1、2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 2.2.2 平面与平面平行的判定 1.直线与平面平行的判定定理 语言叙述 符号表示 图形表示 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行 【思考】(1)直线与平面平行的判定定理中“平面外”可以去掉吗?试画图举例说明.提示:如图所示,ab,b,但是a与 不平行,实际上a.(2)直线与平面平行的判定定理的本质是将直线与平面平行转化为什么?提示:直线与平面平行转化为直线与直线平行.2.平面与平面平行的判定定理 语言叙述 符号表示 图形表示 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行 【思考】如果
2、把定理中的“相交”去掉,这两个平面是否一定平行,为什么?提示:不一定平行.如果不是两条相交直线,即使在一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,也不能判定这两个平面平行,这是因为在两个相交平面的一个平面内,可以画出无数条直线与交线平行,显然这无数条直线都与另一个平面平行,但这两个平面不平行.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)若直线a与平面 内无数条直线平行,则a.()(2)三角板的两条边所在直线分别与平面 平行,这个三角板所在平面与平面 平行.()(3)平面 内的一个平行四边形的两边与平面 内的一个平行四边形的两边对应平行,则 .()提示:(1).若直线a与平面内无数条直线
3、平行,则这条直线可能在这个平面内,也可能与这个平面平行,所以该命题错误.(2).三角板的两条边所在直线是相交的,根据平面与平面平行的判定定理可知此说法正确.(3).若平行四边形的两边是对边,则互相平行不相交,无法推出.2.在长方体ABCD-ABCD中,下列正确的是()A.平面ABCD平面ABBA B.平面ABCD平面ADDA C.平面ABCD平面CDDC D.平面ABCD平面ABCD【解析】选D.由长方体可以知道,平面ABCD平面ABBA=AB,所以A不正确;平面ABCD平面ADDA=AD,所以B不正确;平面ABCD平面CDDC=CD,所以C不正确;平面ABCD与平面ABCD是相对平面,正确.
4、所以D选项是正确的.3.如图,空间四边形ABCD中,若M,N,P分别是AB,BC,CD的中点,则与MN平行的平面是_,与NP平行的平面是_.【解析】因为M,N分别是AB,BC的中点,所以MNAC,又MN平面ACD,AC平面ACD,所以MN平面ACD,同理可证NP平面ABD.答案:平面ACD 平面ABD 类型一 直线与平面平行的判定【典例】1.平面 与ABC的两边AB,AC分别交于D,E,且 ,如图所示,则BC与平面 的位置关系是()A.平行 B.相交 C.异面 D.BC ADAEDBEC2.(2019济南高一检测)如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,
5、C1D1,AD1,BD的中点.(1)求证:PQ平面DCC1D1.(2)求证:EF平面BB1D1D.【思维引】1.由 可以推出EDBC.2.(1)充分借助于P,Q为中点这一条件,用三角形中位线的性质证明直线与直线平行.(2)要证明EF平面BB1D1D,需要在平面BB1D1D内找到与EF平行的直线,此直线与EF构成平行四边形.ADAEDBEC【解析】1.选A.因为 ,所以EDBC,又DE,BC,所以BC.ADAEDBEC2.(1)连接AC,D1C,因为四边形ABCD是正方形,所以Q是AC的中点,又P是AD1的中点,所以PQD1C,因为PQ平面DCC1D1,D1C平面DCC1D1,所以PQ平面DCC
6、1D1.(2)连接D1Q,QE,因为Q,E分别是BD,BC的中点,所以QEDC,QE=DC,因为F是C1D1的中点,四边形DCC1D1是正方形,所以D1FDC,D1F=DC,所以QED1F,QE=D1F,1212所以四边形QEFD1是平行四边形,所以EF QD1,因为EF平面BB1D1D,QD1平面BB1D1D,所以EF平面BB1D1D.【内化悟】直观图中直线与直线的平行关系有变化吗?据此通常如何作辅助线寻找平面内与已知直线平行的直线?提示:不变.通常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理作辅助线,证明直线与直线平行.【类题通】应用判定定理证明线面平行的步骤 上面的第一步“
7、找”是证题的关键,其常用方法有:空间直线平行关系的传递性法;三角形中位线法;平行四边形法;成比例线段法.提醒:线面平行判定定理应用的误区(1)条件罗列不全,最易忘记的条件是“直线在平面外”.(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线.【习练破】如图,在三棱锥A-BCD中,ABAD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD.求证:EF平面ABC.【证明】在平面ABD中,ABAD,EFAD,所以ABEF,又AB平面ABC,且EF平面ABC,所以EF平面ABC.【加练固】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S,E,G分别是B1D1,BC,SC的中点.求证:直线EG平面
8、BDD1B1.【解析】如图所示,连接SB.因为E,G分别是BC,SC的中点,所以EGSB.又因为SB平面BDD1B1,EG平面BDD1B1,所以直线EG平面BDD1B1.类型二 平面与平面平行的判定【典例】1.下列四个正方体图形中,A,B,C为正方体所在棱的中点,则能得出平面ABC平面DEF的是()世纪金榜导学号 2.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形,E,F,H分别为AB,CD,PD的中点.求证:平面AFH平面PCE.【思维引】1.看哪几个选项中的两个平面是相交的,不容易看出相交的选项中有哪些直线与直线平行.2.为证平面AFH平面PCE,在矩形ABCD中,AFCE,在PCD中,
