1、2020-2021学年安徽省池州市东至二中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1设全集UZ，集合Ay|y2，yZ，则UA（）Ay|y2By|y2，yZCy|y2Dy|y2，yZ2已知i为虚数单位，复数z满足（2+3i）z3+2i，则z为（）AiBiC1+iD1i3函数f（x）的图象大致是（）ABCD4某人在网上购买了100只青岛产的虾开箱打开发现：虾有白色、灰色两种颜色，统计后并制成下面的表：中小虾大虾白色4015灰色2025则可以认为大虾与其颜色有关的概率（）参考公式：，其中na+b+c+dP（K2k）0.150.100.050.0250.0100
2、.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A至多为99.9%B至少为99.5%C至多为0.5%D至少为0.1%5执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A4B8C16D646若点P（1，2）在双曲线）的一条渐近线上，则它的离心率为（）AB2CD7在平行四边形ABCD中，设，E为AD的靠近D的三等分点，CE与BD交于F，则（）ABCD8如图所示，在矩形OABC内，线段AB与圆弧相切于D，已知矩形的长和宽分别为和1，现在向矩形OABC内随机投一质点，则该质点落在图中阴影部分的概率为（）ABCD9小张于2020年1月5号申请到了10万的无息创业贷款，
3、约定：2021年的1月5号开始还贷，每月还贷额比上一次多10%，于2022年的12月5号还清，则小张第一次应该还贷约为（）注意：1.1238.9543，1.1249.8497，1.12510.8347A1017元B1130元C1257元D4167元10若连续函数f（x），g（x）的定义域为同一闭区间，则mR，满足：，是f（x）g（x）成立的（）A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D不充分不必要条件11动点P，Q分别在函数f（x）ex+x，g（x）2x2的图象上运动，则|PQ|的最小值为（）ABCD12定义sgn（x），int（x）为不超过x的最大整数，例如int（3，1）3，int（
4、1）1，int（1，6）2，若区间m，n（nm为正整数）在数轴上任意滑动，则区间m，n覆盖数轴上整数的个数为（）A（nm+1）int（nsgn（n）B（nm）+int（nsgn（n）C（nm+1）sgn（nint（n）D（nm+1）+sgn（nint（n）二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。13sin117+sin243的值为 14已知实数x，y满足不等式组，若，则z的最大值为 15直线l过定点（2，1），且与双曲线有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为 16在四棱锥PABCD中，若PAABAD，BCD2PAB2PAD2BAD，四棱锥PABCD外接球表面积为 三.解答题：共6小题
5、，共70分。解答应写出文字说明、证明过程和解题步骤。17在等差数列an中，已知a1，a3分别为复数z2+8i的实部与虚部（1）求an的通项公式；（2）令，求数列bn的前n项和Sn18在三角形ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，（1）若c2，B，AD平分角A交BC于D，求AD的长；（2）若b，c为函数的两个不同的零点，求BC边上的高19小张大学毕业后决定选择自主创业，在进行充分的市场调研下得到如下的两张表格：项目A利润占投入的百分比10%5%5%频率50%40%10%项目B利润占投入的百分比10%5%5%频率40%xy项目B的表格中的两个数据丢失，现用x，y代替但调研时发现：投资A
6、，B这两个项目的平均利润率相同以下用频率代替概率，A，B两个项目的利润情况互不影响（1）求x，y的值，并分别求投资A，B项目不亏损的概率；（2）小张在进行市场调研的同时，拿到了100万人民币的风险投资现在小张与投资方决定选择投资其中的一个项目进行投资，请你从统计学的角度给出一个建议，并阐述你的理由20如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为等腰梯形，PA底面ABCD，ADBC，BC2AD2AB2DC2PA2，对角线AC与BD交于点，连接PO（1）求证：ACPB；（2）求三棱锥CPOB的体积21函数g（x）的图象为曲线yex关于直线yx的对称曲线，设f（x）为函数f（x）的导函数（1）当a
7、1时，求f（x）的零点；（2）a1时，设f（x）的最小值为h（a），求证：h（a）022已知椭圆的离心率为，右焦点为F，过F作x轴的垂线交双曲线的两条渐近线于E，G，得到三角形OEG的面积为1（1）求椭圆C的标准方程；（2）设P，M，N的三个点都在椭圆C上，设MN的中点为Q，且，试判断PMN的面积是否为定值，并说明理由参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1设全集UZ，集合Ay|y2，yZ，则UA（）Ay|y2By|y2，yZCy|y2Dy|y2，yZ解：全集UZ，集合Ay|y2，yZ，则UAx|y2，yZ，故选：D2已知i为虚数单位，复数z满足（2+3i）z3+2i，则z
8、为（）AiBiC1+iD1i解：（2+3i）z3+2i，故选：A3函数f（x）的图象大致是（）ABCD解：为偶函数，图像关于y轴对称，所以排除D，又f（2）1，排除B，C，所以选A故选：A4某人在网上购买了100只青岛产的虾开箱打开发现：虾有白色、灰色两种颜色，统计后并制成下面的表：中小虾大虾白色4015灰色2025则可以认为大虾与其颜色有关的概率（）参考公式：，其中na+b+c+dP（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A至多为99.9%B至少为99.5%C至多为0.5%D至少为0.
