1、立体几何多选题一多选题（共40小题）1如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（）A异面直线AC与BC1所成的角为60B直线AB1与平面ABC1D1所成角为45C二面角AB1CB的正切值为D四面体D1AB1C的外接球的体积为2已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点O为A1D1的中点，若以O为球心，为半径的球面与正方体ABCDA1B1C1D1的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（）AA1D1平面EFGHBA1C平面EFGHCA1B1与平面EFGH所成的角的大小为45D平面EFGH将正方体ABCDA1B1C1D1分成两部分的体积的比为1：73如图，在正方体ABCDA1B1
2、C1D1中，点P为线段B1C上一动点，则（）A直线BD1平面A1C1DB异面直线B1C与A1C1所成角为45C三棱锥PA1DC1的体积为定值D平面A1C1D与底面ABCD的交线平行于A1C14如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF，以下结论正确的有（）AACBEB点A到BEF所在平面的距离为定值C三棱锥ABEF的体积是正方体ABCDA1B1C1D1体积的D异面直线AE，BF所成的角为定值5九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”
3、如图在堑堵ABCA1B1C1中，ACBC，且AA1AB2下列说法正确的是（）A四棱锥BA1ACC1为“阳马”B四面体A1C1CB为“鳖臑”C四棱锥BA1ACC1体积最大为D过A点分别作AEA1B于点E，AFA1C于点F，则EFA1B6线段AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，ABEF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且AB2，ADEF1则（）ADF平面BCEB异面直线BF与DC所成的角为30CEFC为直角三角形DVCBEF：VFABCD1：47如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论：（）
4、A没有水的部分始终呈棱柱形B水面EFGH所在四边形的面积为定值C随着容器倾斜度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行D当容器倾斜如图（3）所示时，AEAH为定值8若长方体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，则（）AB1EA1BB平面B1CE平面A1BDC三棱锥C1B1CE的体积为D三棱锥C1B1CD1的外接球的表面积为249如图，点P是正方体ABCDA1B1C1D1的侧面BCC1B1内的动点，则（）A点P至少存在两个位置满足DPBC1B点P存在无数个位置满足到直线BC和直线A1B1的距离相等C三棱锥AD1PC的体积存在最大值D过点P的平面截正方体ABCD
5、A1B1C1D1所得截面多边形最大边数为610在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PAAB，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是（）AE为PA的中点BPB与CD所成的角为CBD平面PACD三棱锥CBDE与四棱锥PABCD的体积之比等于1：411如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EFa，以下结论正确的有（）AACBEB点A到BEF的距离为定值C三棱锥ABEF的体积是正方体ABCDA1B1C1D1体积的D异面直线AE，BF所成的角为定值12将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC平面
6、ABC，在折起后形成的三棱锥DABC中，下列说法正确的是（）A三角形BCD是等边三角形BACBDC三棱锥DABC的体积是D三棱锥DABC外接球的体积是13已知三棱锥ABCD中，BCCD，ABAD，BC1，CD，则（）A三棱锥的外接球的体积为B三棱锥的外接球的体积为C三棱锥的体积的最大值为D三棱锥的体积的最大值为14已知在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F，H分别是AB，A1D1，BC1的中点，下列结论中正确的是（）AD1C1平面CHDBAC1平面BDA1C三棱锥DBA1C1的体积为D直线EF与BC1所成的角为3015若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即ABCD，ACBD，A
