1、期中学业水平检测一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2021天津六校高一上期末联考)设集合A=x|x2-5x+40,B=xN|x2,则AB=()A.x|1x2B.1,2C.0,1D.0,1,22.(2021江苏苏州高一上期末)有下面四个命题:p1:xR,x2+10;p3:xZ,|x|N;p4:xR,x2-2x+3=0.其中是真命题的为()A.p1B.p2C.p3D.p43.(2021天津东丽高一上期末)下列幂函数在区间(0,+)内单调递减的是()A.y=xB.y=x2C.y=x3D.y=x-14.(2021北京一零一中学
2、高一上期末)已知偶函数f(x)在(-,0)上单调递减,若a=f(1),b=f(2),c=f-12,则a,b,c的大小关系为()A.abcB.acbC.bacD.cab5.(2021河北唐山高一上期末)“不等式mx2+x+m0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()A.m12B.0m14D.m16.(2021安徽淮南高一上期末)建造一个容积是8m3,深2m的无盖长方体水池,如果池底的造价为每平方米120元,池壁的造价为每平方米80元,则这个水池的最低总造价为()A.1760元B.1860元C.1960元D.1260元7.(2021福建南平高一上期末)已知x0,y0,且2x+y+6-xy=0,则x
3、y的最小值为()A.16B.18C.20D.228.(2021北京东城高一上期末)已知函数f(x)=x+ax,给出下列结论:aR,f(x)是奇函数;aR,f(x)不是奇函数;aR,方程f(x)=-x有实根;aR,方程f(x)=-x有实根.其中所有正确结论的序号是()A.B.C.D.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.(2021江苏扬州高一上期末)下列说法中,正确的是()A.若abb2B.若ab0,则baabC.若x(0,+),x+1xm恒成立,则实数m的最大值为2D.若a0,b0,
4、a+b=1,则1a+1b的最小值为410.(2021山东济宁高一上期末)若方程x2+2x+=0在区间(-1,0)上有实数根,则实数的值可以是()A.-3B.18C.14D.111.(2021江苏南京高一上期末)我们知道,如果集合AS,那么集合A相对于S的补集为SA=x|xS,且xA.类似地,对于非空集合A,B,我们把集合x|xA,且xB叫做集合A与B的差集,记作A-B.据此,下列说法中正确的是()A.若AB,则A-B=B.若BA,则A-B=AC.若AB=,则A-B=AD.若AB=C,则A-B=A-C12.(2021山东泰安高一上期末)已知函数f(x)的定义域为R,且f2=0,f(0)0.若x,
5、yR,f(x)+f(y)=2fx+y2fx-y2,则下列说法正确的是()A.f(0)=1B.f(-x)=-f(x)C.f(2+x)=f(x)D.f(2x)=2f(x)2-1三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2021天津和平高一上期末)命题“xR,x2-x+1=0”的否定是.14.(2021黑龙江哈尔滨九中高一上期末)已知a0,b0,且a+4b=1,则1a+1b的最小值为.15.(2021广东广州越秀高一上期末)为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”,计费方式如下表.若某户居民本月交纳的水费为66元,则此户居民本月的用水量为.每户每月用水量水价不
6、超过12m3的部分3元/m3超过12m3但不超过18m3的部分6元/m3超过18m3的部分9元/m316.(2021福建厦门高一上期末)某班有50名学生,其中参加关爱老人活动的学生有40名,参加洁净家园活动的学生有32名,则同时参加两项活动的学生最多有名,最少有名.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2021山东菏泽高一上期末)已知全集为R,集合A=x|(x-6)(x+3)0,B=x|axa+2.(1)若AB=,求实数a的取值范围;(2)若AB=B,求实数a的取值范围.18.(12分)(2021湖北第五届高考测评高一上期末)(1)已知关
7、于x的不等式ax2+bx-10的解集为13,12,求不等式x2-bx-a0的解集;(2)已知a,b均为正实数,且a+b=2,求证:1a+1b+1ab3.19.(12分)(2021湖南永州高一上期末)已知p:实数x满足x2-3ax+2a20.(1)若a=1,求实数x的取值范围;(2)已知q:实数x满足2x3.是否存在实数a,使得p是q的条件?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.从充分不必要,必要不充分这两个条件中任选一个补充在问题中,并加以解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.20.(12分)(2021吉林高一上期末)已知函数f(x)是定义在R上的减函数,对于任意的x
