1、考点突破练8立体几何中的证明与计算1. (2022青海西宁一模)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB=AD=2,CD=4,ABCD,AD平面CDP,E为PC的中点. (1)证明:BE平面PAD;(2)若CP平面PAD,CP=23,求三棱锥D-PBE的体积.2.如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱锥P-ABCD的体积为83,求该四棱锥的高及四棱锥的侧面积.3. (2022四川成都一中练习)如图所示,在五面体ABCDE中,ABC是边长为2的等边三角形,四边形BCDE为直角梯形,DEB
2、C,BCD=90,CD=DE=1,AD=5. (1)若平面ADE平面ABC=l,求证:DEl;(2)F为线段BE上一点,若三棱锥F-ACD的体积为34,试确定点F的位置,并说明理由.4. (2022甘肃兰州模拟预测)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,点E为棱PC上一点(与P,C不重合),点M,N分别在棱PD,PB上,平面EMN平面ABCD. (1)求证:BD平面AMN;(2)若点E为PC的中点,PC=BC=BD=2,PBC=4,PCBD,求点A到平面EBD的距离.5. (2022陕西二模)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点M,N分别是线段A1B,AC1的中点.
3、(1)求证:MNAA1;(2)在线段BC1上是否存在一点P使得平面MNP平面ABC?若存在,指出点P的具体位置;若不存在,请说明理由.6. (2022宁夏银川一中二模)如图所示,已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=1,AD=2,ADC=60,AF=1,M是线段EF的中点. (1)求证:ACBF;(2)设点P为一动点,若点P从M出发,沿棱按照MEC的路线运动到点C,求这一过程中形成的三棱锥P-BDF的体积的最小值.考点突破练8立体几何中的证明与计算1. (1)证明 取PD的中点F,连接EF,AF,则EFCD,且EF=12CD,又ABCD,且AB=12CD,EFAB,且EF
4、=AB,四边形ABEF是平行四边形,BEAF,又BE平面PAD,AF平面PAD,BE平面PAD.(2)解 CP平面PAD,PD平面PAD,CPPD,又CP=23,CD=4,PD=CD2-CP2=16-12=2,又ABCD,AD平面CDP,故V三棱锥D-PBE=V三棱锥B-PDE=V三棱锥A-PDE=13SPDEAD=1312232=233.2.(1)证明 由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)解 在平面PAD内作PEAD,垂足为E.由(1)知,AB平面PAD,故ABPE,可得PE平面AB
5、CD,所以PE为四棱锥P-ABCD的高.设AB=x,则由已知可得AD=2x,PE=22x.故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=13ABADPE=13x3.由题设得13x3=83,解得x=2.故四棱锥P-ABCD的高PE=2,从而PA=PD=2,AD=BC=22,PB=PC=22.可得四棱锥P-ABCD的侧面积为12PAPD+12PAAB+12PDDC+12BC2sin 60=6+23.3.(1)证明 DEBC,而DE平面ABC,BC平面ABC,DE平面ABC,又平面ADE平面ABC=l,DE平面ADE,DEl.(2)解 点F是线段BE的中点.理由如下:取BC的中点O,连接AO,EO.CD
6、2+CA2=AD2,CDAC,又CDBC,ACBC=C,CD平面ABC.CODE,CO=DE,四边形COED是平行四边形.EOCD,EO平面ABC.EOAO.又AOBC,BCEO=O,AO平面BCDE,V三棱锥F-ACD=V三棱锥A-FCD=34,V三棱锥A-FCD=13SDCFAO=13SDCF3=34,SDCF=34.设点F到直线CD的距离为h,SDCF=12DCh=34,h=32.在直角梯形BCDE中,DE=1,BC=2,h=32,故点F是线段BE的中点.4.(1)证明 因为平面EMN平面ABCD,平面EMN平面PBD=MN,平面ABCD平面PBD=BD,所以MNBD,因为MN平面AMN
7、,BD平面AMN,所以BD平面AMN.(2)解 因为PC=BC=BD=2,PBC=4,所以PBC=BPC=4,所以PCB=2,所以PCCB,因为PCBD,CBBD=B,所以PC平面ABCD,因为CD平面ABCD,所以PCCD.设点A到平面EBD的距离为d,因为点E为PC的中点,PC=2,所以EC=12PC=1.因为四边形ABCD为菱形,BC=BD=2,所以CD=2,ABD,CBD为全等的等边三角形,所以DE=BE=22+12=5,所以SEBD=12BDBE2-BD22=1225-1=2,因为V三棱锥E-ABD=V三棱锥A-EBD,所以13SABDEC=13SEBDd,133441=132d,解
8、得d=32,所以点A到平面EBD的距离为32.5. (1)证明 连接A1C,因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1C1C为平行四边形,故A1C和AC1相交,交点为它们的中点.由于点N是线段AC1的中点,故点N也为A1C的中点.因为点M为A1B的中点,所以MN为A1BC的中位线,所以MNBC.因为AA1平面ABC,BC平面ABC,所以AA1BC,所以AA1MN,即MNAA1.(2)解 存在,当点P为BC1的中点时,平面MNP平面ABC.证明:连接PN,PM,因为N为AC1的中点,P为BC1的中点,所以PNAB,又PN平面ABC,AB平面ABC,所以PN平面ABC,又由(1)知MNBC
9、,BC平面ABC,MN平面ABC,故MN平面ABC,又MNPN=N,MN,PN平面MNP,所以平面MNP平面ABC.6.(1)证明 在平行四边形ABCD中,ADC=60,CD=AB=1,AD=2,由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2ADCDcosADC=3,AC=3,BC=AD=2,AB2+AC2=BC2,BAC=90,ABAC,四边形ACEF为矩形,则AFAC,ABAF=A,AC平面ABF,BF平面ABF,ACBF.(2)解 设AC与BD相交于点N,连接FN,CM,四边形ABCD为平行四边形,且ACBD=N,N为AC的中点,ACEF且AC=EF,M为EF的中点,CNFM且CN=FM,四边形CMFN为平行四边形,则CMFN,FN平面BDF,CM平面BDF,CM平面BDF.由图可知,当点P在M或C时,三棱锥P-BFD的体积最小,平面ACEF平面ABCD,平面ACEF平面ABCD=AC,AFAC,AF平面ABCD.