1、 第十章 圆锥曲线与方程 第二讲 双曲线 1.2020 浙江,8,4 分已知点 O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点 P 满足|PA|-|PB|=2,且 P 为函数 y=34-2图象上的点,则|OP|=()A.222 B.4105 C.7 D.10 2.2021 大同市调研测试已知双曲线 C 与抛物线 x2=8y 有共同的焦点 F,且点 F 到双曲线 C 的渐近线的距离等于 1,则双曲线 C 的方程为()A.23-x2=1 B.23-y2=1 C.25-x2=1 D.y2-25=1 3.2021 郑州名校联考第一次调研已知双曲线22 22=1(a0,b0)的渐近线与圆(x-1)2+
2、y2=sin2130相切,则该双曲线的离心率 e 等于()A.1sin50 B.1cos50 C.2sin 50 D.2cos 50 4.2021 四省八校联考若 P 是双曲线 x2-y2=1 上一点,以线段 PO(O 为坐标原点)为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于不同于原点的 A,B 两点,则四边形 PAOB 的面积为()A.13 B.12 C.1 D.2 5.2020 陕西省部分学校摸底检测设双曲线24 23=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1的直线 l 交双曲线左支于 A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为()A.13 B.12 C.11 D.10 6.2020
3、南昌市测试圆 C:x2+y2-10y+16=0 上有且仅有两点到双曲线22 22=1(a0,b0)的一条渐近线的距离为 1,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(2,5)B.(53,52)C.(54,52)D.(5,2+1)7.2020 江西红色七校第一次联考双曲线 C:x2-23=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在 C 上且 tanF1PF2=43,O 为坐标原点,则|OP|=.8.2021 安徽省示范高中联考已知点 F 为双曲线 C:22 22=1(a0,b0)的右焦点,直线 y=kx,k33,3与双曲线 C交于 A,B 两点,若 AFBF,则该双曲线的离心率的取值范围是()
4、A.2,3+1 B.2,2+6 C.2,3+1 D.2,2+6 9.2021 江西九江三校联考已知双曲线22 22=1(a0,b0)的离心率为 2,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,M(-a,0),N(0,b),点 P 为线段 MN 上的动点,当1 2 取得最小值和最大值时,PF1F2的面积分别为 S1,S2,则21=()A.4 B.8 C.23 D.43 10.2021 河南省名校第一次联考已知 F1,F2分别为双曲线22 22=1(a0,b0)的左、右焦点,过 F1(-c,0)作 x 轴的垂线交双曲线于 A,B 两点,若F1AF2的平分线过点 M(-13c,0),则双曲线的离心率为()A
5、.2 B.2 C.3 D.3 11.2020 福州适应性测试已知双曲线 C:22 22=1(a0,b0)的一条渐近线方程为 x-2y=0,A,B 是 C 上关于原点对称的两点,M 是 C 上异于 A,B 的动点,直线 MA,MB 的斜率分别为 k1,k2,若 1k12,则 k2的取值范围为()A.18,14 B.14,12 C.-14,-18 D.-12,-14 12.2020 洛阳市第一次联考已知双曲线 C:22 22=1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),A,B 是圆(x+c)2+y2=4c2与双曲线 C 位于 x 轴上方的两个交点,且 F1AF2B,则双曲
6、线 C 的离心率为()A.2+73 B.4+73 C.3+174 D.5+174 13.2020 惠州市二调新定义题我们把焦点相同、离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当F1PF2=60时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是()A.3 B.2 C.233 D.2 14.2021 河北衡水中学联考情境创新小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支,D 为其顶点,如图10-2-1 所示.小明经过测量得知,该双曲线的渐近线相互垂直,且 AB 与 DC 垂直,AB=80 cm,DC=20 cm,若该双曲线的焦点位
7、于直线 DC 上,则点 D 下方的焦点距点 D cm.图 10-2-1 15.递进型在平面直角坐标系中,若双曲线的渐近线方程为 2xy=0,且该双曲线经过点(54,32),则该双曲线的标准方程为 ,焦点坐标为 .答 案 第十章 圆锥曲线与方程 第二讲 双曲线 1.D 由|PA|-|PB|=20,b0),则其渐近线方程为 y=x,即 axby=0,点 F(0,2)到渐近线的距离为22+2=2=1,所以 b=1,所以 a2=c2-b2=3,故双曲线的方程为23 x2=1,故选 A.3.B 根据对称性,取双曲线的一条渐近线 bx-ay=0.圆(x-1)2+y2=sin2130的圆心为(1,0),半径