9、1%解：由题意可得，如下的22列联表：中小虾大虾合计白色401555灰色202545合计60401007.879，我们认为大虾与其颜色有关的概率至少为99.5%故选：B5执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A4B8C16D64解：根据框图可得最后输出的结果为112228，故选：B6若点P（1，2）在双曲线）的一条渐近线上，则它的离心率为（）AB2CD解：双曲线的渐近线方程，因为点P（1，2）在双曲线的一条渐近线上，所以，所以，它的离心率为故选：C7在平行四边形ABCD中，设，E为AD的靠近D的三等分点，CE与BD交于F，则（）ABCD解：在平行四边形ABCD中，ADBC，DEFBCE，E为
10、AD的靠近D的三等分点，DE：ADDE：BCDF：FB1：3，即F是BD的四等分点，+（）+，故选：A8如图所示，在矩形OABC内，线段AB与圆弧相切于D，已知矩形的长和宽分别为和1，现在向矩形OABC内随机投一质点，则该质点落在图中阴影部分的概率为（）ABCD解：设圆弧所在圆的圆心为E，矩形的长和宽分别为和1，拱高为1，EO2，图中阴影部分的面积，又矩形OABC的面积为，质点落在图中阴影部分的概率为故选：D9小张于2020年1月5号申请到了10万的无息创业贷款，约定：2021年的1月5号开始还贷，每月还贷额比上一次多10%，于2022年的12月5号还清，则小张第一次应该还贷约为（）注意：1.
11、1238.9543，1.1249.8497，1.12510.8347A1017元B1130元C1257元D4167元解：设小张第一次应该还贷a万元，则，所以故选：B10若连续函数f（x），g（x）的定义域为同一闭区间，则mR，满足：，是f（x）g（x）成立的（）A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D不充分不必要条件解：若mR，满足：，则mR，f（x）mg（x），所以f（x）g（x），所以是充分的；若x1，e，则f（x）lnx，g（x）lnx+1，显然f（x）g（x），但不存在m，满足：，所以不必要的故选：B11动点P，Q分别在函数f（x）ex+x，g（x）2x2的图象上运动，则|PQ
12、|的最小值为（）ABCD解：f（x）ex+x，f（x）ex+1，设动点P（x0，y0），当yf（x）在P点处切线与g（x）2x2平行，过点P作直线垂线，垂足为点Q时，|PQ|取得最小值，即为两平行直线间的距离，亦即点P到直线2xy20的距离是|PQ|的最小值令，解得x00，故P（0，1），所以故选：C12定义sgn（x），int（x）为不超过x的最大整数，例如int（3，1）3，int（1）1，int（1，6）2，若区间m，n（nm为正整数）在数轴上任意滑动，则区间m，n覆盖数轴上整数的个数为（）A（nm+1）int（nsgn（n）B（nm）+int（nsgn（n）C（nm+1）sgn（nin
13、t（n）D（nm+1）+sgn（nint（n）解：因为nm为整数，所以当n为整数时，m也为整数，所以此时m，n覆盖数轴上nm+1个整数，当n不是整数时，m也不是整数，所以此时m，n数轴上覆盖nm个整数，可以验证：区间m，n覆盖数轴上整数的个数为（nm+1）sgn（nint（n），故选：C二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。13sin117+sin243的值为 0解：sin117+sin243cos27+（cos27）0故答案为：014已知实数x，y满足不等式组，若，则z的最大值为 解：作出约束条件表示的平面区域如图，联立，解得A（2，3），由z，得y，由图可知，当直线y过A时，直线在y
14、轴上的截距最大，z有最大值为故答案为：15直线l过定点（2，1），且与双曲线有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为 2解：双曲线的渐近线方程为：x2y0，因为点（2，1）在渐近线上，所以这样的不同直线l的条数为2，一条与渐近线平行，另外一条（此时斜率不存在）与双曲线相切故答案为：216在四棱锥PABCD中，若PAABAD，BCD2PAB2PAD2BAD，四棱锥PABCD外接球表面积为 3解：如图，则A+C，即四边形ABCD四点共圆，四棱锥PABCD的外接球与三棱锥PABD的外接球为同一个，又，三棱锥PABD为正四面体，构造棱长为1的正方体，正四面体的外接球即为正方体的外接球，求得外接球半
15、径，外接球表面积S43故答案为：3三.解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程和解题步骤。17在等差数列an中，已知a1，a3分别为复数z2+8i的实部与虚部（1）求an的通项公式；（2）令，求数列bn的前n项和Sn解：（1）设公差为d，因为a1，a3分别为复数z2+8i的实部与虚部，所以a12，a38，所以2d82，所以d3，所以ana1+（n1）d2+3（n1）3n1，即an通项公式为an3n1；（2），所以18在三角形ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，（1）若c2，B，AD平分角A交BC于D，求AD的长；（2）若b，c为函数的两个不同的零点，求BC边上的高
