1、第24练 空间向量及其应用学校_ 姓名_ 班级_ 一、单选题1直三棱柱中，若，则（）ABCD【答案】A【详解】由已知得，故选：A.2在正方体中O为面的中心，为面的中心.若E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD【答案】B【详解】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，设异面直线与所成角为，则.故选：B3已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（）ABCD【答案】A【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，且，由正六边形的性质可得，设，其中，所以，所以，所以的取值范围.故选：A.4在四面体OABC中，E为OA中点，若，则（）ABCD【答案】D【详解】
2、.故选：D5在正方体中，E，F，G分别是，的中点，则（）A平面B平面C平面D平面【答案】A【详解】解：取、的中点分别记为、，连接、，根据正方体的性质可得面即为平面，对于A：如图，平面，平面，所以平面，故A正确；对于B：如图，在平面中，则平面，所以B错误；对于C、D：如图，平面，因为过平面外一点作（）仅能作一条垂线垂直该平面，故C、D错误；其中平面可按如下证明：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，所以，所以，即，又，平面，所以平面；故选：A6如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（）A/BC/平面D平面【答案】B【详解】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示
3、的空间直角坐标系，令，是底面的中心，分别是的中点，则，对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；对于B，因，则，即，B正确；对于C，设平面的法向量为，则，令，得，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.故选：B7已知直三棱柱各棱长均相等，点D，E分别是棱，的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（）ABCD【答案】A【详解】设直三棱柱的棱长为1，则，点D，E分别是棱，的中点，所以所以异面直线AD与BE所成角的余弦值为故选：A8已知向量，若，则实数（）A2B2C1D1【答案】B【详解】，因为，所以，所以，所以2.故选：B9如图，四边形
4、中，现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（）ABCD【答案】D【详解】设向量与所成角为，二面角的平面角大小为，因为，所以，又，所以，,，则，所以，取中点E，连接，则，,在中，即，所以，即，又因为，所以，因为直线夹角范围为，所以直线与所成角的余弦值范围是故选：D10如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（）A1BCD【答案】D【详解】如图建立空间直角坐标系，则，设，则，动点P到直线的距离为，当时取等号，即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.故选：D.二、多选题11若，表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A若与不平行
5、，且，则平面内不存在与平行的直线B若，则C若，则D存在两条异面直线，使得，且，【答案】ABD【详解】对于A，若平面内存在与平行的直线，则，与已知矛盾，故A正确；对于B，由线面平行的性质定理易知B正确；对于C，可能平行，也可能相交，所以C错误；对于D，若，易知D正确.故选：ABD.12若，与的夹角为120，则的值为（）AB17C1D【答案】BD【详解】由题意得解得或故选：BD13如图所示，在正方体中，分别是的中点，则下列说法正确的是（）A与垂直B与垂直C与平行D与平行【答案】ABC【详解】如图所示，易知是中点，又分别是的中点，根据向量的运算：，显然不共线，故，又，故，于是A，C正确；又，且，故，
6、故B正确；若，结合，根据平行的传递性，可知，又，则，显然是错误的，故D错误.故选：ABC.14在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法正确的是（）A点关于平面对称的点的坐标为B若平面的法向量，则直线平面C若，分别为平面，的法向量，则平面平面D点到直线的距离为【答案】ACD【详解】解：对于A：因为，所以点关于平面对称的点的坐标为，故A正确；对于B：因为，所以，因为平面的法向量，所以，所以直线与平面不平行，故B错误；对于C：因为、，所以，因为，分别为平面，的法向量，所以平面平面，故C正确；对于D：因为，所以，所以点到直线的距离，故D正确；故选：ACD三、解答题15如图，在直三棱柱中，点分别在棱和棱上
7、，且(1)设为中点，求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值【解析】(1)证明：取中点，连接、，则，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以又平面，平面，所以平面(2)解：因为直三棱柱中，所以、两两垂直分别以、的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面法向量为，则，即，令，得到平面的一个法向量设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为16如图，在四棱锥中，底面，为上一点，且.(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小.【解析】(1)证明：底面，故以为原点，分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，则，即，又，所以平面(2)由(1)知，设平面AEB的一个法向量为，则，即，令，可得，设平面的一个法向量为，则，即，令，可得，所以平面与平面锐二面角的大小为