1、习题课三角恒等变换的应用1.函数f(x)=sin xcos x+cos 2x的最小正周期和振幅分别是()A.,1B.,2C.2,1D.2,2解析:f(x)= sin 2x+cos 2x=sin,所以最小正周期为T=,振幅A=1.答案:A2.下列关于函数y=的图象说法正确的是()A.关于直线x=对称B.关于点对称C.关于点(,0)对称D.关于点对称解析:y=tan,令,kZ,x=k,kZ.图象关于点(k,0)对称.故选C.答案:C3.函数y=sin 2x+sin2x的值域是()A.B.C.D.解析:y=sin 2x+sin2x=sin 2x+=sin,所求函数的值域为.答案:C4.(2016广东
2、广州模拟)设a=2sin 13cos 13,b=,c=,则有()A.cabB.abcC.bcaD.acc;在上tan sin ,所以ba,所以cab,故选A.答案:A5.有一块以O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地,使其一边AD落在半圆的直径上,另外两点B,C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为a,则当矩形ABCD的面积最大时,AD的长为()A.aB.aC.D.解析:如图所示,设AOB=,则AB=asin ,OA=acos .设矩形ABCD的面积为S,则S=2OAAB,S=2acos asin =a22sin cos =a2sin 2.,2(0,).当2=,即
3、=时,Smax=a2,此时,A,D距离O点都为a.AD=a.答案:A6.函数y=cos2+sin2-1的最小正周期为.解析:y=cos2+sin2-1=-1=sin 2x,T=.答案:7.已知,则sin x-cos x=.解析:原式=2sin xcos x=,由于xcos x,故sin x-cos x=.答案:8.设函数f(x)=2cos2x+sin 2x+a(a为实数)在区间上的最小值为-4,则a的值等于.解析:f(x)=2cos2x+sin 2x+a=1+cos 2x+sin 2x+a=2sin+a+1.当x时,2x+,f(x)min=2+a+1=-4,a=-4.答案:-49.导学号087
4、20096设ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),若mn=1+cos (A+B),则C的值为.解析:易知mn=sin Acos B+cos Asin B=sin (A+B)=sin (-C)=sin C.又cos (A+B)=cos (-C)=-cos C,所以sin C=1-cos C,即sin C+cos C=1,所以2sin =1,即sin .由于C+,所以C+,故C=.答案:10.设向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x.(1)若|a|=|b|,求x的值;(2)设函数f(x)=ab,求f(x)的
5、最大值.解:(1)由已知|a|=2,|b|=1.|a|=|b|,2=1.又x,sin x=.x=.(2)f(x)=ab=sin xcos x+sin2x=sin 2x+=sin.0x,-2x-.当2x-,即x=时,f(x)max=.即当x=时,f(x)取得最大值为.11.导学号08720097已知向量a=(cos x-sin x,sin x),b=(-cos x-sin x,2cos x),设函数f(x)=ab+(xR)的图象关于直线x=对称,其中,为常数,且.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若y=f(x)的图象经过点,求函数f(x)在区间上的取值范围.解:f(x)=ab+=(sin x-cos x)(sin x+cos x)+2sin xcos x+=sin2x-cos2x+2sin xcos x+=sin 2x-cos 2x+=2sin +.(1)因为函数f(x)=ab+(xR)的图象关于直线x=对称,所以2-=k+,kZ,解得=,kZ.又,所以k=1,则=,所以f(x)=2sin +的最小正周期为.(2)由y=f(x)的图象过点,得f=0,即=-2sin =-2sin =-,故f(x)=2sin .由0x,有-x-,所以-sin 1,得-1-2sin 2-,故函数f(x)在上的取值范围为.