7、DBC，则下列结论正确的是（）A四面体ABCD每组对棱相互垂直B四面体ABCD每个面的面积相等C从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90且小于180D连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分16等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（）ABCD17如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，正确的命题是（）A点H是A1BD的垂心BAH垂直平面CB1D1CAH的延长线经过点C1D直线AH和BB1所成角为4518如图，在正四棱锥SABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动
8、点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的为（）AEPACBEPBDCEP面SBDDEP面SAC19已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，侧棱AA11，P为上底面A1B1C1D1上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（）A若PD3，则满足条件的P点有且只有一个B若，则点P的轨迹是一段圆弧C若PD平面ACB1，则DP长的最小值为2D若PD平面ACB1，且，则平面BDP截正四棱柱ABCDA1B1C1D1的外接球所得平面图形的面积为20如图1，点E为正方形ABCD边BC上异于点B，C的动点，将ABE沿AE翻折，得到如图2所示的四棱锥BAECD，且平面BAE平面AECD，点F为线段B
9、D上异于点B，D的动点，则在四棱锥BAECD中，下列说法正确的有（）A直线BE与直线CF必不在同一平面上B存在点E使得直线BE平面DCEC存在点F使得直线CF与平面BAE平行D存在点E使得直线BE与直线CD垂直21关于正方体ABCDA1B1C1D1有如下四个说法，其中结论正确的是（）A若点P在直线BC1上运动时，三棱锥AD1PC的体积不变B若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则P点的轨迹是过D1点的直线C若点P在线段BC1（含端点）上运动时，直线AP与DC所成角的范围为0，60D若点P在线段BC1（含端点）上运动时，直线AP与D1C所成的角一定是锐角22下列命题中正确的是（
10、）A侧棱与底面垂直的四棱柱是长方体B底面是矩形的四棱柱是长方体C棱柱的侧面都是平行四边形D长方体的正视图和俯视图都是矩形23如图，在四面体ABCD中，点B1，C1，D1分别在棱AB，AC，AD上，且平面B1C1D1平面BCD，A1为BCD内一点，记三棱锥A1B1C1D1的体积为V，设x，对于函数Vf（x），则下列结论正确的是（）A当x时，函数f（x）取到最大值B函数f（x）在（）上是减函数C函数f（x）的图象关于直线x对称D不存在x0，使得f（x0）VABCD（其中VABCD为四面体ABCD的体积）24对于四面体ABCD，以下命题中正确的命题是（）A若ABACAD，则AB，AC，AD与底面所成
11、的角相等B若ABCD，ACBD，则点A在底面BCD内的射影是BCD的内心C四面体ABCD的四个面中最多有四个直角三角形D若四面体ABCD的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为25如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为1，E、F分别是棱AA，CC的中点，过直线EF的平面分别与棱BB，DD交于M，N，以下四个命题中正确命题为 （）A平面MENF一定为矩形B平面MENF平面BDDBC当M为BB1的中点时，MENF的面积最小D四棱锥AMENF的体积为常数26正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱BC，CC1上不与正方体顶点重合的动点，用平面AMN截正方体，下列关于截面的说法正确的有（）A
12、若BMC1N，则截面为等腰梯形B若BMCM，且时，截面为五边形C截面的面积存在最大值D截面的面积存在最小值27如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，M，N分别是线段A1C1和BD上的动点，则下列判断正确的是（）A线段MN有最小值，且最小值为1B不论M，N如何运动，线段MN和B1D都不可能垂直C存在一个位置，使得MN所在的直线与四个侧面都平行D若M，N，B，C四点能构成三棱锥，其体积只与点N的位置有关，与M无关28如图，矩形ABCD中，AB2AD，E边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE（A1平面ABCD），若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折过程中，下列结论正确的是 （）A
13、：1：3B存在某个位置，使DEA1CC总有BM平面A1DED线段BM的长为定值29如图，一张A4纸的长、宽分别为2a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点，现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体，关于该多面体的下列命题，正确的是（）A该多面体是三棱锥B平面BAD平面BCDC平面BAC平面ACDD该多面体外接球的表面积为5a230已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q是面对角线A1C1的两个不同的动点下列命题为真命题的有（）A存在M，N两点，使BPDQB体对角线BD1垂直平面DPQC若|PQ|1，SBPD，D若|PQ|1，则四面体
