1、易错点19 向量的应用一、单选题1. 设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C:=2px(p0)交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为A. (，0)B. (，0)C. (1,0)D. (2,0)2. 在ABC中，AB=4，AC=2，BAC=60，D为BC边上靠近C的三等分点，则ABAD=A. 8B. 6C. 4D. 23. 已知ABC的顶点A(2,3)和重心G的坐标为(2,-1)，则BC边上的中点坐标为A. (2,-9)B. (2,-5)C. (2,-3)D. (2,0)4. 在ABC中，设AC2-AB2=2AMBC，则动点M的轨迹必通过ABC的A. 垂心B. 内心C. 重心D. 外心5.
2、在ABC中，向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)BC=0，且BA|BA|BCBC=22，则ABC为A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等腰直角三角形6. 如图所示，半圆的直径AB=4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则PA+PBPC的最小值是A. 2B. 0C. -1D. -27. 已知点A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且ABC=90，若点P的坐标为(2,0)，则PA+PB+PC的最大值为A. 9B. 8C. 7D. 68. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是
3、重心到垂心距离的一半此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理设点O，H分别是ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则A. AB+AC=3HM+3MOB. AB+AC=3HM-3MOC. AB+AC=2HM+4MOD. AB+AC=2HM-4MO二、填空题9. 已知ABC和点P满足PA+2PB+PC=0，则PBC与ABC的面积之比为_10. 如图，某班体重为70kg的体育老师在做引体向上示范动作，两只胳膊的夹角为60，拉力大小均为F，若使身体能向上移动，则拉力F的最小整数值为_N.(取重力加速度大小为g=10m/s2，31.732)11. 如图所示，在空间四边形ABCD中，CD=3，B
4、C=4，M，N分别为AB，AD的中点，则MNDC=_三、解答题12. 在非直角ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边已知a=4，ABAC=5，求：(1)tanAtanB+tanAtanC的值；(2)BC边上的中线AD的长13. 已知，设f(x)=ab(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)三角形ABC的三个角A,B,C所对边分别是a,b,c，且满足A=3,fB=1,3a+2b=10，求边c14. 已知ABC的面积为33，且内角A、B、C依次成等差数列(1)若sinC=3sinA，求边AC的长；(2)设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值15. 如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=
5、b，OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，点N为BC中点()用a，b，c表示MN；()在ABC中，过点N作直线l分别交AB、AC于P、Q，若AP=mAB，AQ=nAC(m0,n0)，求m+n的最小值一、单选题1. 设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C:=2px(p0)交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为A. (，0)B. (，0)C. (1,0)D. (2,0)【答案】B【解析】解：根据题意，不妨设D(2,2p)，E(2,-2p)，因为ODOE，可得ODOE=0，所以4-4p=0，故p=1，所以抛物线C：y2=2x，所以抛物线的焦点坐标为(12,0)故选B2. 在ABC中，AB=4，
6、AC=2，BAC=60，D为BC边上靠近C的三等分点，则ABAD=A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】A【解析】解：AD=CD+AC=13CB+AC=13AB-13AC+AC=13AB+23AC，ABAD=13|AB|2+23ABAC=1342+23|AB|AC|cosBAC=163+234212=8故选A3. 已知ABC的顶点A(2,3)和重心G的坐标为(2,-1)，则BC边上的中点坐标为A. (2,-9)B. (2,-5)C. (2,-3)D. (2,0)【答案】C【解析】解：设ABC的边BC上的中点为D，G是ABC的重心，G在ABC的中线AD上，且满足AG=2GD，A2,3,G2,-
7、1，设D(x,y)，AG=0,-4，GD=x-2,y+1，可得0=2x-2-4=2y+1，解得x=2，y=-3，所以BC边上的中点D的坐标为(2,-3)故选C4. 在ABC中，设AC2-AB2=2AMBC，则动点M的轨迹必通过ABC的A. 垂心B. 内心C. 重心D. 外心【答案】D【解析】解：如图所示：设线段BC的中点为D，则AB+AC=2ADAC2-AB2=2AMBC，(AC+AB)(AC-AB)=2AMBC，BC(AB+AC-2AM)=0，即BC(2AD-2AM)=0BCMD=0，MDBC且平分BC因此动点M的轨迹必通过ABC的外心故选D5. 在ABC中，向量AB与AC满足(AB|AB|
