1、模块复习课第1课时解三角形课后篇巩固提升基础巩固1.已知在ABC中,a=15,b=10,A=60,则cos B=()A.-B.C.-D.解析由正弦定理得,所以sinB=.因为ab,A=60,所以B为锐角,故cosB=.答案D2.已知在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,bc=4,则ABC的面积为()A.B.1C.D.2解析因为a2=b2+c2-bc,所以cosA=,因此A=.又因为bc=4,所以ABC的面积为bcsinA=.答案C3.已知在ABC中,满足a=3,b=2,B=30,则这样的三角形有()A.0个B.1个C.2个D.无数个解析由已知及正弦定理得,
2、即,sinA=.又A(0,),且ab,这样的三角形有2个.故选C.答案C4.张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上,15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上,则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A.2 kmB.3 kmC.3 kmD.2 km解析画出示意图如图所示.由条件知AB=24=6(km).在ABS中,BAS=30,AB=6km,ABS=180-75=105,所以ASB=45.由正弦定理知,所以BS=3(km).答案B5.已知在ABC中,若=12,ABC的面积等于8,则tan C的值等于()A
3、.B.-C.D.-解析由已知可得abcos(180-C)=12,即abcosC=-12.因为absinC=8,所以absinC=16,于是tanC=-.答案D6.在ABC中,a=3,b=,A=,则B=.解析根据正弦定理,得sinB=,sinB=.B=或B=.又ab,AB,B=.答案7.如图,在ABC中,B=,点D在BC上,cosADC=,则cosBAD=.解析cosADC=,sinADC=,则cosBAD=cos(ADC-B)=cosADCcosB+sinADCsinB=.答案8.如图,为测量出山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A处测得M的仰角MAN=60,C的仰角CAB=45
4、以及MAC=75,从C处测得MCA=60.若山高BC=100 m,则山高MN=m.解析依题意可得AB=BC=100m,AMC=45,所以AC=100m.在ACM中,由正弦定理可得AM=sin60=100(m),所以MN=AMsin60=150(m).答案1509.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且 .(1)求角C的大小;(2)若c=3,且ABC的面积为,求a2+b2的值.解(1),sinC=.ABC是锐角三角形,C=.(2)SABC=absinC=,C=,ab=10.由余弦定理得a2+b2-2abcos=9,a2+b2=19.10.已知ABC的内角A,B,C的对边分
5、别为a,b,c,若b=ctan B,且C为钝角.(1)证明C=B+;(2)若c=a,求角B的大小.(1)证明由b=ctanB及正弦定理得sinB=sinC,所以sinC=cosB,即sinC=sin.因为C为钝角,所以+B,故C=B+.(2)解由(1)知A=-B-C=-2B.由c=a可得sinC=sinA,即sinsin,所以cosB=cos2B,cosB=(2cos2B-1),解得cosB=,故B=.能力提升1.已知在锐角三角形ABC中,AB=3,AC=4,SABC=3,则BC=()A.5B.C.D.解析由SABC=ABACsinBAC=34sinBAC=3,得sinBAC=.因为ABC为锐
6、角三角形,所以BAC,故BAC=.在ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACABcosBAC=42+32-243cos=13.所以BC=,故选D.答案D2.在非等腰三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos A=bcos B,则C等于()A.30B.45C.90D.120解析由acosA=bcosB可得sinAcosA=sinBcosB,于是sin2A=sin2B.因为ABC不是等腰三角形,所以2A=180-2B,则A+B=90,即C=90.答案C3.在ABC中,若B=60,a+c=2,则b的取值范围是()A.1,2)B.(0,2)C.(0,1D.(2,+)解
7、析由正弦定理可得,所以,于是,因此b=.由于A+C=120,所以0A120,因此30A+30150,则sin(A+30)1,即10,知0B,得cosB=.由余弦定理可得cosB=,即,整理得3a2-2a-21=0,解得a=3或a=-(舍去).故a=3.答案35.如图,在ABC中,点D在AC上,ABBD,BC=3,BD=5,tanABC=-,则CD的长为.解析由tanABC=-可得sinABC=.由于ABC=90+DBC,因此sinABC=sin(90+DBC)=cosDBC=.在DBC中,由余弦定理可得CD=4.答案46.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若=2c,则A的大小是.
8、解析由正弦定理可得=2sinC.由sinC1,得2.因为2(由基本不等式可得),当且仅当sinA=sinB,取得等号,所以sinC=1,C=,sinA=sinB.故A=B=.答案7.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若C=,求的值.(1)证明由已知得sinAsinB+sinBsinC+1-2sin2B=1,故sinAsinB+sinBsinC=2sin2B.因为sinB0,所以sinA+sinC=2sinB.由正弦定理得a+c=2b,所以a,b,c成等差数列.(2)解在ABC
9、中,由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得(2b-a)2=a2+b2-2abcos,即(2b-a)2=a2+b2+ab,展开并化简,得3b2=5ab.故.8.如图,有一直径为8 m的半圆形空地,现计划种植甲、乙两种果树,已知单位面积种植甲种果树的经济价值是种植乙种果树经济价值的5倍,但种植甲种果树需要有辅助光照.半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲种果树生长的需要,该光源照射范围是ECF=,点E,F在直径AB上,且ABC=.(1)若CE= m,求AE的长;(2)设ACE=,求该空地产生最大经济价值时种植甲种果树的面积.解(1)由已知,点C在以AB为直径的半圆周上,所以ACB为直角三角形,因为AB=8,ABC=,所以BAC=,AC=4.在ACE中,CE2=AC2+AE2-2ACAEcosBAC,且CE=,所以13=16+AE2-4AE,解得AE=1或AE=3.故AE的长为1m或3m.(2)因为ACB=,ECF=,所以ACE=,所以AFC=-BAC-ACF=-.在ACF中,=,所以CF=.在ACE中,所以CE=.若要产生最大经济价值,则需满足ECF的面积最大,SECF=CECFsinECF=,因为,所以0sin1,所以当=时,SECF取得最大值,为4m2,即种植甲种果树的面积为4m2时,该空地产生的经济价值最大.