1、第六节本节主要包括2个知识点：1.利用空间向量求空间角；2.与空间角有关的综合问题.利用空间向量求空间角突破点(一)利用空间向量求空间角基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，则cos |cos |(其中为异面直线a，b所成的角)2直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，向量e与n的夹角为，则有sin |cos |.3求二面角的大小(1)如图，AB，CD是二面角 l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，(2)如图和图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的
2、法向量，则二面角的大小n1，n2或n1，n2.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 求两异面直线所成的角例1如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求证：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值解(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面ABCD，BD平面ABCD.所以PABD.因为PAACA，所以BD平面PAC.(2)设ACBDO.因为BAD60，PAAB2，所以BO1，AOCO.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则P(0，2)，A(0，0)，B(1,0,0)，C(0，0)所以(1，2)，
3、(0,2，0)，设PB与AC所成角为，则cos .方法技巧向量法求两异面直线所成角的步骤(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cosv1，v2|求解提醒两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是0，当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是两异面直线所成的角求直线与平面所成的角例2(2017日照模拟)在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB2，AA12，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO平面ABB1A1.(1)证明：BCAB1；(2
4、)若OCOA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值解(1)证明：由题意知tanABD，tanAB1B，又ABD，AB1B为三角形的内角，故ABDAB1B，则AB1BBAB1ABDBAB1，所以AOB，即AB1BD.又CO平面ABB1A1，AB1平面ABB1A1，所以AB1CO，因为BDCOO，所以AB1平面CBD，又BC平面CBD，所以AB1BC.(2)如图，以O为坐标原点，分别以OD，OB1，OC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A0，0，B，0,0，C，D，设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，则z1，x，平面ABC的一个法向量n.设直线CD
5、与平面ABC所成角为，则sin |cos，n|.易错提醒(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角后(求出是钝角时取其补角)，取其余角即为直线与平面所成的角(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2cos21求出其值不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求求二面角例3(2017沈阳模拟)如图所示几何体中，四边形ABCD和四边形BCEF是全等的等腰梯形，且平面BCEF平面ABCD，ABDC，CEBF，AB2CD，ABC60，G为线段AB的中点(1)求证：ACBF；(2)求二面角DFGB(钝角)的余弦值解(1)证明：如图，连接CG，G为AB的中点，AB2CD，
6、ABDC，CD綊AG，四边形AGCD为平行四边形，ADCG，四边形ABCD为等腰梯形，ADBC，BCCG，又ABC60，BCG为等边三角形，BCG60，BGCG，AGCG，四边形AGCD是菱形，ACGDCG30，ACB90，ACBC，又平面BCEF平面ABCD，且平面BCEF平面ABCDBC，AC平面BCEF，又BF平面BCEF，ACBF.(2)连接FC，梯形ABCD和梯形BCEF全等，ACBC，FCBC，又由(1)得AC平面BCEF，ACCF，以C为坐标原点，以CA，CB，CF所在的直线分别作为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设BC1，则CACF，可得B(0,1,0)，G，D，
7、0，F(0,0，)，则，(0,1,0)，（，0），设平面DFG的法向量为m(x，y，z)，则得则y0，令x2，则z1，故平面DFG的一个法向量m(2,0,1)同理可求平面BFG的一个法向量为n(1，1)，cosm，n，又二面角DFGB为钝角，故其余弦值为.方法技巧利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小能力练通 抓应用体验的
8、“得”与“失” 1考点一如图所示，已知正方体ABCD A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是_解析：以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz如图所示，设正方体的棱长为1，则D(0,0，0)，C(0，1,0)，E，1，F，0，0，(0,1,0)，cos，135，异面直线EF和CD所成的角是45.答案：452考点二在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，由于AB2，BCAA11，所以A1(1
9、,0,1)，B(1,2,0)，C1(0，2,1)，D1(0,0,1)所以(1，2,0)，(1,0,1)，(0,2,0)，设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则有即令x2，则y1，z2，则n(2,1,2)又设D1C1与平面A1BC1所成的角为，则sin |cos，n|.答案：3考点三在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为_解析：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0，1,0)，所以(0,1，1)，设平面A1ED的法向量为n1(1，y，z)，则即解得故n1(1,2,2)又平面
