1、专题20 立体几何综合大题必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题1在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.（1）求点到直线的距离；（2）求直线到平面的距离.2如图，正方形的边长为2，的中点分别为C，正方形沿着折起形成三棱柱，三棱柱中，.（1）证明:当时，求证：平面；（2）当时，求二面角的余弦值.3如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱的长为5.（1）求三棱柱的体积；（2）设M是BC中点，求直线与平面ABC所成角的正切值.4如图，在三棱锥中，底面ABC，点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，.（1）求证：平面BDE；
2、（2）求二面角的正弦值；（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.5已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设，OA、OB是底面半径，且，M为线段AB的中点，如图.求异面直线PM与OB所成的角的余弦值.6如图所示，已知四棱锥中，四边形为正方形，三角形为正三角形，侧面底面，M是棱的中点（1）求证：；（2）求二面角的正弦值7已知点，分别是正方形的边，的中点.现将四边形沿折起，使二面角为直二面角，如图所示.（1）若点，分别是，的中点，求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.8已知如图1所示，等腰中，为中点，
3、现将沿折痕翻折至如图2所示位置，使得，、分别为、的中点（1）证明：平面；（2）求四面体的体积9在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，BC=BB1=4，且BCC1=60.（1）求证：平面ABC1平面BCC1B1：（2）设二面角C-AC1-B的大小为，求sin的值.10如图，四棱锥中，底面是直角梯形，BAD=90，已知，.（1）证明：；（2）若二面角的余弦值为，求四棱锥的体积.11如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1ECD，AB2BC2（1）求证：平面CC1D1D底面ABCD；（2）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的
4、大小为，求线段ED1的长度12如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面平面，是斜边的长为的等腰直角三角形，分别是棱，的中点，是棱上一点（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正切值为，求锐二面角的余弦值13如图所示，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面，F在侧棱上，且平面（1）求证：平面；（2）求点D到平面的距离14在三棱锥BACD中，平面ABD平面ACD，若棱长ACCDADAB1，且BAD30，求点D到平面ABC的距离15如图，在长方体中，为棱的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的大小.16如下图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，（1）求与所成角的余弦值；（2）求证：1
5、7如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积18如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，M，N分别为的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19如图，（I）求证（II）设20如图，在四棱锥中，底面，点在线段上，且.（）求证：平面；（）若，求四棱锥的体积.21如图，直三棱柱，点M，N分别为和的中点 ()证明：平面; ()若二面角为直二面角，求的值22如图，在三棱锥中, 侧面与侧面均为等边三角形,为中点.（）证明：平面（）求二面角的余弦值.23如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为的菱形，且BAD120，且PA平面ABCD，PA ，
6、M，N分别为PB，PD的中点(1)证明：MN平面ABCD；(2) 过点A作AQPC，垂足为点Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值24如图，在三棱锥中，为的中点 （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离25如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC；(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积26如图，在四棱锥P-ABCD中，PACD，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=AD（）在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由； （）
7、证明：平面PAB平面PBD27如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB=90，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（）求证：BF平面ACFD；（）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.28如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ，.求证：（1）直线DE平面A1C1F；（2）平面B1DE平面A1C1F.29如图，在三棱锥中，在底面ABC的射影为BC的中点，D为的中点.（1）证明：；（2）求直线和平面所成的角的正弦值.30如图，在四棱锥中，底面，是的中点（）证明；（）证明平面；（）求二面角的大小任务二:中立模式(中档
8、)30-70题31如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PAD为正三角形，平面PAD平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点.（1）证明：BDPF；（2）若AD=DB=2，求点C到平面PBD的距离；32如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PAD为正三角形，平面PAD平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点（1）证明：BDPF；（2）若BAD=60，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值；33如图，在四棱锥E-ABCD中，ABCE，AECD，AB=3，CD=4，AD=2BC=10.（1）证明：AED是锐角；（2）若AE=10，求二面角A-BE-C的余弦值.34如图，在
