1、陕西省商洛市2020-2021学年高二数学上学期期末教学质量检测试题 理考生注意：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分考试时间120分钟2请将各题答案填写在答题卡上3本试卷主要考试内容：北师大版必修5，选修2-1第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知，则为（ ）A，B，C，D，2已知集合，则（ ）ABCD3已知空间向量，若，则（ ）A5B6C7D84双曲线的虚轴长为（ ）AB2CD5已知命题若直线l的方向向量与平面的法向量垂直则，命题等轴双曲线的离心率为，则（ ）A为真命题B为假命题C为真命题D为真
2、命题6“”是“”的（ ）A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件7如图在平行六面体中，AC与BD的交点记为M设，则下列向量中与相等的向量是（ ）ABCD8抛物线上一点到焦点F的距离为（ ）AB5CD339在三棱锥中，平面BCD，点E在棱AD上，且，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为（ ）ABCD10在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则 （ ）ABCD11正三棱柱的底面边长和高均为2，点D为侧棱的中点，连接AD，BD，则点到平面ABD的距离为（ ）ABCD12已知椭圆的左右焦点分别为，点P为C上一点，的内切圆与外接圆的半径分别为，若，则C的离心率为（ ）
3、ABCD第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上13若实数x，y满足约束条件，则的最大值为_14已知，则的最小值为_15“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自庄子天下篇，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”设第一天这根木棰被截取一半剩下尺，第二天被截取剩下的一半剩下尺，第五天被截取剩下的一半剩下尺，则_16已知双曲线，直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，过A作圆的切线，D为其中一个切点若，则C的离心率为_三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知是等差数列，（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项
4、和18（12分）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知，（1）求；（2）若的周长为，求的面积19（12分）已知椭圆C的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，长轴为，且等于双曲线的实轴长，C的离心率为（1）求C的标准方程；（2）若P为C上一动点，且P不在坐标轴上，求面积的取值范围20（12分）在直四棱柱中底面ABCD为正方形，M，N，P分别是AD，的中点（1）证明：平面平面；（2）求直线DP与平面MNC所成角的正弦值21（12分）如图，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，（1）证明：；（2）若，点E在线段CD上，且求二面角的余弦值22（12分）已知抛物线与双曲线有相同的焦点F（1）求C的
5、方程，并求其准线l的方程；（2）如图，过F且斜率存在的直线与C交于不同的两点，直线OA与准线l交于点N过点A作l的垂线，垂足为M证明：为定值，且四边形AMNB为梯形20202021学年度第一学期期未教学质量检测高二数学试卷参考答案（理科）1B存在量词命题的否定是全称量词命题2D因为，所以3A因为，所以4C由，得，所以，则5D如果直线l的方向向量与平面的法向量垂直，那么或，所以p为假命题“等轴双曲线的离心率为”是真命题6A若，则，成立若，则，得，或当时，；当时，故“”是“”的充分不必要条件7B8C依题意可得，所以，则9A建立如图所示的空间直角坐标系，得，由，得，所以，设异面直线CD与BE所成角为
6、，所以10B由，得，因为，所以，11C如图，建立空间直角坐标系，O为的中点，由已知，所以，可求得平面ABD的法向量为，则点到平面ABD的距离为12D设，则因为，所以，则，则由等面积法可得，整理得，因为，所以，故1315作出可行域（图略），由图可知，当直线经过点时，z取得最大值，且最大值为1514因为，所以1524依题意可知，成等比数列，且公比为，则16将代入C的渐近线方程，得，则不妨假设，则因为，所以，即，故17解：（1）因为，所以公差，则的通项公式为（2）由（1）知，所以18解：（1）因为，所以（2）因为，所以由余弦定理得，则因为的周长为，所以，解得所以的面积为19解：（1）因为双曲线的实轴
7、长为，所以，解得，所以C的标准方程为或（2）因为，所以所以P到的距离，所以面积的取值范围为20（1）证明：因为M，N，P分别是AD，的中点，所以，又平面MNC，平面MNC，所以平面MNC同理平面MNC，又，所以平面平面（2）解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面MNC的法向量为，则，令，得设直线DP与平面MNC所成角为，则，所以直线DP与平面MNC所成角的正弦值为21（1）证明：由题意易知作，垂足为H，则，故因为，所以因为平面ABCD，平面ABCD，所以因为平面APC，平面APC，且，所以平面APC因为平面APC，所以（2）解：因为，且，所以以A为原点，分别以，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系则，从而，设平面APE的法向量为，则，令，得设平面PCE的法向量为，则，令，得设二面角为，由图可知为锐角，则22（1）解：因为双曲线的右焦点为，所以，则，即，故C的方程为，其准线的方程为（2）证明：由题意可知，直线AB过点F且斜率存在，设其方程为，联立，整理得，恒成立，故为定值因为点N在准线上，设点N为，则由，可得又，所以因此轴，易知，故四边形AMNB为梯形
