1、第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理课后篇巩固提升基础巩固1.在ABC中,若ABC=411,则abc=()A.411B.211C.11D.11解析由ABC=411且A+B+C=,得A=,B=,C=,所以sinA=,sinB=,sinC=,又由abc=sinAsinBsinC,得abc=11.答案D2.在ABC中,若a=3,b=,A=,则角C的大小为()A.B.C.D.解析由正弦定理,得sinB=.因为ab,所以AB,所以B=,所以C=-.答案D3.在ABC中,角A,C的对边分别为a,c,C=2A,cos A=,则的值为()A.2B.C.D.1解析由正弦定理,得=2cosA=
2、2.答案C4.在ABC中,已知BC=AC,B,则角A的取值范围为()A.B.C.D.解析BC=AC,sinA=sinB.B,sinB,sinA,在ABC中,A.答案D5.已知ABC外接圆的半径为1,则sin ABC=()A.11B.21C.12D.无法确定解析由正弦定理,得=2R=2,所以sinABC=12.答案C6.在ABC中,若,则该三角形一定是()A.等腰直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等腰三角形但不是直角三角形D.直角三角形但不是等腰三角形解析根据正弦定理,得.又,所以,则sinB=cosB,即tanB=1,则B=45,同理可得C=45.所以A=180-C-B=90.故ABC为
3、等腰直角三角形.答案A7.在ABC中,则的值为.解析由正弦定理,得+1=+1=+1=.答案8.在ABC中,B=45,C=60,c=1,则最短边的长等于.解析由三角形内角和定理,得A=75.由三角形的边角关系,得B所对的边b为最短边.由正弦定理,得b=.答案9.在ABC中,lg(sin A+sin C)=2lg sin B-lg(sin C-sin A),判断ABC的形状.解由题意,得(sinA+sinC)(sinC-sinA)=sin2B,即-sin2A+sin2C=sin2B.由正弦定理,得-a2+c2=b2,即a2+b2=c2,所以ABC是直角三角形.10.在ABC中,角A,B,C所对的边
4、分别为a,b,c,且acos C+c=b.(1)求角A的大小;(2)若a=1,b=,求c的值.解(1)由acosC+c=b和正弦定理,得sinAcosC+sinC=sinB.sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,sinC=cosAsinC.sinC0,cosA=.0A,A=.(2)由正弦定理,得sinB=.B=.当B=时,由A=,得C=,c=2.当B=时,由A=,得C=,c=a=1.综上可得,c=1或c=2.能力提升1.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2c=b,C=60,则B=()A.45B.45或135C.30D.30或150解析在ABC中,2c
5、=b,C=60,b=,由正弦定理,得sinB=.bc,B为锐角,B=45.故选A.答案A2.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c=1,B=45,cos A=,则b=()A.B.C.D.解析因为cosA=,0A,所以sinA=,所以sinC=sin180-(A+B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=cos45+sin45=.由正弦定理,得b=sin45=.答案C3.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3bcos C=c(1-3cos B),则=()A.B.C.3D.解析已知3bcosC=c(1-3cosB),由正弦定理,得3sinBcosC=
6、sinC(1-3cosB),化简可得sinC=3sin(B+C).又A+B+C=,sinC=3sinA,=3.故选C.答案C4.(2020全国高考)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,O1为ABC的外接圆.若O1的面积为4,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为()A.64B.48C.36D.32解析由题意知O1的半径r=2.由正弦定理知=2r,AB=BC=AC,ABC为等边三角形.OO1=AB=2rsin60=2,球O的半径R=4.球O的表面积为4R2=64.答案A5.在ABC中,b+c=12,A=60,B=30,则c=.解析由已知,得C=180-A-B=90,则.b+c=12,b=4
7、,c=8.答案86.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则=.解析由正弦定理及已知,得,即(cosA-3cosC)sinB=(3sinC-sinA)cosB,整理可得sin(A+B)=3sin(B+C).所以sinC=3sinA,即.答案7.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且5sin=cos C+2.(1)求tan(A+B)的值;(2)若+1=,c=2,求a的值.解(1)由已知,得5sin=1-2sin2+2,即2sin2+5sin-3=0,解得sin或sin=-3(舍去).因为090,所以=30,即C=60,于是tan(A+B)=tan(180-C)=tan120=-.(2)由+1=及正弦定理,得,即,因为sin(A+B)=sinC0,sinB0,所以cosA=,所以sinA=.由正弦定理,得a=.8.(选做题)在ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos的值.解(1)因为cosB=,0B,所以sinB=.由正弦定理,得,所以AB=5.(2)因为在ABC中,A+B+C=,所以A=-(B+C),于是cosA=-cos(B+C)=-cos=-cosBcos+sinBsin,又cosB=,sinB=,所以cosA=-=-.因为0A,所以sinA=.故cos=cosAcos+sinAsin=-.4