9、直四棱柱中，（1）若为的中点，试在上找一点，使平面；（2）若四边形是正方形，且与平面所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.35如图1，已知为等边三角形，四边形为平行四边形，把沿向上折起，使点E到达点P位置，如图2所示；且平面平面（1）证明：；（2）在（1）的条件下求二面角的余弦值36如图所示，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，点在上，满足.（1）求证：平面平面；（2）若点为的中点，求平面与平面所成角的余弦值.37在四棱锥中，平面，为的中点，在平面内作于点.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.38在正方体中，点、分别在、上，且，（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值39如图，在多面
10、体中，均垂直于平面，.（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的余弦值.40某商品的包装纸如图1，其中菱形的边长为3，且，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N汇聚为一点P，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹（1）证明底面；（2）设点T为BC上的点，且二面角的正弦值为，试求PC与平面PAT所成角的正弦值41如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面底面，且PA=AB， .（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.421.如图，正方形所在平面与等边所在平面成的锐二面角为，设平面与平面相交于直线（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值43如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，点E在
11、AD上，且，.（1）求证：.（2）设平面平面，求二面角的余弦值.44如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，M，N分别为，的中点，（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值45如图，已知点在圆柱的底面圆上，圆的直径，圆柱的高.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的余弦值大小.46如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC，AC=BC=AA1=2，点P为棱B1C1的中点，点Q为线段A1B上的一动点.（1）求证:当点Q为线段A1B的中点时，PQ平面A1BC；（2）设=，试问:是否存在实数，使得平面A1PQ与平面B1PQ的夹角的余弦值为？若存在，求出这个实数；若不存在，请说明理由.47如
12、图，在三棱锥中，底面，（1）求证：平面平面；（2）若二面角的大小为，过点作于，求直线与平面所成角的大小48如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.（1）求证：直线平面；（2）设点在线段上，且二面角的余弦值为，求点到底面的距离.49如图，在三棱锥中，底面是边长2的等边三角形，点F在线段BC上，且，为的中点，为的中点.()求证：/平面；()若二面角的平面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.50如图，直四棱柱的底面是菱形，侧面是正方形，经过对角线的平面和侧棱相交于点，且（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值51直角梯形绕直角边旋转一周的旋转的上底面面积为，下底面面积为，侧面积为，且二面角为，
13、分别在线段，上（）若，分别为，中点，求与所成角的余弦值；（）若为上的动点、为的中点，求与平面所成最大角的正切值，并求此时二面角的余弦值52正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都是a（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体（1）求新多面体的体积；（2）求二面角的余弦值；（3）求新多面体为几面体？并证明53中国是风
14、筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中于，平面（1）求证：；（2）试验表明，当时，风筝表现最好，求此时直线与平面所成角的正弦值54在陕西汉中勉县的汉江河与定军山武侯坪一带，经常出土有铜、铁扎马钉等兵器文物.扎马钉（如题21图（1）是三国时蜀汉的著名政治家、军事家诸葛亮所发明的一种对付骑兵的武器，状若荆刺，故学名蒺藜，有铜、铁两种.扎马钉有四个锋利的尖爪，随手一掷，三尖撑地，一尖直立向上，推倒上尖，下尖又起，始终如此，使触者不能避其锋而被刺伤.即总有一个尖垂直向上，三尖对称支承于地.简化扎马钉的结构，如图（2），记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为，钉尖为
15、（）（）判断四面体的形状特征；（）若某个出土的扎马钉因年代久远，有一尖爪受损，其长度仅剩其他尖爪长度的（即），如图（3），将，置于地面，求与面所成角的正弦值.55正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都是（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体.（1）求新多面体的体积；（2）求正八面体中二面角的余弦值；（3）
16、判断新多面体为几面体？（只需给出答案，无需证明）56如图，已知在四棱锥中，底面为等腰梯形，为棱上一点，与交于点，且，（1）证明：；（2）是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，求出点位置，若不存在，请说明理由57如图，在三棱柱中点，在棱上，点F在棱CC1上，且点均不是棱的端点，平面且四边形与四边形的面积相等.（1）求证：四边形是矩形；（2）若，求平面与平面所成角的正弦值.58如图，在三棱台中，侧棱平面点在棱上，且（1）证明：平面；（2）当二面角的余弦值为，求的值.59在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，点M在棱上，点N是BC的中点，且满足.（1）证明：AM平面；（2）若M是的中点，求二面角