8、1,x2R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(0),并证明f(x)为R上的奇函数;(2)若f(-1)=2,解关于x的不等式f(x)-f(3-x)0.(1)判断函数f(x)的奇偶性并说明理由;(2)求不等式f(x)3的解集.22.(12分)(2021广东广雅中学高一上期末)受新冠肺炎疫情影响,呼吸机成为紧缺商品,某呼吸机生产企业为了提高产品的产量,投入90万元安装了一台新设备,并立即进行生产,预计使用该设备前n(nN+)年的材料费、维修费、人工工资等共52n2+5n万元,每年的销售收入为55万元.设使用该设备前n年的总盈利额为f(n)万元.(1)写出f(n)关于n的函数关
9、系式,并估计企业从第几年开始盈利;(2)使用若干年后,对该设备处理的方案有两种:方案一:当总盈利额达到最大时,以10万元的价格处理该设备,方案二:当年平均盈利额达到最大时,以50万元的价格处理该设备.问选择哪种方案更合适?并说明理由.答案全解全析1.B集合A=x|x2-5x+40=x|1x4,B=xN|x2=0,1,2,AB=1,2.故选B.2.C对于p1,不存在xR,使得x2+10,故该命题为假命题;对于p2,当x0时,x+|x|=0,故该命题为假命题;对于p3,xZ,|x|N,该命题为真命题;对于p4,由于x2-2x+3=0中=4-12=-81120,所以f(2)f(1)f12=f-12,
10、即bac.故选C.5.C若不等式mx2+x+m0在R上恒成立,则m0且1-4m212,则结合选项知“不等式mx2+x+m0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是m14,故选C.6.A长方体水池的容积是8m3,深2m,底面积为4m2.设长为x(x0)m,总造价为y元,则宽为4xm,侧面面积为4x+16xm2,y=4120+4x+16x80=320x+4x+4802320x4x+480=1760,当且仅当x=4x,即x=2时取等号.故这个水池的最低总造价为1760元.故选A.7.Bx0,y0,且2x+y+6-xy=0,xy-6=2x+y22xy(当且仅当2x=y时取等号),令xy=t(t0),则不等
11、式化为t2-22t-60,解得t32(t-2舍去),xy32,解得xy18,xy的最小值为18.故选B.8.B易知函数f(x)=x+ax的定义域关于原点对称,且f(-x)=-x-ax=-f(x),所以aR,f(x)是奇函数,故正确,错误.方程f(x)=-x,即x+ax=-x,即2x2+a=0,当a0时,方程无实根,当a0时,x=-a2,所以aR,方程f(x)=-x有实根,故错误,正确.故正确结论的序号是.故选B.9.ACD若ab0,故abb2,所以A正确;若ab0,则ba-ab=b2-a2ab0,所以ba0时,x+1x2x1x=2(当且仅当x=1时取等号),所以若x(0,+),x+1xm恒成立
12、,则实数m的最大值为2,所以C正确;若a0,b0,a+b=1,则1a+1b=1a+1b(a+b)=2+ba+ab2+2baab=4,当且仅当a=b=12时取等号,所以1a+1b的最小值为4,所以D正确.故选ACD.10.BC由题意得=-x2-2x在(-1,0)上有解.当x(-1,0)时,-x2-2x=-(x+1)2+1(0,1),(0,1).故选BC.11.ACD对于选项A,若AB,则A中的元素均在B中,则A-B=,故选项A正确;对于选项B,若BA,则B中的元素均在A中,则A-B=ABA,故选项B错误;对于选项C,若AB=,则A、B无公共元素,则A-B=A,故选项C正确;对于选项D,若AB=C
13、,则A-B=AC=A-C,故选项D正确.故选ACD.12.ACD在选项A中,令x=y=0,得2f(0)=2f(0)2,即f(0)f(0)-1=0,因为f(0)0,所以f(0)=1,故正确;在选项B中,令y=-x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x),即f(-x)=f(x),故错误;在选项C中,令y=x+,得f(x)+f(x+)=2f2x+2f-2=2f2x+2f2=0,即f(x+)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x+)=f(x),故正确;在选项D中,令x=0,y=2x,得f(0)+f(2x)=2f(x)f(-x)=2f(x)2,所以f(2x)=2f(x)2-1,故正确.故选ACD.
