1、第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课后篇巩固提升1.设向量a,b,c不共面,则下列可作为空间的一个基底的是()A.a+b,b-a,aB.a+b,b-a,bC.a+b,b-a,cD.a+b+c,a+b,c解析由已知及向量共面定理,易得a+b,b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底.答案C2.已知向量a,b,c是空间的一个单位正交基底,向量a+b,a-b,c是空间的另一个基底,若向量p在基底a,b,c下的坐标为(3,2,1),则它在a+b,a-b,c下的坐标为()A.12,52,1B.52,1,12C.52,12,1D.1,12,52解析设向量
2、p在基底a+b,a-b,c下的坐标为(x,y,z),则p=3a+2b+c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,所以x+y=3,x-y=2,z=1,解得x=52,y=12,z=1.故p在基底a+b,a-b,c下的坐标为52,12,1.故选C.答案C3.在四面体O-ABC中,G1是ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若OG=xOA+yOB+zOC,则(x,y,z)为()A.14,14,14B.34,34,34C.13,13,13D.23,23,23解析如图所示,连接AG1交BC于点E,则E为BC中点,AE=12(AB+AC)=12(OB-2OA+OC
3、),AG1=23AE=13(OB-2OA+OC).因为OG=3GG1=3(OG1-OG),所以OG=34OG1.则OG=34OG1=34(OA+AG1)=34OA+13OB-23OA+13OC=14OA+14OB+14OC.答案A4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=1,AA1=3,已知向量a在基底AB,AD,AA1下的坐标为(2,1,-3).若分别以DA,DC,DD1的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,则a的空间直角坐标为()A.(2,1,-3)B.(-1,2,-3)C.(1,-8,9)D.(-1,8,-9)解析a=2AB+AD-3AA1=2DC-DA
4、-3DD1=8j-i-9k=(-1,8,-9).答案D5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设AB=a,AD=b,AA1=c,A1C1与B1D1的交点为E,则BE=.解析如图,BE=BB1+B1E=AA1+12(B1C1+B1A1)=AA1+12(AD-AB)=-12a+12b+c.答案-12a+12b+c6.如图,在梯形ABCD中,ABCD,AB=2CD,点O为空间任一点,设OA=a,OB=b,OC=c,则向量OD用a,b,c表示为.答案12a-12b+c7.下列关于空间向量的说法中,正确的有.若向量a,b与空间任意向量都不能构成基底,则ab;若非零向量a,b,c满足ab,bc,则有ac
5、;若OA,OB,OC是空间的一个基底,且OD=13OA+13OB+13OC,则A,B,C,D四点共面;若向量a+b,b+c,c+a是空间的一个基底,则a,b,c也是空间的一个基底.解析对于,若向量a,b与空间任意向量都不能构成基底,则a,b为共线向量,即ab,故正确;对于,若非零向量a,b,c满足ab,bc,则a与c不一定共线,故错误;对于,若OA,OB,OC是空间的一个基底,且OD=13OA+13OB+13OC,则OD-OA=13(OB-OA)+13(OC-OA),即AD=13AB+13AC,可得到A,B,C,D四点共面,故正确;对于,若向量a+b,b+c,c+a是空间的一个基底,则空间任意
6、一个向量d,存在唯一实数组(x,y,z),使得d=x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c,由x,y,z的唯一性,得x+z,x+y,y+z也是唯一的.故a,b,c也是空间的一个基底,故正确.答案8.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,MA=-13AC,ND=13A1D,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.解连接AN,则MN=MA+AN.由已知可得四边形ABCD是平行四边形,从而可得AC=AB+AD=a+b,MA=-13AC=-13(a+b),又A1D=AD-AA1=b-c,故AN=AD+DN=AD-ND=AD-13A1D=b-13(b-c),所以MN=MA+AN=-13(a+b)+b-13(b-c)=13(-a+b+c).9.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,如图所示,设DA=e1,AB=e2,AP=e3,以e1,e2,e3为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz,求向量MN,DC的坐标.解由题意得DC=AB=e2.PC=AC-AP=AB+AD-AP=e2-e1-e3,MN=MA+AP+PN=-12AB+AP+12PC=-12e2+e3+12(e2-e1-e3)=-12e1+12e3.MN=-12,0,12,DC=(0,1,0).
