1、导数在研究函数中的应用3利用导数研究不等式成立1、设函数在及时取得极值。（1）求、的值；（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围。解：（1），因为函数在及取得极值，则有，即，解得，。（2）由（1）可知，。当时，；当时，；当时，；所以，当时，取得极大值，又，。则当时，的最大值为。因为对于任意的，有恒成立，所以，得或，因此的取值范围为。2、设函数。（1）求的最小值；（2）若，对于恒成立，求实数的取值范围。解：（1），当时，取最小值，即。（2）令，由得，（不合题意，舍去）。当变化时，的变化情况如下表：在内有最大值。在内恒成立等价于在内恒成立，即等价于，所以的取值范围为。3、已知函数，其中。（1）若
2、曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；（2）讨论函数的单调性；（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。解：（1），由导数的几何意义得，于是，由切点在直线上可得，解得，所以函数的解析式为。（2），当时，显然，这时在，内是增函数；当时，令，解得；当变化时，的变化情况如下表：所以在，内是增函数，在，内是减函数。（3）解：由（2）知，在上的最大值为与中的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当即对任意的成立，从而得，所以满足条件的的取值范围是。4、设函数，其中。（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。
3、解：（1）；当时，。令，解得，。当变化时，的变化情况如下表：所以在，内是增函数，在，内是减函数。（2），显然不是方程的根；为使仅在处有极值，必须恒成立，即有；解此不等式，得，这时，是唯一极值，因此满足条件的的取值范围是。（3）由条件可知，从而恒成立。当时，；当时，。因此函数在上的最大值是与两者中的较大者。为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当即在上恒成立；所以，因此满足条件的的取值范围是。5、设函数，其中。（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）是否存在负数，使对一切正数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。解：（1）由题意可知：当时，则曲线在点处的切线斜率，又曲线在点处的切
4、线的方程为，即。（2）设函数假设存在负数，使得对一切正数都成立。即：当时，的最大值小于等于零。令可得：（舍）当时，单增；当时，单减。所以在处有极大值，也是最大值。，解得：所以负数存在，它的取值范围为：。6、已知函数。（）（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；（2）若在区间上，函数的图象恒在直线下方，求实数的取值范围。解：（1）当时，；对于，有，在区间上为增函数，。（2）令，则的定义域为在区间上，函数的图象恒在直线下方等价于在区间上恒成立。 若，令，得极值点，当，即时，在上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；当，即时，同理可知，在区间上，有也不合题意；若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是。综合可知，当时，函数的图象恒在直线下方。