14、BDPQ在平面ABCD上的正投影面积为定值31如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 （）A当0CQ时，S为四边形B当CQ时，S为等腰梯形C当CQ时，S与C1D1的交点R满足C1RD当CQ1时，S为六边形32下面关于四棱柱的命题中，真命题的是（）A若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱B若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱C若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱D若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱33如图，在透明塑料制成的长方体ABCD
15、A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，其中正确的说法是（）A有水的部分始终呈棱柱状B水面四边形EFGH的面积不改变C棱A1D1始终与水面EFGH平行D当EAA1时，AE+BF是定值34如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是线段AB，CC1的中点，MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1上运动，有以下四个命题，其中正确的命题是（）A平面MB1PND1B平面MB1P平面ND1A1CMB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值DMB1P在侧面DD1C1C上的射影图形是三角形35以下命题中假命题的序号是（）A若棱柱被一平面
16、所截，则分成的两部分不一定是棱柱B有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台C用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台D有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱36如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是D1B，A1C上不重合的两个动点，下列四个结论中正确的是（）ACED1FB平面AFD平面B1EC1CAB1EFD平面AED平面ABB1A137已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（）AACB1EBB1C平面A1BDC三棱锥C1B1CE的体积为D异面直线B1C与BD所成的角为4538正三棱锥底面边长为
17、3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（）A正三棱锥高为3B正三棱锥的斜高为C正三棱锥的体积为D正三棱锥侧面积为39如图是正方体的平面展开图，则关于这个正方体的说法正确的是（）ABM与ED平行BCN与BE是异面直线CCN与BM成60角DDM与BN是异面直线40如图，在四棱锥BACDE中，AECD，CD2AE，点M，N分别为BE，BA的中点，若DMCNP，DECAQ，则下述正确的是（）AB直线DE与BC异面CMNCDDB，P，Q三点共线立体几何多选题一多选题（共40小题）1如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（）A异面直线AC与BC1所成的角为60B直线AB1与平面ABC1D1所成角为45C二
18、面角AB1CB的正切值为D四面体D1AB1C的外接球的体积为【答案】ACD【分析】对于A，连接A1C1，A1B，由ACA1C1，得A1C1与BC1所成的角即是异面直线AC与BC1所成的角，由A1C1B为等边三角形，得到A1C1B60；对于B，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB1与平面ABC1D1所成角为30；对于C，求出平面BB1C的法向量和平面AB1C的法向量，利用向量法求出二面角AB1CB的正切值为；对于D，由四面体D1AB1C是棱长为的正四面体，能求出四面体D1AB1C的外接球的体积【解答】解：对于A，连接A1C1，A1B，由题
19、意可得ACA1C1，所以A1C1与BC1所成的角，即是异面直线AC与BC1所成的角，因为A1C1B为等边三角形，所以A1C1B60，所以A正确；对于B，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），B1（1，1，1），B（1，1，0），D1（0，0，1），（0，1，1），（0，1，0），（1，0，1），设平面ABC1D1的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，0，1），设直线AB1与平面ABC1D1所成角为，则sin，30，直线AB1与平面ABC1D1所成角为30，故B错误；对于C，平面BB1C的法向量（0，1，0），C（0，1，0），（0，1，1
