1、湖北省黄冈中学2016届理科数学高二下期中考试题命题人：尚厚家 审题人：袁晓幼 校对人：谭志 夏泊凌一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 观察下列各式：，则的末两位数字是 A. 01 B. 43 C. 07 D. 49答案：B解析：末两位数字从算起，07,49,43 01周期变化，周期为4.2. 用反证法证明命题“已知，若，且，则中至少有一个负数”时，应假设 A. 中至少有一个正数 B. 全为正数C. 全部都大于等于0 D. 中至多有一个负数答案：C解析：中至少有一个负数的否定为都不是负数，即都大于等于0.3. 若复数满足为
2、虚数单位），则A. B. C. D. 答案：D解析：由复数的除法，4. 已知，下列不等式恒成立的是A. B. C. D. 答案：A解析：检验=，故A成立5已知函数，则函数图象在处的切线方程为 A. B. C. D. 答案：B解析：，又，故所求切线方程为 6. 若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则的取值范围是A. B. C. D. 答案：B 解析：（），易知为其极值点，故需满足 ，解得7. 若，则函数的最小值为A. 16 B 8 C. 10 D. 没有最小值答案：B解析：设，则，取最小值当且仅当8. 一台打桩机将一木桩打入地下，每次打击所做的功相等，土壤对木桩的阻力与木桩进入土壤的深度
3、成正比。若第一次打击将木桩打入1米深，则第二次打入的深度为（ ）米A. B. C. D. 答案：B解析：设，由，得，故第二次打入的深度为9经过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（ ）条 A4 B3 C 2 D1答案：B解析：双曲线的通径长为，故当都在双曲线右支上，这样的直线有两条 由于，当位于两支上时，即为实轴，这样的直线唯一 所以，这样的直线有3条10. 正方体的棱长为1，是棱的中点，点是平面上的动点，且动点到直线的距离与到点到点的距离的平方差为1，则动点的轨迹是 A. 圆 B. 抛物线 C. 椭圆 D. 双曲线答案： B解析： 作于，于，则为点到直线的距离。 由已知，
4、而，则， 得点是以为焦点，为准线的抛物线。11. 定义在上的函数满足：，则不等式 （其中为自然对数的底数）的解集为 A. B. C. D. 答案：A解析：设原不等式即 =，在上单调递增， 且，故由得12. 已知定义在上的单调函数，对，都有， 则方程的解所在的区间是A. B. C. D. 答案：B解析：在上单调，故可设（为常数），由已知即 ，得 记，显然是上的增函数，且，的零点在上。二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 曲线与直线围成的封闭图形的面积为_.答案：解析：14. 已知复数满足，则的最大值为_.答案：7解析：复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为的圆。的几何意义是点到原
5、点的距离， 15. 若函数有零点，则的取值范围是_.答案： 解析：即有解，下求的值域。 （） 时，时， ， 即16. 计算，可以采用以下方法：构造等式：两边对求导得：令，有类比上述计算方法，计算答案：解析：由，两边乘以 得 两边对求导： 令，有.三解答题（本大题共6小题，共70分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （本小题共10分）已知函数 （1）解关于的不等式; （2）若恒成立，求实数的取值范围. 解：（1）不等式即 去绝对值，得或或2分得解集为 5分（2） 由绝对值三角不等式 10分18. （本小题共12分）已知数列的通项公式 ，记 （1）求； （2）试猜想数列的通项公式，
6、并证明你的结论. 解：（1） 4分 （2）猜想 ，用数学归纳法证明 6分 时，结论成立。假设时结论成立，即则时， 即时结论成立。有可知， 12分 19. （本小题共12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数关系式可以表示为（）.已知甲乙两地相距100千米.（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：（1）当时，汽车从甲地到乙地行驶了（小时） 耗油（升） 4分 （2）速度千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升 依题意得 6分
7、当时，是减函数， 时，是增函数 当时， 即汽车以千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为升。 12分 方法二： 6分 = 10分 当且仅当即时，等号成立，取最小值。 12分ABCDMP20. （本小题共12分）如图,在四棱锥中,平面,且,点在上.(1) 求证:;(2) 若二面角的大小为,求与平面所成角的正弦值.yAxBCzDMPE解：(1)如图,设为的中点,连结, 则,所以四边形为平行四边形, 故,又, 所以,故, 又因为平面,所以, 且,所以平面,故有5分(2)如图,以为原点,分别以射线 为轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 则, 设,易得, 设平面的一个法向量为,则, 令得,
8、即. 又平面的一个法向量为, 由题知,解得, 即,而是平面的一个法向量, 设平面与平面所成的角为,则. 故直线与平面所成的角的正弦值为.12分21. （本小题共12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1（1）求椭圆的标准方程（2）是否存在与椭圆交于两点的直线，使得 成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由。解：（1）设椭圆的方程为，由，得 椭圆： 4分 （2）设存在满足条件的直线，使得 由得 由得 6分 设，则 化简得 化简得： 8分 由代入 得 10分 又 得 ，或 12分22 （本小题共12分）已知， （1）若对于定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围; （2）设有两个极值点，且，若恒成立，求的最大值.解：（1）即，分离，得 （）恒成立 设（），则 在上是增函数且 时，递减 时，递增 6分（2）， 是方程的两根，故 且 （）设 ，则在是增函数，则，即的最大值为 12分