1、第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.2空间向量的数乘运算课后篇巩固提升1.下列说法正确的是()A.在平面内共线的向量在空间不一定共线B.在空间共线的向量在平面内不一定共线C.在平面内共线的向量在空间一定不共线D.在空间共线的向量在平面内一定共线答案D2.已知MA,MB是空间两个不共线的向量,MC=3MA-2MB,那么必有()A.MA,MC共线B.MB,MC共线C.MA,MB,MC共面D.MA,MB,MC不共面答案C3.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点E为A1D1的中点,设AB=a,AD=b,AA1=c,则CE=()A.-a-12b+cB.a-12b+cC.a
2、-12b-cD.a+12b-c解析根据向量的三角形法则得到CE=AE-AC=AA1+A1E-(AB+BC)=c+12b-a-b=-a-12b+c.故选A.答案A4.在空间四边形OABC中,G是ABC的重心,若OA=a,OB=b,OC=c,则OG等于()A.12a+12b+12cB.13a+13b+13cC.a+b+cD.3a+3b+3c解析由G是ABC的重心,则CG=23CM=13(CA+CB),OG=OC+CG=OC+13(OA-OC)+(OB-OC)=OC+13(OA-2OC+OB)=13OC+13OA+13OB=13a+13b+13c.故选B.答案B5.已知空间任意一点O和不共线的三点A
3、,B,C,若OD=mOA+nOB+pOC(m,n,pR),则“A,B,C,D四点共面”是“m=32,n=12,p=-1”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由题意,空间中四点A,B,C,D,若OD=mOA+nOB+pOC(m,n,pR).若A,B,C,D四点共面,根据空间向量的共面定理,只需m+n+p=1,又由m=32,n=12,p=-1,可得m+n+p=1,所以“m=32,n=12,p=-1”时,A,B,C,D四点共面,即必要性成立,反之不一定成立,既充分性不成立.所以“A,B,C,D四点共面”是“m=32,n=12,p=-1”的必要不充分条件.
4、故选A.答案A6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M为空间任意两点,如果有PM=PB1+7BA+6AA1-4A1D1,那么M必()A.在平面BAD1内B.在平面BA1D内C.在平面BA1D1内D.在平面AB1C1内解析由于PM=PB1+7BA+6AA1-4A1D1=PB1+BA+6BA1-4A1D1=PB1+B1A1+6BA1-4A1D1=PA1+6(PA1-PB)-4(PD1-PA1)=11PA1-6PB-4PD1,因此M,B,A1,D1四点共面.答案C7.已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外任一点,若由OP=15OA+23OB+OC确定的一点P与A,B,C三点共面,则=.
5、解析因为点P与A,B,C三点共面,所以15+23+=1,解得=215.答案2158.设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知AB=e1+ke2,BC=5e1+4e2,DC=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,则实数k的值是.解析因为BC=5e1+4e2,DC=-e1-2e2,所以BD=BC+CD=(5e1+4e2)+(e1+2e2)=6e1+6e2.又因为A,B,D三点共线,所以AB=BD,所以e1+ke2=(6e1+6e2).因为e1,e2是不共线向量,所以1=6,k=6,故k=1.答案19.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点M为DD1的中点,点N在AC上,且ANNC=21,求证:A
6、1N与A1B,A1M共面.证明A1B=AB-AA1,A1M=A1D1+D1M=AD-12AA1,AN=23AC=23(AB+AD),A1N=AN-AA1=23(AB+AD)-AA1=23(AB-AA1)+23AD-12AA1=23A1B+23A1M,A1N与A1B,A1M共面.10.如图,已知空间四边形ABCD,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且CF=23CB,CG=23CD.求证:四边形EFGH是梯形.证明E,H分别是边AB,AD的中点,AE=12AB,AH=12AD,EH=AH-AE=12AD-12AB=12BD.又FG=CG-CF=23CD-23CB=23(CD-CB)=23BD,EH=34FG,EHFG,|EH|=34|FG|.又点F不在EH上,四边形EFGH是梯形.