17、的正弦值.60在四棱锥中，四边形是边长为4的菱形，.（1）证明：平面；（2）如图，取的中点为，在线段上取一点使得，求二面角的大小.61如图，在底面是菱形的四棱柱中，点在上（1）求证：平面；（2）当为线段的中点时，求点到平面的距离62已知四棱锥的底面是菱形，对角线、交于点，底面，设点满足（1）若三棱锥体积是，求的值；（2）若直线与平面所成角的正弦值是，求的值63光学器件在制作的过程中往往需要进行切割，现生产一种光学器件，有一道工序为将原材料切割为两个部分，然后在截面上涂抹一种光触媒化学试剂，加入纳米纤维导管后粘合.在如图所示的原材料器件直三棱柱ABCABC中，ABAC，ABACAAa，现经过AB
18、作与底面ABC所成角为的截面，且截面与BC，AC分别交于不同的两点E，F（1）试求截面面积S随变化的函数关系式S（）；（2）当E和F分别为和的中点时，需要在线段AF上寻找一个点Q，用纳米纤维导管连接EQ，使得EQ与AB所在直线的夹角最小，试求出纤维导管EQ的长64如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，ABC60，PA平面ABCD，且E，M分别为BC，PD的中点，点F为棱PC上一动点（1）证明：平面AEF平面PAD（2）若ABPA，在线段PC上是否存在一点F，使得二面角FAEM的正弦值为？若存在，试确定F的位置；若不存在，说明理由65如图，三棱柱中，（1）求证：为等腰三角形；（2）若，点在
19、线段上，设，若二面角的余弦值为，求的值66如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，（1）点E在线段PC上，点F在线段PD上，求证：平面；（2）设M是直线AC上一点，求CM的长，使得MP与平面PCD所成角为67如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，为的中点，点在棱上，且（1）求直线与直线所成角的余弦值；（2）当直线与平面所成的角最大时，求此时的值68如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，且，M为的中点，平面平面，直线与平面所成角的正切值为.（1）求四棱锥的体积；（2）在棱上(不含端点)是否存在一点Q，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点Q的位置；若不存在，请说明理由.69已知四棱锥中，底面是平行四
20、边形，分别是的中点，.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.70如图，矩形中，将其沿翻折，使点到达点的位置，且二面角为直二面角.（1）求证：平面平面；（2）设是的中点，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围.任务三:邪恶模式(困难)70-100题71如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，分别为中点，（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由72请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.；点在平面的射影在直线上.如图，平面五边形中，是边长为的等边三角形，将沿翻折成四棱锥，是棱上的动点（端点除外
21、），分别是的中点，且_.（1）求证：；（2）当与平面所成角最大时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.73蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，再分别以，为轴将，分别向上翻转，使，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积
22、最小时，求其顶点的曲率的余弦值742022年北京冬奥会标志性场馆国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如九章算术中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由
23、于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在缀术提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.（）利用祖暅原理推导半径为的球的体积公式时，可以构造如图所示的几何体，几何体的底面半径和高都为，其底面和半球体的底面同在平面内.设与平面平行且距离为的平面截两个几何体得到两个截面，请在图中用阴影画出与图中阴影截面面积相等的图形并给出证明；（）现将椭圆所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球，（如图），类比（）中的方法
24、，探究椭球的体积公式，并写出椭球，的体积之比.75如图，已知边长为2的正方形材料，截去如图所示的阴影部分后，可焊接成一个正四棱锥的封闭容器.设.（1）用表示此容器的体积；（2）当此容器的体积最大时，求的值.76如图，在四面体中，平面与平面垂直且.（1）若，证明：；（2）若，当与面积之和最大时，求二面角的余弦值.77某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCDA1B1C1D1，其底面边长为4，高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一（1）当圆弧E2F2（包括端点）上的点P与B1的最短距离为5时，证明：DB1平面D2EF（2）若D1D23当点P在圆弧E2E
25、2（包括端点）上移动时，求二面角PA1C1B1的正切值的取值范围78平面凸六边形的边长相等,其中为矩形,将,分别沿,折至,且均在同侧与平面垂直,连接,如图所示,E,G分别是,的中点（1）求证：多面体为直三棱柱；（2）求二面角平面角的余弦值79如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是的中点.（1）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线与圆的另一个交点为，且点满足.记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：.80已知，图中直棱柱的底面是菱形，其中.又点分别在棱上运动，且满足：，.（1）求证：四点共面，并证明平面.（
