1、十四 正整数指数函数【基础全面练】(15 分钟 25 分)1下列函数中一定是正整数指数函数的是()Ay2x1，xN Byx5，xNCy3x，xN Dy32x，xN【解析】选 C.根据正整数指数函数的定义知 y3x13x，xN符合要求2若正整数指数函数 f(x)(a1)x 的图像如图所示，则 a 的值是()Aa0 Ba1Ca2 Da3【解析】选 B.根据函数 f(x)(a1)x 的图像特征，可知，a12，所以 a1.3我国工农业总产值从 1999 年到 2019 年的 20 年间翻了两番，设平均每年的增长率为 x，则有()A(1x)194 B(1x)203C(1x)202 D(1x)204【解析
2、】选 D.本题为增长率模型函数，为指数函数形式：设 1999 年总产值为 1，则(1x)204.4一种新型电子产品投产，计划两年后使成本降低 36%，那么平均每年应降低成本()A18%B20%C24%D36%【解析】选 B.设平均每年应降低成本 x%，由题意得(1x%)2136%64%，所以 x20.5函数 y13x，xN，且 x3，2的值域是_【解析】因为 x3，2，且 xN，所以 x1，2.又因为 y13x，所以 y13，19.答案：13，19【补偿训练】一种机器的年产量原为 1 万台，在今后 10 年内，计划使年产量平均比上一年增加10%，(1)试写出年产量 y 随年数 x 变化的关系式
3、，并写出其定义域(2)画出其函数图像【解析】(1)y(110%)x1.1x，所以 y 与 x 的关系式是 y1.1x，其定义域是x|x10，xN(2)如图所示：【综合突破练】(20 分钟 40 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1下列函数：y4x2，y6x，y32x，y32x，y2x1.(以上各函数定义域为 xN)一定是正整数指数函数的个数为()A0 B1 C2 D3【解析】选 C.只有符合题意2某产品计划每年成本降低的百分率为 p，若三年后成本为 a 元，则现在成本为()Aap3 元Ba(1p)3 元Ca（1p）3 元Da（1p）3 元【解析】选 C.假设现在的成本为 y 元，则
4、 y(1p)3a，所以 ya（1p）3.3某商品价格前两年每年递减 20%，后两年每年递增 20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是()A增加 7.84%B减少 7.84%C减少 9.5%D不增不减【解析】选 B.设原来价格为 a，依题意四年后的价格为 a(120%)2(120%)2a(10.04)2，所以 aa(10.04)2a1(10.04)2a(110.080.001 6)a7.84%.4已知不等式(a22a3)2x(a22a3)x8，其中 xN，使此不等式成立的 x的最小整数值是()A8 B9 C10 D11【解析】选 B.因为 a22a3(a1)221，所以正整数指数函数 y
5、(a22a3)x 为增函数，所以 2xx8，解得 x8，即最小整数值是 9.二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5函数 f(x)3x2，x1，3且 xN，则 f(x)的值域为_【解析】由 x1，3且 xN，知 x1，2，3，逐个代入函数 f(x)3x2可得函数的值域为1，7，25答案：1，7，25【误区警示】本题容易犯的错误是忘记定义域中的 xN，只记住了取整，从而把定义域理解成1，0，1，2，3得出错误结果【补偿训练】比较下列数值的大小：(1)(2)3_(2)5.(2)232_234.【解题指南】由条件可以看出底数相同，指数不同，但都是正整数，故选用不同的正整数指数函数，利用其单调性即
6、可得出结论【解析】由正整数指数函数的单调性知，(2)3(2)5，232234.答案：(1)(2)6预测人口的变化趋势有多种方法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是PnP0(1K)n(K 为常数)，其中 Pn 为预测期内 n 年后的人口数，P0 为初期人口数，K 为预测期内的年增长率，若1K0，则在这期间人口数_(填“呈上升趋势”或“呈下降趋势”)【解析】PnP0(1K)n 是指数型函数，因为1K0，所以 01K1，由 yax(0a1)是 N上的减函数可知，人口数呈下降趋势答案：呈下降趋势【补偿训练】一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留物质的质量约是原来的45，则经过_年，剩留
7、的物质是原来的 64125.【解析】设物质最初的质量为 1，则经过 x 年，y45x依题意得45x 64125，解得 x3.答案：3三、解答题7(10 分)有关部门计划于 2020 年向某市投入 128 辆电力型公交车，且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加 50%，试问，该市在 2026 年应投入多少辆电力型公交车？【解析】由题意知在 2021 年应投入电力型公交车的数量为 128(150%)；在 2022 年应投入的数量为 128(150%)(150%)128(150%)2；故在 2026 年应投入电力型公交车的数量为 128(150%)6，即 1283261 458(辆).答：该市在
8、 2026 年应投入 1 458 辆电力型公交车【补偿训练】1.已知正整数指数函数 f(x)的图像经过点(3，27).(1)求函数 f(x)的解析式(2)求 f(5).(3)函数 f(x)有最值吗？若有，试求出，若无，请说明原因【解析】(1)设正整数指数函数为 f(x)ax(a0，a1，xN).因为函数 f(x)的图像经过点(3，27)，所以 f(3)27，即 a327，解得 a3，所以 f(x)3x(xN).(2)f(5)35243.(3)因为 f(x)的定义域为 N，且在定义域上是递增的，所以 f(x)有最小值，最小值是 f(1)3；f(x)无最大值2高一某学生家长去年年底到银行存入 2 000 元活期存款，如果银行的年利率为0.38%(按复利计算)，他 n 年后把钱从银行全部取出，设取出的钱数为 y，请写出n 与 y 之间的关系式，12 年后他把钱全部取出，能取多少钱？(只列式不计算)【解析】一年后他应取出的钱数为 y2 000(10.38%)，两年后他应取出的钱数为 y2 000(10.38%)2；三年后他应取出的钱数为 y2 000(10.38%)3，n年后他应取出的钱数为 y2 000(10.38%)n；所以 n 与 y 之间的关系式为 y2 000(10.38%)n(nN)，12 年后他把钱全部取出，取出的钱数应为 2 000(10.38%)12.