20、），（1，1，0），设平面AB1C的法向量（a，b，c），则，取a1，得（1，1，1），设二面角AB1CB的平面角为，则cos，sin，二面角AB1CB的正切值为tan，故C正确；对于D，平面AB1C的法向量（1，1，1），（1，0，1），点D1到平面AB1C的距离d，四面体D1AB1C是棱长为的正四面体，设四面体D1AB1C的外接球的半径为R，则R22+（）2，解得R，四面体D1AB1C的外接球的体积V，故D正确故选：ACD2已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点O为A1D1的中点，若以O为球心，为半径的球面与正方体ABCDA1B1C1D1的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正
21、确的是（）AA1D1平面EFGHBA1C平面EFGHCA1B1与平面EFGH所成的角的大小为45D平面EFGH将正方体ABCDA1B1C1D1分成两部分的体积的比为1：7【答案】ACD【分析】由已知可得E，F，G，H为正方体的四条棱的中点，由直线与平面平行的判定判断A；利用反证法说明B错误，求出线面角判定C；求出平面EFGH将正方体ABCDA1B1C1D1分成两部分的体积的比判断D【解答】解：如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点O为A1D1的中点，以O为球心，为半径的球面与正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB、BB1、CC1、CD交于中点如图则EHFGA1D1，EFAB1，且E
22、F由A1D1EH，EH平面EFGH，A1D1平面EFGH，得A1D1平面EFGH，故A正确；假设A1C平面EFGH，则A1CA1D1，而在A1D1C中，有CD1A1D1，一个三角形中出现了两个直角，故假设错误，即B错误；AD平面AA1B1B，则EH平面AA1B1B，则平面EFGH平面AA1B1B，A1B1与平面EFGH所成的角即为AB与平面EFGH所成的角，等于FEB45，故C正确；EFAB1，且，则，即三角形EBF的面积与多边形A1AEFB1的面积比为1：7，平面EFGH将正方体ABCDA1B1C1D1分成两部分的体积的比为1：7，故D正确故选：ACD3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1
23、中，点P为线段B1C上一动点，则（）A直线BD1平面A1C1DB异面直线B1C与A1C1所成角为45C三棱锥PA1DC1的体积为定值D平面A1C1D与底面ABCD的交线平行于A1C1【答案】ACD【分析】由直线与平面垂直的判定及性质得到A1C1BD1，DC1BD1，得到直线BD1平面A1C1D，判定A正确；求出异面直线所成角判断B错误；由直线与平面平行说明P到平面A1C1D的距离为定值判断C正确；由直线与平面平行的性质判断D正确【解答】解：A1C1B1D1，A1C1BB1，B1D1BB1B1，A1C1平面BB1D1，则A1C1BD1，同理DC1BD1，A1C1DC1C1，直线BD1平面A1C1
24、D，故A正确；A1B1CD，A1B1CD，四边形DA1B1C为平行四边形，则B1CA1D，则DA1C1为异面直线B1C与A1C1所成角，为60，故B错误；B1CA1D，A1D平面A1C1D，B1C平面A1C1D，B1C平面A1C1D可得P到平面A1C1D的距离为定值，即三棱锥PA1DC1的体积为定值，故C正确；A1C1平面ABCD，A1C1平面A1C1D，设平面A1C1D与底面ABCD的交线为l，由直线与平面平行的性质，可得平面A1C1D与底面ABCD的交线平行于A1C1，故D正确故选：ACD4如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF，以下结论正确
25、的有（）AACBEB点A到BEF所在平面的距离为定值C三棱锥ABEF的体积是正方体ABCDA1B1C1D1体积的D异面直线AE，BF所成的角为定值【答案】AB【分析】由异面直线的判定判断A；由二面角的平面角的定义可判断B；运用三棱锥的体积公式可判断C；运用三角形的面积公式可判断D【解答】解：对于A，根据题意，ACBD，ACDD1，AC平面BDD1B1，所以ACBE，故A正确；对于B，A到平面CDD1C1的距离是定值，所以点A到BEF的距离为定值，故B正确；对于C，三棱锥ABEF的体积为V三棱锥ABEFEFABBB1sin45aaaa3，三棱锥ABEF的体积是正方体ABCDA1B1C1D1体积的
26、 ，故C错误；对于D，异面直线AE，BF所成的角为定值，命题D错误；故选：AB5九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”如图在堑堵ABCA1B1C1中，ACBC，且AA1AB2下列说法正确的是（）A四棱锥BA1ACC1为“阳马”B四面体A1C1CB为“鳖臑”C四棱锥BA1ACC1体积最大为D过A点分别作AEA1B于点E，AFA1C于点F，则EFA1B【答案】ABD【分析】A利用“阳马”定义直接判断；B利用“鳖臑”定义直接判断；C当ACBC时，四棱锥BA1ACC1体积；D过A点
