1、专题强化练5复合函数问题的解法一、选择题1.(2020河北唐山一中高一上期中,)若f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间(-,1上单调递减,则a的取值范围为()A.1,2)B.1,2C.1,+)D.2,+)2.(2021河北石家庄正定一中高一上期中,)已知函数f(x)=logax2(a0且a1)在区间2,4上的最大值与最小值的差为1,则实数a的值为()A.2B.4C.14或4D.12或23.(2021湖北武汉部分重点高中高一上期中,)已知函数f(x)=x+1,g(x)=2|x+2|+a,若对任意x13,4,存在x2-3,1,使f(x1)g(x2),则实数a的取值范围是()A.a-4B.a
2、2C.a3D.a44.()函数f(x)=-a2x-1+5ax-8(a0,且a1)在2,+)上单调递减,则实数a的取值范围为()A.(0,1)52,+B.45,1(1,+)C.(0,1)1,52D.1,525.(多选)(2020山东泰安一中高一上期中,)下列结论中不正确的有()A.函数f(x)=12x2-x的单调递增区间为-,12B.函数f(x)=2x-12x+1为奇函数C.函数y=1x+1的单调递减区间是(-,1)和(1,+)D.1x1是x0,二次函数u=x2-2ax+1+a在(-,1上单调递减,故只需当x=1时,x2-2ax+1+a0,即a1时,f(x)在2,4上单调递增,f(4)-f(2)
3、=loga16-loga4=1,a=4;当0a0),则y=-1au2+5u-8=-1au-5a22+25a4-8(u0).y=-1au2+5u-8在u0,5a2上单调递增,在u5a2,+上单调递减.当0a1时,u=ax是减函数,由x2,得0ua21时,u=ax是增函数,由x2,得ua2,f(x)在x2,+)上单调递减,a25a2,又a0,a52,即当a52时,f(x)是减函数.综上所述,实数a的取值范围是(0,1)52,+,故选A.易错警示解决与指数函数有关的复合函数的单调性问题时,一要注意底数的取值对单调性的影响,必要时需进行分类讨论;二要注意中间变量的取值范围.5.CD在A中,由y=12u
4、是减函数,u=x2-x在-,12上单调递减,在12,+上单调递增知,f(x)的单调递增区间为-,12,A中结论正确;在B中,f(x)的定义域为R,f(-x)=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-f(x),因此f(x)是奇函数,B中结论正确;在C中,y=1x+1在(-,-1)和(-1,+)上单调递减,C中结论错误;在D中,1x10x1是x1的充分不必要条件,D中结论错误.故选CD.二、填空题6.答案(-,1解析设u=|x-1|,则y=1eu.y=1eu是减函数,u=|x-1|在1,+)上单调递增,在(-,1上单调递减,y=1e|x-1|在(-,1上是增函数.因此,y=1e|x-1|的单调递
5、增区间是(-,1.7.答案5解析y=f(x)在R上是单调函数,且ff(x)-2x=3,f(x)-2x是常数,设f(x)-2x=t,则f(x)=2x+t,且f(t)=3.因此2t+t=3.设g(t)=2t+t,则g(t)在R上单调递增,且g(1)=21+1=3,因此g(t)=3有唯一解t=1.从而f(x)=2x+1,f(2)=22+1=5.三、解答题8.解析(1)当k=-1时,f(x)=-4x-2x+1+2,易知f(x)在0,1上单调递减,故f(x)max=f(0)=-1,f(x)min=f(1)=-6,所以f(x)的值域为-6,-1.(2)f(x)=-(2x)2+2k2x-2k,x0,1,令2
6、x=t,t1,2,则原函数可化为g(t)=-t2+2kt-2k,其图象开口向下,对称轴为直线t=k.当k1时,g(t)在1,2上单调递减,所以g(t)max=g(1)=-1+2k-2k=-34,无解;当1k0,得x2+2x+10,解得x-1,故函数f(x)的定义域为x|x-1.f(x)=log34+8xx2+1,当x=0时,f(x)=log34,当x0且x-1时,f(x)=log34+8x+1x,而x+1x(-,-2)2,+),所以4+8x+1x(0,4)(4,8,则f(x)=log34+8xx2+1(-,log34)(log34,log38,所以函数f(x)的值域为(-,log38.解法二:
7、定义域的求解同解法一.令p=4x2+8x+4x2+1,则(p-4)x2-8x+p-4=0.当p=4时,x=0符合.当p4时,上述方程要有解且x-1,则=64-4(p-4)20,p0,解得0p4或4p8.所以00恒成立,即mx2+8x+n0恒成立,则m0,=64-4mn0,mn16.令t=mx2+8x+nx2+1,由于f(x)的定义域为R,值域为0,2,则t1,9,且(t-m)x2-8x+t-n=0有解,则由=64-4(t-m)(t-n)0,可解得t1,9,故t=1和t=9是方程64-4(t-m)(t-n)=0,即t2-(m+n)t+mn-16=0的两个根,则m+n=10,mn-16=9,解得m=5,n=5,符合题意.所以m=5,n=5.