16、解：（1）因为，在三角形ABD中，由正弦定理得，因为c2，B，所以（2）因为b，c为函数的两个不同的零点，所以，在三角形ABC中，由余弦定理得，设BC边上的高为h，因为，所以，所以19小张大学毕业后决定选择自主创业，在进行充分的市场调研下得到如下的两张表格：项目A利润占投入的百分比10%5%5%频率50%40%10%项目B利润占投入的百分比10%5%5%频率40%xy项目B的表格中的两个数据丢失，现用x，y代替但调研时发现：投资A，B这两个项目的平均利润率相同以下用频率代替概率，A，B两个项目的利润情况互不影响（1）求x，y的值，并分别求投资A，B项目不亏损的概率；（2）小张在进行市场调研的同
17、时，拿到了100万人民币的风险投资现在小张与投资方决定选择投资其中的一个项目进行投资，请你从统计学的角度给出一个建议，并阐述你的理由解：（1）投资项目A的平均利润率为10%50%+5%40%5%10%0.065，投资项目B的平均利润率为10%40%+5%x5%y10%40%+5%x（60%x）10%40%+5%（2x60%），因为投资A，B这两个项目的平均利润率相同，所以10%40%+5%（2x60%）0.065，解得x0.55，y0.05，所以投资A项目不亏损的概率为50%+40%90%，投资B项目不亏损的概率为40%+55%95%；（2）考察角度一：由（1）得，投资B项目不亏损的概率比较大
18、，故建议投资B项目考察角度二：投资A项目利润率的方差为，（10%6.5%）250%+（5%6.5%）240%+（5%6.5%）210%2.025103投资B项目利润率的方差为（10%6.5%）240%+（5%6.5%）255%+（5%6.5%）25%1.275103.，所以投资A项目利润率的方差大于投资B项目利润率的方差，即投资B项目的利润比较稳定，为此建议投资B项目20如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为等腰梯形，PA底面ABCD，ADBC，BC2AD2AB2DC2PA2，对角线AC与BD交于点，连接PO（1）求证：ACPB；（2）求三棱锥CPOB的体积【解答】（1）证明：延长BA
19、、CD交于一点R，ADBC，BC2AD2AB2DC2a，RBC为正三角形，且AD为三角形RBC的中位线，即A为BR边的中点，CABA，PA底面ABCD，AC平面ABCD，PAAC，ABPAA，AC平面PAB，而PB平面PAB，ACPB；（2）解：三棱锥CPOB即三棱锥POBCADBC，由（1）得，PA底面ABCD，PA1，三棱锥CPOB的体积即三棱锥POBC的体积，有21函数g（x）的图象为曲线yex关于直线yx的对称曲线，设f（x）为函数f（x）的导函数（1）当a1时，求f（x）的零点；（2）a1时，设f（x）的最小值为h（a），求证：h（a）0解：函数的定义域为（0，+），f（x）exa为
20、（0，+）上的增函数（1）当a1时，因为为（0，+）上的增函数，所以f（x）在（0，+）上有唯一的零点1（2）证明：当a1时，因为为（0，+）上的增函数，所以在（1，a）上有唯一的零点x0，且x0为函数f（x）的极小值点，所以，因为x0（1，a），为（1，a）上的减函数，所以t（x0）t（1）0，即h（a）022已知椭圆的离心率为，右焦点为F，过F作x轴的垂线交双曲线的两条渐近线于E，G，得到三角形OEG的面积为1（1）求椭圆C的标准方程；（2）设P，M，N的三个点都在椭圆C上，设MN的中点为Q，且，试判断PMN的面积是否为定值，并说明理由解：（1）因为椭圆C：的离心率为，所以，其中，双曲线的
21、两条渐近线的方程为，设FGt，则OF2t，因为三角形OEG的面积为1，所以，所以，所以椭圆C的方程为；（2）当直线MN的斜率不存在时，因为，所以Q（1，0），此时MN的方程为x1；或Q（1，0），此时MN的方程为x1将x1，代入椭圆方程得，所以PMN的面积为由椭圆轴对称性得：当MN的方程为x1时，PMN的面积也为；当直线MN的斜率存在时，设直线MN方程为ykx+m，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），因为MN的中点为Q，且，所以PMN的重心是坐标原点O，所以，联立ykx+m和，得（2k2+1）x2+4kmx+2m240，8（2+4k2m2），当0时，所以，故，因为点P在椭圆上，所以代入椭圆整理得，满足0，因而m与k满足的等式关系为当0时，因为PMN的重心是坐标原点O，所以PMN的面积为OMN的面积的3倍，设直线l与y轴交与点D，则D（0，m）那么PMN的面积为：，关系式（1）代入得，综合得，PMN的面积为定值