1、6.2等差数列专题检测1.(201953原创冲刺卷一,4)已知等差数列an的前n项和为Sn,S2=3,S3=6,则S2n+1=()A.(2n+1)(n+1)B.(2n+1)(n-1)C.(2n-1)(n+1)D.(2n+1)(n+2)答案A设等差数列an的公差为d,则2a1+d=3,3a1+3d=6,所以a1=d=1,则an=1+(n-1)1=n.因此S2n+1=(2n+1)(1+2n+1)2=(2n+1)(n+1).2.(2018安徽合肥第二次教学质量检测,5)中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵
2、分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是()A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤答案B用a1,a2,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数,由题意得数列a1,a2,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,8a1+87217=996,解得a1=65.a8=65+717=184,即第8个儿子分到的绵是184斤.选B.3.(2018湖南三湘名校教育联盟第三次联考,5)已知等差数列an的各项都为整数,且a1=-5,a3a4=-1,则|a1|+|a2|+|a10|=()A.70B.58C.51D.40答案B设等差
3、数列an的公差为d,由各项都为整数得dZ,因为a1=-5,所以a3a4=(-5+2d)(-5+3d)=-1,化简得6d2-25d+26=0,解得d=2或d=136(舍去),所以an=2n-7,所以|a1|+|a2|+|a10|=5+3+1+1+3+13=9+7(1+13)2=58.故选B.4.(2018安徽淮北一模,9)Sn是等差数列an的前n项和,S2018S2016,S2017S2018,则Sn0时n的最大值是()A.2017B.2018C.4033D.4034答案DS2018S2016,S2017S2018,a2018+a20170.S4034=4034(a1+a4034)2=2017(
4、a2018+a2017)0,可知Sn0时n的最大值是4034.故选D.解题关键由S2018S2016,S2017S2018得出a2018+a20170是解题的关键.易错警示本题中所求的是前n项和Sn0时n的最大值,注意不要与Sn最大时的n值混淆.求Sn0时n的最大值,运用前n项和公式求解;求Sn最大时的n值一般借助通项公式联立an0与an+10求解.5.设等差数列an满足a3+a7=36,a4a6=275,则()A.an=7n-17B.an=-7n+53C.anan+1的最小值为-12D.anan+1无最小值答案ABC设等差数列an的公差为d,a3+a7=36,a4+a6=36,由a4+a6=
5、36,a4a6=275,解得a4=11,a6=25或a4=25,a6=11,当a4=11,a6=25时,得a1=-10,d=7,an=7n-17,a2=-3,a3=4,故当n2时,an0,a2a3=-12为anan+1的最小值.当a4=25,a6=11时,得a1=46,d=-7,an=-7n+53,a7=4,a8=-3.易知当n7时,an0;当n8时,an0,a50,a5=a1+4d0,则-3da1-4d.又a5a4,所以d0,所以-4a1d-3.又S5S4=5a1+10d4a1+6d=5a1d+104a1d+6,令x=a1d,则x(-4,-3),所以S5S4=5x+104x+6=54+58x
6、+1256,1.7.(2018河南六市第一次联考,16)已知正项数列an的前n项和为Sn,若an和Sn都是等差数列,且公差相等,则a2=.答案34解析设数列an的首项为a1,公差为d.因为数列an的前n项和是Sn,所以S1=a1,S2=2a1+d,S3=3a1+3d,又Sn也是公差为d的等差数列,所以S2=2a1+d=a1+d,两边平方得2a1+d=a1+2da1+d2,S3=3a1+3d=a1+2d,两边平方得3a1+3d=a1+4da1+4d2,-得a1=-2d+2da1+3d2,把代入整理得d(2d-1)=0,所以d=0或d=12.当d=0时,a1=0,不符合题意;当d=12时,代入解得
7、a1=14.所以a2=a1+d=34.8.(2020四川宜宾四中开学考,18)已知数列an的首项a1=1,2anan+1=an-an+1(nN*).(1)证明:数列1an是等差数列;(2)设bn=anan+1,数列bn的前n项和为Sn,求证:Sn12.证明(1)由于a1=1,2anan+1=an-an+1,显然anan+10,所以两边同除以anan+1可得,1an+1-1an=2,所以数列1an是1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)知,1an=1+(n-1)2=2n-1,所以an=12n-1.所以bn=anan+1=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,所以Sn=12
8、1-13+13-15+12n-1-12n+1=121-12n+10且2Sn=an2+an(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)若an0(nN*),令bn=1an(an+2),求数列bn的前n项和Tn.解析(1)当n=1时,2S1=a12+a1=2a1,又a10,则a1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=an2+an2-an-12+an-12,即(an+an-1)(an-an-1-1)=0an=-an-1或an=an-1+1,an=(-1)n-1或an=n.(2)an0,an=n,bn=1n(n+2)=121n-1n+2,Tn=121-13+12-14+1n-1n+2=12（1+12-1n+1-1n+2）=34-2n+32(n+1)(n+2).
