1、习题课二项式定理的应用课后篇巩固提升A组1.(a+b)n二项展开式中与第r-1项系数相等的项是()A.第(n-r)项B.第(n-r+1)项C.第(n-r+2)项D.第(n-r+3)项解析:因为第(r-1)项的系数为,所以第(n-r+3)项与第(r-1)项的系数相等.答案:D2.使(nN+)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.7解析:由二项式的通项公式得Tr+1=3n-r,若展开式中含有常数项,则n-r=0,即n=r,所以n最小值为5.答案:B3.设函数f(x)=则当x0时,ff(x)表达式的展开式中常数项为()A.-20B.20C.-15D.15解析:当x0时,f(x)=
2、-0,则ff(x)=.Tr+1=)6-r=(-1)r=(-1)rx3-r.令3-r=0,得r=3,此时T4=(-1)3=-20.答案:A4.已知21010+a(0a11)能被11整除,则实数a的值为.解析:根据题意,由于21010+a=2(11-1)10+a,由于21010+a(0a11)能被11整除,根据二项式定理展开式可知,2(11-1)10被11除的余数为2,从而可知2+a能被11整除,可知a=9.答案:95.若(2x-3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于.解析:在已知等式两边对x求导,得5(2x-3)42=a1+2a2
3、x+3a3x2+4a4x3+5a5x4,令x=1,得a1+2a2+3a3+4a4+5a5=5(21-3)42=10.答案:106.在(3x-2y)20的展开式中,系数绝对值最大的项为.解析:设系数绝对值最大的项是第r+1项,则所以r(n+2)(nN+,n2).证明因为nN+,且n2,所以3n=(2+1)n展开后至少有4项.(2+1)n=2n+2n-1+2+12n+n2n-1+2n+12n+n2n-1=(n+2)2n-1,故3n(n+2)2n-1(nN+,n2).9.求证:1+2+22+(nN+)能被31整除.证明1+2+22+=-1=32n-1=(31+1)n-1=31n+31n-1+31+-
4、1=31(31n-1+31n-2+),显然31n-1+31n-2+为整数,原式能被31整除.B组1.若(x+y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy1,即x的取值范围为(1,+).答案:D2.2 0152 015除以8的余数为()A.1B.3C.5D.7解析:2 0152 015=(2 016-1)2 015=2 0162 015+2 0162 014(-1)1+(-1)2 015,倒数两项和为2 0152 016-1,其除以8的余数为7,因此2 0152 015除以8的余数是7.答案:D3.x8=a0+a1(x-1)+a8(x-1)8,则a7=.解析:x8=1+
5、(x-1)8=(x-1)+(x-1)7+(x-1)8,a7=8.答案:84.(2x-1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为.解析:因为(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+a10x10,令x=1,得a0+a1+a2+a10=1,再令x=-1,得310=a0-a1+a2-a3+a10,两式相减,可得a1+a3+a9=.答案:5.设的展开式的常数项为a,则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为.解析:Tr+1=xr-3x2r=x3r-3,令r=1,得a=3,直线y=3x与曲线y=x2的交点坐标为(0,0)和(3,9),直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积S=(3x-x2)dx=.答案
6、:6.若(2x+)4=a0+a1x+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为.解析:令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=(2+)4,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=(-2+)4,(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+)4(-2+)4=1.答案:17.求证:32n+3-24n+37能被64整除.证明32n+3-24n+37=39n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(8n+1+8n+8+1)-24n+37=364(8n-1+8n-2+)+24-24n+40=643(8n-1+8n-2+)+64.显然上式是64的倍数,故原式可被64整除.8.已知在二项式(axm+bxn)12中,a0,b0,mn0且2m+n=0.(1)如果在它的展开式中,系数最大的项是常数项,则它是第几项?(2)在(1)的条件下,求的取值范围.解:(1)设Tk+1=(axm)12-k(bxn)k=a12-kbkxm(12-k)+nk为常数项,则有m(12-k)+nk=0,即m(12-k)-2mk=0.m0,k=4,它是第5项.(2)第5项是系数最大的项,由得,由得,.