9、FHPC.【解析】1.选B.A中,易作出过点D与BC平行的直线,此 直线与平面DEF相交,故BC与平面DEF相交,排除A;B中,可证ABDE,BCDF,故可以证明AB平面DEF,BC平 面DEF.又ABBC=B,所以平面ABC平面DEF.C中,易证 BC与平面DEF相交,所以平面ABC与平面DEF不平行;D中,易证AB与平面DEF相交,所以平面ABC与平面DEF不平行.2.因为F为CD的中点,H为PD的中点,所以FHPC,且FH平面PCE,所以FH平面PCE.又AECF且AE=CF,所以四边形AECF为平行四边形,所以AFCE,且AF平面PCE，所以AF平面PCE.由FH平面AFH,AF平面A
10、FH,FHAF=F,所以平面AFH平面PCE.【素养探】在与平面与平面平行的判定有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过研究平面与平面平行的判定,形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维习惯和交流能力.将本例2的条件“E,F,H分别为AB,CD,PD的中点”改为“点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PMMA=BNND=PQQD”,其他条件不变,求证:平面MNQ平面PBC.【证明】因为PMMA=BNND=PQQD,所以MQAD,NQBP.因为BP平面PBC,NQ平面PBC,所以NQ平面PBC.又因为底面ABCD为平行四边形,所以BCAD,所以MQBC.因为BC平面PBC,MQ平面PBC,所
11、以MQ平面PBC.又因为MQNQ=Q,所以根据平面与平面平行的判定定理,得平面MNQ平面PBC.【类题通】平面与平面平行的判定方法(1)定义法:两个平面没有公共点.(2)判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.(3)转化为线线平行:平面 内的两条相交直线与平面 内的两条相交直线分别平行,则 .(4)利用平面平行的传递性:若 ,则 .【习练破】如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是平行四边形,点G和点H分别是CE和CF的中点.求证:平面BDGH平面AEF.【证明】在CEF中,因为G,H分别是CE,CF的中点,所以GHEF,又因为GH平面AEF,EF平面AEF,所以GH平面A
12、EF.设ACBD=O,连接OH,在ACF中,因为OA=OC,CH=HF,所以OHAF,又因为OH平面AEF,AF平面AEF,所以OH平面AEF.又因为OHGH=H,OH,GH平面BDGH,所以平面BDGH平面AEF.【加练固】如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面.(2)平面EFA1平面BCHG.【证明】(1)因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,所以GH是A1B1C1的中位线,所以GHB1C1.又因为B1C1BC,所以GHBC,所以B,C,H,G四点共面.(2)因为E,F分别是AB,AC的中点
13、,所以EFBC.因为EF平面BCHG,BC平面BCHG,所以EF平面BCHG.因为A1G EB,所以四边形A1EBG是平行四边形,所以A1EGB.因为A1E平面BCHG,GB平面BCHG,所以A1E平面BCHG.因为A1EEF=E,所以平面EFA1平面BCHG.类型三 与平行有关的存在性问题【典例】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,在CC1 上是否存在点Q使得平面D1BQ平面PAO?若存在,说明点Q的位置;若不存在,说明理由.世纪金榜导学号【思维引】点Q在CC1上运动时,平面D1BQ中,D1B与平面PAO平行,点Q 是CC1的中点时,QB平面
14、PAO.【解析】存在.当Q为CC1的中点时,平面D1BQ平面PAO.理由如下:因为Q为CC1的中点,P为DD1的中点,所以易知QBPA.而QB平面PAO,PA平面PAO,所以QB平面PAO.连接DB,因为P,O分别为DD1,DB的中点,所以PO为DBD1的中位线,所以D1BPO.而D1B平面PAO,PO平面PAO,所以D1B平面PAO.又D1BQB=B,所以平面D1BQ平面PAO.【内化悟】解决与平行有关的存在性问题的切入点是什么?提示:结合平行直线以及线段的特殊点如几等分点进行分析.【类题通】解决与平行有关的存在性问题的基本策略(1)假定题中的数学对象存在(或结论成立).(2)在这个前提下进
15、行逻辑推理.若能导出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,即存在,并可进一步证明;若导出与条件或实际情况相矛盾的结果,则说明假设不成立,即不存在.【习练破】如图,在底面是平行四边形的四棱锥 P-ABCD中,BD交AC于点E,F是PC中点,在线段AC上是否存在G,使FG平面PBD,若存在,说明点G的位置,并说明理由;若不存在,说明理由.【解析】存在.当点G是线段CE中点时,FG平面PBD.理由如下:连接PE,在PCE中,F是PC的中点,G是EC的中点,所以FGPE,又FG平面PBD,PE平面PBD,所以FG平面PBD.【加练固】如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M 分别是棱B1
16、C1,BB1,C1D1的中点,是否存 在过点E,M且与平面A1FC平行的平面?若存在,请作出并证明;若不存在,请说明理由.【解析】如图,设N是棱C1C上的一点,且C1N=C1C时,平面EMN过点E,M且与平面A1FC平行.证明如下:设H为棱C1C的中点,连接B1H,D1H.因为C1N=C1C,所以C1N=C1H.又E为B1C1的中点,141412所以ENB1H.又CFB1H,所以ENCF.又EN平面A1FC,CF平面A1FC,所以EN平面A1FC.同理MND1H,D1HA1F,所以MNA1F.又MN平面A1FC,A1F平面A1FC,所以MN平面A1FC.又ENMN=N,所以平面EMN平面A1FC.