10、ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，所以cosn1，n2，故平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.答案：4考点二、三(2016天津高考)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2.(1)求证：EG平面ADF；(2)求二面角OEFC的正弦值；(3)设H为线段AF上的点，且AHHF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值解：依题意，OF平面ABCD，如图，以O为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0，0,0)，A(1,1,0)，B(1，1，0)，C(1，1,0)，D(1,
11、1,0)，E(1，1,2)，F(0,0,2)，G(1,0，0)(1)证明：依题意，(2,0,0)，(1，1,2)设n1(x1，y1，z1)为平面ADF的法向量，则即不妨取z11，可得n1(0,2,1)又(0,1，2)，可得n10.又因为直线EG平面ADF，所以EG平面ADF.(2)易证(1,1,0)为平面OEF的一个法向量，依题意，(1,1,0)，(1,1,2)设n2(x2，y2，z2)为平面CEF的法向量，则即不妨取x21，可得n2(1，1,1)因此有cos，n2，于是sin，n2.所以，二面角OEFC的正弦值为.(3)由AHHF，得AHAF.因为(1，1,2)，所以，进而有H，从而.因此c
12、os，n2.所以直线BH和平面CEF所成角的正弦值为.突破点(二)与空间角有关的综合问题与空间角有关的综合问题主要包括两类：(1)已知某一空间角，求另外一种空间角的大小；(2)探究是否存在某点，满足线面角或二面角成某一角度(如直二面角、所成二面角为60等).求解此类问题的一般思路是先假设存在该定点，满足该结论；然后以该结论作为一个新的条件，结合题目已知的条件，一步一步逆推，并充分利用角度或空间距离的求解方法，列等式(通常含有一个未知数)，求解未知数：若有解，即可得到定点的位置，并说明存在满足题意的定点；若无解，则假设不成立，不存在满足题意的定点.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 空间角的综
13、合问题例1如图，在四棱锥 PABCD中，PC底面 ABCD，四边形ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2，E是PB的中点(1)求证：平面EAC平面PBC；(2)若二面角 PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值解(1)证明：PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPC，AB2，ADCD1，ADC90，ACBC，AC2BC2AB2，ACBC.又BCPCC，AC平面PBC.AC平面EAC，平面EAC平面PBC.(2)如图，作CFDA，交AB于点F，以C为原点， ， 分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，1
14、,0)设P(0,0，a)(a0)，则E，(1,1,0)，(0,0，a)，取m(1，1,0)，则mm0，m为平面PAC的一个法向量设n(x，y，z)为平面EAC的一个法向量，则即取 xa，可得n(a，a，2)依题意，|cosm，n|，则a1(负值舍去)于是n(1，1，2)，(1,1，1)设直线PA与平面EAC所成角为，则 sin |cos，n|，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.空间角中的探索性问题例2如图所示，等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，且满足.将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使二面角A1 DE B为直二面角，连接A1B，A1C.(1)求证：A1D平
15、面BCED；(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由解(1)证明：因为等边ABC的边长为3，且，所以AD1，AE2.在ADE中，DAE60，由余弦定理得DE.所以AD2DE2AE2，所以ADDE.折叠后有A1DDE，因为二面角A1 DE B是直二面角，所以平面A1DE平面BCED，又平面A1DE平面BCEDDE，A1D平面A1DE，A1DDE，所以A1D平面BCED.(2)假设存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60.如图所示，在BC上取点P，连接A1P，过点P作PH垂直BD于点H，连接A1H.由(1)的证明
16、，可知EDDB，A1D平面BCED.以D为坐标原点，以射线DB，DE，DA1分别为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系D xyz.设PB2a(02a3)，则BHa，PHa，DH2a，所以D(0,0,0)，A1(0,0,1)，P(2a，a,0)，E(0，0)，所以(a2，a,1)，因为ED平面A1BD，所以平面A1BD的一个法向量为(0，0)因为直线PA1与平面A1BD所成的角为60，所以sin 60cos，解得a，即PB2a，满足02a3，符合题意，所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60，此时PB.方法技巧与空间角有关的探索性问题的解题策略与空间角有关的探
17、索性问题主要为与两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角有关的存在性问题，常利用空间向量法求解求解时，一般把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等问题，并注意准确理解和熟练应用夹角公式能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1考点一如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，ABCD，AB2，BCCD1，顶点D1在底面ABCD内的射影恰为点C.(1)求证：AD1BC；(2)若直线DD1与直线AB所成的角为，求平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值解：(1)证明：如图，连接D1C，则D1C平面ABCD，D1CBC.在等腰梯形AB