8、+AC|AC|)BC=0，且BA|BA|BCBC=22，则ABC为A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】D【解析】解：因为(ABAB+ACAC)BC=0，所以BAC的平分线与BC垂直，所以三角形ABC是等腰三角形，且AB=AC又因为BABABCBC=22，所以ABC=45，所以三角形ABC是等腰直角三角形故选D6. 如图所示，半圆的直径AB=4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则PA+PBPC的最小值是A. 2B. 0C. -1D. -2【答案】D【解析】解：由平行四边形法则得PA+PB=2PO，故(PA+PB)P
9、C=2POPC，又|PC|=2-|PO|且POPC反向，设|PO|=t(0t2)，则(PA+PB)PC=2POPC=-2t(2-t)=2(t2-2t)=2(t-1)2-10t2，当t=1时，(PA+PB)PC的最小值为-2故选D7. 已知点A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且ABC=90，若点P的坐标为(2,0)，则PA+PB+PC的最大值为A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】C【解析】解：因为AC为的斜边，点A，B，C在圆x2+y2=1上所以AC为圆x2+y2=1的一条直径，故AC必经过原点，则PA+PC=2PO，即|PA+PB+PC|=|2PO+PB|，又PB=OB-OP，所以|PA
10、+PB+PC|=|2PO+OB-OP|=|OB-3OP|=OB2+9OP2-6OBOP，当且仅当时取等号，故|PA+PB+PC|的最大值为7故选C8. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理设点O，H分别是ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则A. AB+AC=3HM+3MOB. AB+AC=3HM-3MOC. AB+AC=2HM+4MOD. AB+AC=2HM-4MO【答案】D【解析】解：设重心为G，因为三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离
11、是重心到垂心距离的一半所以HG=2GO，2HM=2(HG+GM)=2HG+2GM，4MO=4(MG+GO)=4MG+4GO，2HM-4MO=2HG+2GM-4MG-4GO=2(HG-2GO)+6GM=6GM，又M为BC中点，重心为G，AB+AC=2AM=6GM，所以AB+AC=2HM-4MO，故选D二、填空题9. 已知ABC和点P满足PA+2PB+PC=0，则PBC与ABC的面积之比为_【答案】1：4【解析】取AC的中点为D，则：PA+PC=2PD，PA+2PB+PC=0，PD+PB=0，PD=-PB，P，B，D三点共线，且PD=12BD，SPBCSABC=14故答案是1：410. 如图，某班
12、体重为70kg的体育老师在做引体向上示范动作，两只胳膊的夹角为60，拉力大小均为F，若使身体能向上移动，则拉力F的最小整数值为_N.(取重力加速度大小为g=10m/s2，31.732)【答案】405【解析】解：对该老师受力分析如图：因为手臂和单杠的夹角均为60，又两个手臂上的力大小相等，所以这个平行四边形为菱形，对角线为合力的大小：700N，根据力的平行四边形定则，可知每只手臂的拉力为：70033404.13N，所以拉力F的最小整数值为405N，故答案为40511. 如图所示，在空间四边形ABCD中，CD=3，BC=4，M，N分别为AB，AD的中点，则MNDC=_【答案】-92【解析】解：由题
13、易知，BD=5，故答案为-9212. 已知a=(2,1),b=(k,3),若(a+2b)/(2a-b),则k=.【答案】6【解析】a=(2,1)，b=(k,3)a+2b=(2,1)+2(k,3)=(2+2k,7)(2a-b)=2(2，1)-(k，3)=(4-k，-1)a+2b/(2a-b)(2+2k)(-1)=7(4-k)，k=6故答案为6三、解答题13. 在非直角ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边已知a=4，ABAC=5，求：(1)tanAtanB+tanAtanC的值；(2)BC边上的中线AD的长【答案】解：(1)tanAtanB+tanAtanC=sinAcosA(cosBsin
14、B+cosCsinC)=sinAcosAcosBsinC+sinBcosCsinBsinC=sin2AsinBsinCcosA=a2bccosA=a2ABAC=165 (2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，即：16=b2+c2-10，b2+c2=26，AD的长为x.则在ABD中，由余弦定理得：cosADB=x2+4-c24x， 在ACD中，由余弦定理得：cosADC=x2+4-b24x， 得x=3，即AD=3另解：ABAC=AD+DB(AD+DC)=AD+DB(AD-DB)=AD2-DB2=AD2-a22=AD2-4=5，AD=314. 已知，设f(x)=ab(1)求函数f(x)的
15、单调增区间；(2)三角形ABC的三个角A,B,C所对边分别是a,b,c，且满足A=3,fB=1,3a+2b=10，求边c【答案】解：(1)f(x)=ab，由fx递增得：-2+2k2x+42+2k，即-38+kx8+k,kZ，f(x)的递增区间是-38+k,8+k,kZ；(2)由及0B0,n0)，求m+n的最小值【答案】解：()MN=ON-OM=12(OB+OC)-23OA=-23a+12b+12c;()AN=12(AB+AC)=12(1mAP+1nAQ)=12mAP+12nAQ，P、N、Q三点共线 12m+12n=1m+n=(m+n)(12m+12n)=1+n2m+m2n1+212=2，当且仅当m=n=1时，“=”成立，m+n的最小值为2
