1、安徽省蚌埠二中2021届高三数学下学期6月最后一卷试题 文（试卷满分值：150分 考试时间：120分钟）注意事项：第卷所有选择题的答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置、第卷的答案必须用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡的相应位置上，否则不予计分.第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设（为虚数单位），则A.0 B. C.1 D.2.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形，一块中三角形和两块全等的大三角形），一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一
2、个用七巧板拼成的正方形，若向正方形内随机抛掷2000粒绿豆（大小忽略不计），则落在图中阴影部分内绿豆粒数大约为A.750 B.500 C.375 D.2503.集合，则A. B. C. D.4.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆.已知图（1），（2），（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，设图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别为，则 （1） （2） （3）A. B. C. D.5.2021年电影春节档票房再创新高，其中电影唐人街探案3和你好，李焕英是今年春节档电影中最火
3、爆的两部电影，这两部电影都是2月12日（大年初一）首映，根据猫眼票房数据得到如下统计图，该图统计了从2月12日到2月18日共计7天的累计票房（单位：亿元），则下列说法中错误的是A.这7天电影你好，李焕英每天的票房都超过2.5亿元B.这7天两部电影的累计票房的差的绝对值先逐步扩大后逐步缩小C.这7天电影你好，李焕英的当日票房占比逐渐增大D.这7天中有4天电影唐人街探案3的当日票房占比超过50%6.已知，则，的大小排序为A. B. C. D.7.函数的部分图象大致是A. B.C. D.8.一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为，大圆柱底面半径为，如图1放置容器时，液面以上
4、空余部分的高为，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为，则 图1 图2A. B. C. D.9.已知实数，满足若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是A. B. C. D.10.已知数列的通项公式，前项和为，若，则的最大值是A.5 B.10 C.15 D.2011.已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，点，是与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是A. B. C. D.12.函数的零点个数为A.8 B.9 C.6 D.4第卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知，则_.14.根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周
5、时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾三股四弦五”的问题.现有满足“勾三股四弦五”，其中“股”，为“弦”上一点（不含端点），且满足勾股定理，则_.15.我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的外接球的表面积为_平方分米.16.设双曲线：的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是_.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.
6、第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：（每小题12分，共60分.）17.已知内接于单位圆，且.（1）求角；（2）求面积的最大值.18.自从新型冠状病毒爆发以来，美国疫情持续升级，以下是美国2020年4月9日-12月14日每隔25天统计1次共计11次累计确诊人数（万）.日期（月/日）4/095/045/296/237/188/13统计时间序号123456累计确认人数43.3118.8179.4238.8377.0536.0日期（月/日）9/0610/0110/2611/1912/14统计时间序号7891011累计确认人数646.0744.7888.91187.41673.7（
7、1）将4月9日作为第1次统计，若将统计时间序号作为变量，每次累计确诊人数作为变量，得到函数关系，对上表的数据作初步处理，得到部分数据已作近似处理的一些统计量的值，根据相关数据，确定该函数关系式（参数，的取值精确到0.01）；（2）为了了解患新冠肺炎与年龄的关系，已知某地曾患新冠肺炎的老年、中年、青年的人数分别为45人，30人，15人，按分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从6人中随机抽取2人进行调查结果对比，求这2人中至少有一人是老年人的概率.参考公式：线性回归方程中，；19.如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，点为上一点，且，.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.20.已知抛物
8、线：的焦点为，直线：与抛物线交于，两点.（1）若直线过焦点，且与圆交于，（其中，在y轴同侧）两点，求证：是定值；（2）设抛物线在点和点处的切线交于点，试问在轴上是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出此时直线的斜率和点的坐标；若不存在，请说明理由.21.函数.（1）求在x=e处的切线方程（为自然对数的底数）；（2）设，若，且，满足，求证：.（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分）22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程
9、为.（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）设射线：与曲线交于点，与直线交于点，求线段的长.23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数，记的最小值为.（1）解不等式的解集；（2）是否存在正实数，同时满足：，说明理由.蚌埠二中2021届高三最后一卷数学（文科）参考答案一、选择题：（每小题5分，共60分）1.C 2.C 3.A 4.D 5.D 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B 11.D 12.A二、填空题：（每小题5分，共20分）13. 14. 15. 16.三、解答题：（一）必考题：（每小题12分，共60分）17.（1），.（2）的外接圆为单位圆，其半径，由正弦定理可得，由余弦定理可得，
10、代入数据可得，当且仅当时，“=”成立，的面积，面积的最大值为.18.（1）因为，所以，由已知得，所求函数方程为（2）从90人中按照分层抽样的方法随机抽取6人，老年、中年、青年分别抽取的人数为3人，2人，1人，记3个老年人为，2个中年人为，1个青年人为，抽取的全部结果为，共15种至少1人是老年人的有，共12种所以至少1人是老年人的概率为19.（1）因为四棱柱为直四棱柱，所以，又已知，所以点为的中点，又，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又在平面中，在平面中，由面面平行的判定定理可以证明平面平面，又平面，所以平面（2）由（1）知点为的中点，又在梯形中，所以为等边三角形，所以，又，所以，所以
11、的面积，则，又在中，又在，由余弦定理得，所以的面积为，设点到平面的距离为，由等体积法有，则，即，解得，故所求点到平面的距离为.20.抛物线：的焦点，设，联立与有，则，且，（）若直线过焦点，则，则，由条件可知圆圆心为，半径为1，由抛物线的定义有，则，（或）即为定值，定值为1（）当直线的斜率为0，且时为菱形理由如下：由有，则，则抛物线在处的切线为，即同理抛物线在处的切线为联立解得，代入式解得，即又，所以，即的中点为则有轴若为菱形，则，所以，此时，则方法二：设，由有，则，若为菱形，则，则，即，则，则抛物线在处的切线为，即同理抛物线在处的切线为联立又的中点为，所以方法三：设，由有，则，若为菱形，则，则，即，则，此时直线：，则所以21.（1），则，故在处的切线方程为即；（2）证明：由题可得，当时，则；当时，则，所以，当时，在上是增函数.设，则，当时，则，在上递减.不妨设，由于在上是增函数，则，又，则，于是，由，在上递减，则，所以，则，又，在上是增函数，所以，即.（二）选考题：（任选一题作答，共10分）22.（）由平方取和有，则曲线的普通方程为；代入，有曲线的极坐标方程.（）由射线：与曲线交于点，有，又射线：与直线交于点，所以代入得，因为、三点共线，所以。23.（）因为即，解得，所以不等式的解集为.（）由，易知，即。由柯西不等式知，即由，有，即不可能有，所以不存在正数，同时满足：，.