8、 r=sin 130=sin 50.因为渐近线与圆(x-1)2+y2=sin2130相切,所以2+2=sin 50,所以22=sin250cos250.所以 e=1+22=1+sin250cos250=1cos50.故选 B.4.B 解法一 由题意,知该双曲线的渐近线方程为 y=x,所以该双曲线的两条渐近线互相垂直.因为 OP 为圆的直径,点 A,B 在圆上,所以OAP=OBP=90,所以四边形 PAOB 为矩形.设点 P(x1,y1),则点 P 到两条渐近线的距离分别为|1-1|2,|1+1|2,所以四边形 PAOB 的面积为|12-12|2.又点 P(x1,y1)在双曲线 x2-y2=1
9、上,所以12 12=1,所以 S 四边形 PAOB=|12-12|2=12,故选 B.解法二 如图 D 10-2-1,由题意,点 P 为双曲线上任意一点,不妨设点 P 为双曲线的右顶点,即 P(1,0).易知双曲线的渐近线方程为 y=x,所以该双曲线的两条渐近线互相垂直.因为 OP 为圆的直径,点 A,B 在圆上,所以OAP=OBP=90.又点 P(1,0)到两条渐近线的距离均为22,所以四边形 PAOB 为正方形,所以 S 四边形 PAOB=(22)2=12,故选B.图 D 10-2-1 5.C 由题意得双曲线的实半轴长 a=2,虚半轴长 b=3.根据双曲线的定义得|AF2|-|AF1|=2
10、a=4,|BF2|-|BF1|=2a=4,+得|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+8=|AB|+8.易得|AB|min=22=3,所以|AF2|+|BF2|的最小值为 11,故选 C.6.C 不妨设该渐近线经过第二、四象限,则该渐近线的方程为 bx+ay=0.因为圆 C:x2+(y-5)2=9,所以圆 C 的圆心为(0,5),半径为 3,所以 2|5|2+24,结合 a2+b2=c2,得54 0,b0)的一条渐近线方程为 x-2y=0,可得=12,即 a=2b,则双曲线的方程为242 22=1(b0).设 A(x1,y1),M(x0,y0),则 B(-x1,-y1),因为 A,B,
11、M 在双曲线上,所以1242-122=1,0242-022=1,两式相减得(1+0)(1-0)42=(1+0)(1-0)2,所以14=(1+0)(1-0)(1+0)(1-0),即 k1k2=14.因为 1k12,所以 k2=14118,14.故选 A.12.C 如图 D 10-2-2,连接 BF1,AF2,由双曲线的定义知,|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,由|BF1|=|AF1|=2c,可得|AF2|=2a+2c,|BF2|=2c-2a,在AF1F2中,由余弦定理可得 cosAF1F2=42+42-(2+2)2222=2-2-222,在BF1F2中,由余弦定理可得
12、cosBF2F1=42+(2-2)2-4222(2-2)=-2,由 F1AF2B,可得BF2F1+AF1F2=,则有 cosBF2F1+cosAF1F2=0,即2-2-222+-2=0,整理得 2c2-3ac-a2=0,可化为 2e2-3e-1=0,解得 e=3+174或 e=3174(舍去),所以双曲线 C 的离心率为3+174.故选 C.图 D 10-2-2 13.A 设椭圆、双曲线的离心率分别为 e1,e2,椭圆的长半轴长为 a1,椭圆的半焦距为 c,双曲线的实半轴长为a2,|PF1|=x,|PF2|=y,xy.由椭圆、双曲线的定义得+=21,-=22,=1+2,=1-2.在PF1F2中
13、,由余弦定理得cosF1PF2=2+2-(2)22=cos 60,2(12+22)-422(12-22)=12,12+322=4c2.e1e2=12=1,c2=a1a2,12+322=4a1a2,即(a1-a2)(a1-3a2)=0,a1=3a2,322=c2,e2=2=3,即双曲线的离心率为3.故选 A.14.30(2 1)将题图逆时针旋转 90,并以 DC 所在直线为 x 轴,点 D 左侧的点 O 为坐标原点,与 DC 垂直的直线为 y 轴建立平面直角坐标系,如图 D 10-2-3 所示.设该双曲线的方程为22 22=1(a0,b0).因为该双曲线的渐近线相互垂直,所以 a=b.由题意知,
14、(+20)224022=1,解得 a=b=30,c=302,故点 D 下方的焦点距点 D 30(2 1)cm.图 D 10-2-3 15.x224=1(5,0)解法一 因为点(54,32)在渐近线 y=2x 的下方,所以双曲线的焦点在 x 轴上,设双曲线的标准方程为22 22=1(a0,b0),由双曲线的渐近线方程为 2xy=0,知 b=2a,由=2,25162-942=1,得2=1,2=4,所以双曲线的标准方程为 x224=1,焦点坐标为(5,0).解法二 由双曲线的渐近线方程为 2xy=0,设双曲线的方程为 4x2-y2=,再将(54,32)代入双曲线的方程,得=4,所以双曲线的标准方程为 x224=1,焦点坐标为(5,0).