26、2）是否存在点使得二面角的余弦值为？如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由.81如图1，与是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，连接是边上一点，过作，交于点，沿将向上翻折，得到如图2所示的六面体（1）求证：（2）设若平面底面，若平面与平面所成角的余弦值为，求的值；（3）若平面底面，求六面体的体积的最大值.82设三棱锥的每个顶点都在球的球面上，是面积为的等边三角形，且平面平面.（1）确定的位置（需要说明理由），并证明：平面平面.（2）与侧面平行的平面与棱，分别交于，求四面体的体积的最大值.83如图，在三棱柱中，平面，是的中点，.（）求证：平面；（）求平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值
27、.84如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为在母线上，且（1）求证：平面平面；（2）设线段上动点为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值85如图，三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧面底面，且侧面为菱形，.（1）求二面角所成角的正弦值.（2）分别是棱，的中点，又.求经过三点的平面截三棱柱的截面的周长.86如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点（1）证明：；（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围87如图，在四棱锥中，分别是，的中点，（）证明：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值88设P为多面体M
28、的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中Qi（i1，2，k，k3）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，平面Qk1PQk和平面QkPQ1遍历多面体M的所有以P为公共点的面（1）如图1，已知长方体A1B1C1D1ABCD，ABBC1，点P为底面A1B1C1D1内的一个动点，则求四棱锥PABCD在点P处的离散曲率的最小值；（2）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格区域和区域中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域？（确定“区域”还是“区域”）89如图，四棱锥的底
29、面是边长为的正方形，（1）证明：；（2）当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时二面角的大小90北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数，证明：这类多面体的总曲率是常数91已知四棱锥的底面是平行四边形，
30、平面与直线，分别交于点，且，点在直线上，为的中点，且直线平面.（1）设，试用基底表示向量；（2）证明，四面体中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形；（3）证明，对所有满足条件的平面，点都落在某一条长为的线段上.92如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，ABC=，B1BD=，（1）求证：直线AC平面BDB1；（2）求直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值.93如图1所示为一种魔豆吊灯，图2为该吊灯的框架结构图，由正六棱锥和构成，两个棱锥的侧棱长均相等，且棱锥底面外接圆的直径为，底面中心为，通过连接线及吸盘固定在天花板上，使棱锥的底面呈水平状态，下顶点与天
31、花板的距离为，所有的连接线都用特殊的金属条制成，设金属条的总长为y（1）设O1AO =(rad)，将y表示成的函数关系式，并写出的范围；（2）请你设计，当角正弦值的大小是多少时，金属条总长y最小94如图，菱形的边长为2，现将沿对角线AC折起至位置，并使平面平面（1）求证：；（2）在菱形中，若，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值；（3）求四面体PABC体积的最大值95在平面，平面平面，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题问题：如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，为内的动点（含边界）（1）求点到平面的距离；（2）若_，求直线与平面所成角的正弦值的取值
32、范围注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分96如下图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，（1）求平面与平面夹角的余弦值；（2）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，利用此定义求异面直线与之间的距离97椭圆的左、右焦点分别为、.经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方），的周长为8.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，把平面沿x轴折起来，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面，与y轴负半轴和x轴所确定的半平面互相垂直：若，求异面直线和所成角的大小；若折叠后的周长为，求的大小.98某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是
33、由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转而成，如图2.已知圆的半径为10cm，设，圆锥的侧面积为cm2.（1）求关于的函数关系式；（2）为了达到最佳观赏效果，要求最大，求的最大值并求此时腰的长度.99如图，在直四棱柱中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为2（1）与能否垂直？说明理由；（2）当在上变化时，求异面直线与所成角的取值范围100如图，一条东西流向的笔直河流，现利用航拍无人机监控河流南岸相距150米的两点处（在的正西方向），河流北岸的监控中心在的正北方100米处，监控控制车在的正西方向，且在通向的沿河路上运动，监控过程中，保证监控控制车到无人机和到监控中心的距离之和150米，平面始终垂直于水平面，且，两点间距离维持在100米.（1）当监控控制车到监控中心的距离为100米时，求无人机距离水平面的距离；（2）若记无人机看处的俯角（），监控过程中，四棱锥内部区域的体积为监控影响区域，请将表示为关于的函数，并求出监控影响区域的最大值.