=2时,a2=a1=1.a2a1=1,a3a2=3,a4a3=4,anan-1=n,上式累乘,得an=1345n=12n!(n2).an=1,n=1,n!2,n2.(2)1a2+2a3+3a4+n-1an=212!+23!+34!+n-1n!=211!-12!+12!-13!+1(n-1)!-1n!=21-1n!=2(n!-1)n!.19.解(1)设数列an的公比为q,由S3+S4=2S2,得S3-S2+S4-S2=0,即有a3+a4+a3=0,得q=-2.a1+a4=4-2a3,a1
12、+(-2)3a1=4-24a1,解得a1=4.故an=4(-2)n-1=(-2)n+1.(2)由(1)知bn=1log2|an|=1n+1,则bnbn+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2.Tn=12-13+13-14+14-15+1n+1-1n+2=12-1n+2=n2(n+2).依题意有an2(n+2)n+4对于任意nN*恒成立,即a2(n+2)(n+4)n对于任意nN*恒成立.设f(n)=(n+2)(n+4)n=n+8n+6,由于y=x+8x+6在区间1,22上单调递减,在区间22,+)上单调递增,f(n)min=f(3)=353,a2f(n)min=353,即a703.实数a
13、的取值范围为-,703.20.解(1)若选择条件a1=2,则放在第一行的任何一列,满足条件的等差数列an都不存在;若选择条件a1=1,则放在第一行的第二列,结合条件可得a1=1,a2=4,a3=7,则an=3n-2,nN*;若选择条件a1=3,则放在第一行的任何一列,满足条件的等差数列an都不存在.综上可得an=3n-2,nN*.(2)由(1)知,bn=(-1)n+1(3n-2)2.当n为偶数时,Tn=b1+b2+b3+bn=a12-a22+a32-a42+an-12-an2=(a1+a2)(a1-a2)+(a3+a4)(a3-a4)+(an-1+an)(an-1-an)=-3(a1+a2+a
14、3+an)=-3n(1+3n-2)2=-92n2+32n;当n为奇数时,Tn=Tn-1+bn=-92(n-1)2+32(n-1)+(3n-2)2=92n2-32n-2.故Tn=-92n2+32n,n为偶数,92n2-32n-2,n为奇数.21.解(1)由题意可知,等额本金还款方式中,每月的还款额构成一个等差数列,记为an,Sn表示数列an的前n项和,则a1=4900,a240=2510,则S240=240(a1+a240)2=120(4900+2510)=889200,故小张该笔贷款的总利息为889200-600000=289200(元).(2)设小张每月还款额为x元,采取等额本息的还款方式,
15、每月还款额为等比数列,则x+x(1+0.004)+x(1+0.004)2+x(1+0.004)239=600000(1+0.004)240,所以x1-1.0042401-1.004=6000001.004240,即x=6000001.0042400.0041.004240-16000002.610.0042.61-13891,因为3891289200,所以从经济利益的角度来考虑,小张应选择等额本金还款方式.22.解(1)由已知得(a1+d)2=a1(a1+4d),又a1=1,d0,d=2,则an=2n-1.1bn-1bn+1=12n,当n2时,1b1-1b2+1b2-1b3+1bn-1-1bn=12+122+12n-1=12(1-12n-1)1-12=1-12n-1,又b1=1,bn=2n-1(n2),又b1=1也适合上式,故bn=2n-1.(2)由题可知cn=anbn=2n-12n-1,Sn=1+32+522+2n-12n-1,12Sn=12+322+2n-32n-1+2n-12n,两式相减,得12Sn=1+212+122+12n-1-2n-12n.Sn=6-2n+32n-0,Sn关于n单调递增,又S3=154=308358,使Sn358的最小正整数n=4.
