1、考点突破练22坐标系与参数方程(选修44)1.(2020全国理22)已知曲线C1,C2的参数方程分别为C1:x=4cos2,y=4sin2(为参数),C2:x=t+1t,y=t-1t(t为参数).(1)将C1,C2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.2.(2022陕西榆林三模)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=4cos,y=3sin(为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为cos +sin -12=0.(1)求C的普通方程与直线l的
2、直角坐标方程.(2)若P为C上任意一点,A为l上任意一点,求|PA|的最小值.3.(2022安徽怀南一模)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=t2,y=2t(t为参数),以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为2cos -sin =4.(1)求曲线C的普通方程;(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,求以AB为直径的圆的极坐标方程.4.(2022陕西榆林二模)在数学中,有许多方程都可以表示心型曲线,其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图,在直角坐标系中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,图中的曲线就是笛卡尔心型曲线,其极坐标方程为=1-si
3、n (00,R).(1)求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线=4(R)与直线l交于点M,直线=6(R)与曲线C交于点A,B,且AMBM,求实数a的值.6.(2022安徽马鞍山一模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2sin,y=2cos+1(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的直角坐标方程为x+3y-23=0.(1)写出曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程;(2)若直线=6(R)与曲线C交于A,B两点,与直线l交于点M,求|MA|MB|的值.7.(2022河南郑州二模)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=1+cos,
4、y=sin(为参数).已知M是曲线C1上的动点,将OM绕点O逆时针旋转90得到ON,设点N的轨迹为曲线C2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)设点Q(1,0),若射线l:=3与曲线C1,C2分别相交于异于极点O的A,B两点,求ABQ的面积.8.(2022山西太原一模)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为x=-2+35t,y=2+45t(t为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2cos 2+4sin -3=0,点P的极坐标为22,34.(1)求点P的直角坐标和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l和曲线
5、C交于A,B两点,求点P到线段AB的中点M的距离.考点突破练22坐标系与参数方程(选修44)1.解 (1)C1的普通方程为x+y=4(0x4).由C2的参数方程得x2=t2+1t2+2,y2=t2+1t2-2,所以x2-y2=4.故C2的普通方程为x2-y2=4.(2)由x+y=4,x2-y2=4得 x=52,y=32,所以P的直角坐标为52,32.设所求圆的圆心的直角坐标为(x0,0),由题意得x02=x0-522+94,解得x0=1710.因此,所求圆的极坐标方程为=175cos .2.解 (1)因为曲线C的参数方程为x=4cos,y=3sin(为参数),所以C的普通方程为x216+y29
6、=1.又因为直线l的极坐标方程为cos +sin -12=0,所以直线l的直角坐标方程为x+y-12=0.(2)设P(4cos ,3sin ),|PA|的最小值即点P到直线l的距离的最小值,由|3sin+4cos-12|2=|5sin(+)-12|2722,其中tan =43.当且仅当+=2+2k,kZ时取等号,故|PA|的最小值为722.3.解 (1)由x=t2,y=2t(t为参数),得x=t2,y2=t(t为参数),消去参数t,得y2=4x,即曲线C的普通方程为y2=4x.(2)由2cos -sin =4,得2x-y=4,联立y2=4x,2x-y=4得A(1,-2),B(4,4),所以AB
7、的中点坐标为52,1,|AB|=45=35,故以AB为直径的圆的极坐标方程为(x-52)2+(y-1)2=454,即x2+y2-5x-2y-4=0,将x=cos,y=sin代入,得2-5cos -2sin -4=0.4.解 (1)令=12,可得sin =12,所以=6或=56,M的直角坐标为34,14.(2)OMN的面积S=1212=12(1-sin )1-sin+2=12(1-sin )(1-cos )=121-(sin +cos )+sin cos ,令t=sin +cos =2sin+4-2,2,S=121-t+t2-12=14(t-1)2,当t=-2时,S取得最大值3+224.5.解
8、(1)由x=1+2t,y=1-2t(t为参数)得x+y=2,直线l的极坐标方程为cos +sin =2.由2=acos2,得2cos 2=a,2(cos 2-sin 2)=a,2cos2-2sin2=a,x2-y2=a,曲线C的直角坐标方程为x2-y2=a.(2)直线l的极坐标方程为cos +sin =2,将=4代入直线l的极坐标方程得=2,点M的极坐标为2,4.将=6代入曲线C的极坐标方程2=acos2,得1=2a,2=-2a,|AB|=|1-2|=22a.AMBM,且O为线段AB的中点,|OM|=12|AB|=2a,即2a=2,得a=1.6.解 (1)由x=2sin,y-1=2cos(为参
9、数),得曲线C的普通方程为x2+(y-1)2=4.由x+3y-23=0,得直线l的极坐标方程为cos +3sin -23=0,即sin+6=3.(2)(方法1)曲线C:x2+(y-1)2=4的极坐标方程为2-2sin -3=0,将=6代入曲线C的极坐标方程,得2-3=0,1+2=1,12=-3.将=6代入直线l的极坐标方程,得=2.|MA|MB|=|-1|-2|=|(2-1)(2-2)|=|4-2(1+2)+12|=1.(方法2)直线=6的普通方程为y=33x,与直线l:x+3y-23=0的交点为M(3,1),直线=6的参数方程为x=3+32t,y=1+12t(t为参数),代入曲线C:x2+(
10、y-1)2=4,得t2+3t-1=0,则|MA|MB|=|t1t2|=1.7.解 (1)C1的普通方程为(x-1)2+y2=1,则x2+y2-2x=0,由2=x2+y2,x=cos ,得2=2cos ,故C1的极坐标方程为=2cos .设N(,),则M,-2,将M,-2代入=2cos ,得=2cos-2=2sin ,即C2的极坐标方程为=2sin .(2)将=3分别代入曲线C1,C2的极坐标方程,得|OA|=A=2cos3=1,|OB|=B=2sin3=3,所以|AB|=|OB|-|OA|=3-1.又Q到射线l的距离d=|OQ|sin3=32,故ABQ的面积为S=12(3-1)32=3-34.8.解 (1)点P的极坐标为22,34,由x=cos,y=sin可得点P的直角坐标为(-2,2),曲线C:2cos 2+4sin -3=0,即2cos2-2sin2+4sin -3=0,于是得曲线C的直角坐标方程为x2-y2+4y-3=0.(2)显然点P(-2,2)在直线l上,将直线l的参数方程x=-2+35t,y=2+45t代入方程x2-y2+4y-3=0,得-2+35t2-2+45t2+42+45t-3=0,整理得725t2+125t-5=0,