18、CD中，连接AC，AB2，BCCD1，ABCD，BCAC，又D1CACC，BC平面AD1C，AD1BC.(2)由(1)知AC，BC，D1C两两垂直，ABCD，D1DC，CD1，D1C.在等腰梯形ABCD中，AB2，BCCD1，ABCD，AC，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，)，(，1,0)，(，0，)设平面ABC1D1的法向量n(x，y，z)，由得可得平面ABC1D1的一个法向量n(1，1)又(0,0，)为平面ABCD的一个法向量，因此cos，n，平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.2考点二如图，四棱锥PAB
19、CD的底面ABCD是平行四边形，PA底面ABCD，PA3，AD2，AB4，ABC60.(1)求证：BC平面PAC；(2)E是侧棱PB上一点，记(01)，是否存在实数，使平面ADE与平面PAD所成的二面角为60？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：(1)证明：因为BCAD2，AB4，所以AC2，又BC2AC2AB2，所以BCAC.又PA底面ABCD，BC平面ABCD，则PABC.因为PA平面PAC，AC平面PAC，且PAACA，所以BC平面PAC.(2)以A为坐标原点，过点A作垂直于AB的直线为x轴，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0,0)，B(0
20、,4,0)，P(0,0,3)因为在平行四边形ABCD中，AD2，AB4，ABC60，则DAx30，所以D(，1,0)又(00)，则D(0,2,0)，A(0，2,0)，P(0,0，t)，F(，0,0)，B(，1,0)因为BD平面PEC，所以(，3,0)是平面PEC的一个法向量，又(，1，t)，所以cos，.由已知可得sin|cos，|，得t2(负值舍去)故P(0,0,2)，(，1，2)，(，1,0)设平面APB的法向量为n(x，y，z)，则由可得取y，则x，z，故n(，)为平面APB的一个法向量，所以cos，n.设平面APB与平面PEC所成的锐二面角为，则cos |cos，n|.2如图1，正方形
21、ABCD的边长为4，ABAEBFEF，ABEF，把四边形ABCD沿AB折起，使得AD平面AEFB，G是EF的中点，如图2.(1)求证：AG平面BCE；(2)求二面角CAEF的余弦值解：(1)证明：连接BG，因为BCAD，AD底面AEFB，所以BC底面AEFB，又AG底面AEFB，所以BCAG，因为AB綊EG，ABAE，所以四边形ABGE为菱形，所以AGBE，又BCBEB，BE平面BCE，BC平面BCE，所以AG平面BCE.(2)由(1)知四边形ABGE为菱形，AGBE，AEEGBGAB4，设AGBEO，所以OEOB2，OAOG2，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)
22、，A(2,0,0)，E(0，2，0)，F(4,2，0)，C(0,2，4)，D(2,0,4)，所以(2,2，4)，(2，2，0)，设平面ACE的法向量为n(x，y，z)，则所以令y1，则x，z，即平面ACE的一个法向量为n(，1，)，易知平面AEF的一个法向量为(0,0,4)，设二面角CAEF的大小为，由图易知，所以cos .三、冲刺满分题1(2016四川高考)如图，在四棱锥 PABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；(2)若二面角PCDA的大小为45，求直线PA与
23、平面PCE所成角的正弦值解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行如图，延长AB，DC相交于点M(M平面PAB)，点M即为所求的一个点理由如下：由已知，知BCED，且BCED，所以四边形BCDE是平行四边形，从而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.(2)由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD，从而CDPD，所以PDA是二面角PCDA的平面角，所以PDA45.因为PAAB，所以PA平面ABCD.设BC1，则在RtPAD中，PAAD2，作Ay平面PAD，以A为原点，以，的方向分别为x轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,
24、0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以(1,0，2)，(1,1,0)，(0,0,2)设平面PCE的法向量为n(x，y，z)，由得令x2，则n(2，2,1)设直线PA与平面PCE所成角为，则sin ，所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.2.如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，已知AB侧面BB1C1C，ABBC1，BB12，BCC1.(1)求证：BC1平面ABC；(2)设 (01)，且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30，试求的值解：(1)证明：因为AB侧面BB1C1C，BC1侧面BB1C1C，故ABBC1，在BCC1中，BC1，CC1BB12，B
25、CC1，所以BCBC2CC2BCCC1cosBCC11222212cos3，所以BC1，故BC2BCCC，所以BCBC1，而BCABB，所以BC1平面ABC.(2)由(1)可知，AB，BC，BC1两两垂直以B为原点，BC，BA，BC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则B(0,0,0)，A(0,1,0)，B1(1，0，)，C(1,0,0)，C1(0,0，)所以(1,0, )，所以(，0, )，E(1，0, )，则(1，1，)，(1，1，)设平面AB1E的法向量为n(x，y，z)，则即令z，则x，y，故n是平面AB1E的一个法向量因为AB平面BB1C1C，所以(0,1,0)是平面BB1E的一个法向量，所以|cosn，|.两边平方并化简得22530，所以1或(舍去)故的值为1.