1、专题检测（十） 导数的简单应用一、选择题1函数f(x)x2ln x的最小值为()A.B1C0 D不存在解析：选Af(x)x，且x0.令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x1.f(x)在x1处取得极小值也是最小值，且f(1)ln 1.2函数f(x)x的极值情况是()A当x1时，取极小值2，但无极大值B当x1时，取极大值2，但无极小值C当x1时，取极小值2；当x1时，取极大值2D当x1时，取极大值2；当x1时，取极小值2解析：选Df(x)1，令f(x)0，得x1，函数f(x)在区间(，1)和(1，)上单调递增，在(1,0)和(0,1)上单调递减，所以当x1时，取极大值2，当x1时，取极小值2.
2、3若直线yax是曲线y2ln x1的一条切线，则实数a的值为()Ae B2eCe D2e解析：选B依题意，设直线yax与曲线y2ln x1的切点的横坐标为x0，则有y|，于是有解得4已知函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，函数g(x)x2aln x在(1,2)上为增函数，则a的值为()A1B2C0 D解析：选B函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，1，得a2.又g(x)2x，依题意g(x)0在x(1,2)上恒成立，得2x2a在x(1,2)上恒成立，有a2，a2.5若函数f(x)x(bR)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f(x)在下列区间上单调递增的是()A(2,0) B(
3、0,1)C(1，) D(，2)解析：选D由题意知，f(x)1，函数f(x)x(bR)的导函数在区间(1,2)上有零点，令当10，得bx2，又x(1,2)，b(1,4)令f(x)0，解得x或x，即f(x)的单调递增区间为(，)，(，)b(1,4)，(，2)符合题意6已知f(x)ln x，g(x)x22ax4，若对任意的x1(0,2，存在x21,2，使得f(x1)g(x2)成立，则a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A因为f(x)，易知，当x(0,1)时，f(x)0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2上单调递增，故f(x)minf(1).对于二次函数g(x)x22ax4，易知
4、该函数开口向下，所以其在区间1,2上的最小值在端点处取得，即g(x)minming(1)，g(2)要使对任意的x1(0,2，存在x21,2，使得f(x1)g(x2)成立，只需f(x1)ming(x2)min，即g(1)且g(2)，所以12a4且44a4，解得a.二、填空题7(2017长春质检)dx_.解析：dx1.答案：8已知函数f(x)x22axln x，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_解析：由题意知f(x)x2a0在区间上恒成立，即2ax在区间上恒成立又yx在区间上单调递减，max，2a，即a.答案：9已知函数f(x)ex，g(x)ln的图象分别与直线ym交于A，B两点，
5、则|AB|的最小值为_解析：显然m0，由exm得xln m，由ln m得x2e，则|AB|2eln m令h(m)2eln m，由h(m)2em0，求得m.当0m时，h(m)0，函数h(m)在上单调递减；当m时，h(m)0，函数h(m)在上单调递增所以h(m)minh2ln 2，因此|AB|的最小值为2ln 2.答案：2ln 2三、解答题10已知函数f(x)ax，x1.(1)若f(x)在(1，)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若a2，求函数f(x)的极小值解：(1)f(x)a，由题意可得f(x)0在(1，)上恒成立，a2.x(1，)，ln x(0，)，当0时，函数t2的最小值为，a，即实数
6、a的取值范围为.(2)当a2时，f(x)2x(x1)，f(x)，令f(x)0得2ln2xln x10，解得ln x或ln x1(舍去)，即xe.当1x e时，f(x)e时，f(x)0，f(x)的极小值为f(e)2e4e.11(2017全国卷)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a0时，证明f(x)2.解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax2a1.若a0，则当x(0，)时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)证明：由(1)知，当a0时，f(x
7、)在x处取得最大值，最大值为f ln1.所以f(x)2等价于ln12，即ln10.设g(x)ln xx1，则g(x)1.当x(0,1)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0.所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减故当x1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)0.所以当x0时，g(x)0.从而当a0时，ln10，即f(x)2.12(2017福州质检)已知函数f(x)aln xx2ax(aR)(1)若x3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(2)求g(x)f(x)2x在区间1，e上的最小值h(a)解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2xa，因为x3是f(x)的极值点，所以f(3)0，解得a9，所以f(x)，所以当0x或x3时，f(x)0；当x3时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为，(3，)，单调递减区间为.(2)g(x)aln xx2ax2x，则g(x)2.令g(x)0，得x或x1.当1，即a2时，g(x)在1，e上为增函数，h(a)g(1)a1；当1e，即2a2e时，g(x)在上为减函数，在上为增函数，h(a)galna2a；当e，即a2e时，g(x)在1，e上为减函数，h(a)g(e)(1e)ae22e.综上，h(a)