14、13.答案xR,x2-x+1014.答案9解析因为a0,b0,且a+4b=1,所以1a+1b=a+4ba+a+4bb=5+4ba+ab5+24baab=9,当且仅当4ba=ab且a+4b=1,即a=13,b=16时取等号,则1a+1b的最小值为9.15.答案17m3解析设用水量为xm3,水费为y元,当0x12时,y=3x,当1218时,y=123+66+(x-18)9=9x-90,y=3x,0x12,6x-36,1218,366672,令6x-36=66,解得x=17,即此户居民本月的用水量为17m3.16.答案32;22解析设参加两项活动的学生人数为x,则0x40,0x32,(40-x)+x
15、+(32-x)50,解得22x32,同时参加两项活动的学生最多有32名,最少有22名.17.解析易知A=x|x6.(2分)(1)AB=,B=x|axa+2,a-3,a+26,解得-3a4,实数a的取值范围为-3,4.(5分)(2)AB=B,BA,(7分)a+2-3或a6,解得a-5或a6,实数a的取值范围为a|a-5或a6.(10分)18.解析(1)不等式ax2+bx-10的解集为13,12,a0,且13,12为方程ax2+bx-1=0的两个根,(2分)13+12=-ba,1312=-1a,a=-6,b=5.(4分)x2-bx-a0即为x2-5x+60,2x3,所求不等式的解集为(2,3).(
16、6分)(2)证明:a,b均为正实数,2=a+b2ab,当且仅当a=b=1时,等号成立,0ab1,0ab1,当且仅当a=b=1时,等号成立,(9分)1a+1b+1ab=b+a+1ab=3ab3,当且仅当a=b=1时等号成立.故1a+1b+1ab3.(12分)19.解析(1)因为a=1,所以不等式可化为x2-3x+20,(3分)解得1x2,所以实数x的取值范围为(1,2).(6分)(2)由x2-3ax+2a20,可得ax3,(10分)解得32a2,所以实数a的取值范围为32,2.(12分)20.解析(1)令x1=x2=0,得f(0)=2f(0),解得f(0)=0.(2分)证明:令x1=x,x2=-
17、x,则f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0,(4分)f(-x)=-f(x),又f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(x)为R上的奇函数.(6分)(2)令x1=x2=-1,则f(-2)=2f(-1)=22=4,(8分)不等式f(x)-f(3-x)4可化为f(x)+f(x-3)=f(2x-3)-2,解得x12,不等式的解集为12,+.(12分)21.解析(1)函数f(x)为偶函数.理由如下:(1分)f(x)的定义域为R,关于原点对称.当x=0时,f(0)=0,满足f(-x)=f(x),(2分)当x0,则f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x=f(x),当x0时,-x0,x2-
18、2x3,(10分)解得-3x3,即不等式的解集为-3,3.(12分)22.解析(1)由题意得f(n)=55n-90-52n2+5n=-52n2+50n-90(nN+).(2分)令f(n)0,得-52n2+50n-900,即n2-20n+360,解得2n18.(5分)又nN+,所以企业从第3年开始盈利.(6分)(2)方案一:总盈利额f(n)=-52(n-10)2+160,当n=10时,f(n)max=160.故方案一的总利润为160+10=170万元,此时n=10.(8分)方案二:每年平均利润为 f(n)n=50-52n+36n50-522n36n=20,当且仅当n=36n,即n=6时,等号成立.故方案二的总利润为620+50=170,此时n=6.(11分)比较两种方案,获利都是170万元,但方案一需要10年,方案二需要6年,故选择方案二更合适.(12分)