27、分别作AEA1B于点E，AFA1C于点F，推导出BC平面AA1C1C，从而AF平面A1BC，进而是A1B平面AEF，由此得到EFA1B【解答】解：A四边形A1ACC1为矩形，BC平面A1ACC1四棱锥BA1ACC1为“阳马”，故A正确；B四面体A1C1CB中，A1C1C、A1BC、A1BC1、BCC1都是直角三角形，四面体A1C1CB为“鳖臑”，故B正确；C当ACBC时，四棱锥BA1ACC1体积为：，故C错误；D过A点分别作AEA1B于点E，AFA1C于点F，BCAC，BCAA1，ACAA1A，BC平面AA1C1C，又AF平面AA1C1C，BCAF，A1CBCC，AF平面A1BC，AFA1B，
28、AEAFA，A1B平面AEF，EF平面AEF，EFA1B，故D正确故选：ABD6线段AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，ABEF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且AB2，ADEF1则（）ADF平面BCEB异面直线BF与DC所成的角为30CEFC为直角三角形DVCBEF：VFABCD1：4【答案】见试题解答内容【分析】利用反证法证明A错误；求出异面直线所成角判断B正确；求解三角形可知三角形CEF为钝角；求解两个多面体的体积判断D【解答】解：对于A，ABCDEF，CDFE四点共面，若DF平面BCE，则DFCE，可得四边形CDFE为平行四边形，得CDEFAB，与已知矛盾，故A错误；对于B，
29、ABDC，异面直线BF与DC所成的角即为ABF，在等腰梯形AFEB中，由AB2，EF1，可得AOFFOEEOB60，则BAF60，得ABF30，故B正确；对于C，在BEF中，由分析B时可得，BEFE1，BF，又BC1且BC底面，得，CF2，EF1，则CF2+EF2CE2，可得EFC为钝角三角形，故C错误；对于D，过点F作FGAB于G，平面ABCD平面ABEF，FG平面ABCD，VFABCDSABCDFGFGCB平面ABEF，VFCBEVCBEFSBEFCBEFFGCBFGVCBEF：VFABCD1：4，故D正确故选：BD7如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定
30、容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论：（）A没有水的部分始终呈棱柱形B水面EFGH所在四边形的面积为定值C随着容器倾斜度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行D当容器倾斜如图（3）所示时，AEAH为定值【答案】见试题解答内容【分析】根据棱柱的结构特征及棱柱的体积公式逐一判断每个选项即可得答案【解答】解：因为容器的左侧面与右侧面平行，在容器倾斜的过程中，没有水的部分始终满足棱柱的结构特征，故没有水的部分始终呈棱柱形，A正确；在容器倾斜的过程中，水面成矩形面，长度EF不变，宽度EH变化，则水面EFGH所在四边形的面积变化，故B错误；A1C1AC，在倾斜的过程中，AC
31、与水面相交，则A1C1与水面所在的平面相交，故C错误；因为水的体积是不变的，而高始终是EF也不变，因此底面的面积也不变，即AEAH是定值，故D正确故选：AD8若长方体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，则（）AB1EA1BB平面B1CE平面A1BDC三棱锥C1B1CE的体积为D三棱锥C1B1CD1的外接球的表面积为24【答案】见试题解答内容【分析】在A中，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出B1E与A1B不垂直；在B中，求出平面B1CE的法向量和平面A1BD的法向量，利用向量法能求出平面B1CE与平面A1
32、BD相交；在C中，三棱锥C1B1CE的体积为；在D中，三棱锥C1B1CD1的外接球就是长方体ABCDA1B1C1D1的外接球，从而三棱锥C1B1CD1的外接球半径R，由此求出三棱锥C1B1CD1的外接球的表面积为24【解答】解：长方体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，在A中，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则B1（2，0，4），E（0，2，2），A1（0，0，4），B（2，0，0），（2，2，2），（2，0，4），4+0+840，B1E与A1B不垂直，故A错误；在B中，B1（2，0，4），C（2，2，0），E（0，
33、2，2），A1（0，0，4），B（2，0，0），D（0，2，0），（0，2，4），（2，0，2），（2，0，4），（2，2，0），设平面B1CE的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，2，1），设平面A1BD的法向量（a，b，c），则，取x1，得（1，1，），不共线，平面B1CE与平面A1BD相交，故B错误；在C中，三棱锥C1B1CE的体积为：，故C正确；在D中，三棱锥C1B1CD1的外接球就是长方体ABCDA1B1C1D1的外接球，三棱锥C1B1CD1的外接球半径R，三棱锥C1B1CD1的外接球的表面积为S24，故D正确故选：CD9如图，点P是正方体ABCDA1B1C1D1的侧面BCC1
34、B1内的动点，则（）A点P至少存在两个位置满足DPBC1B点P存在无数个位置满足到直线BC和直线A1B1的距离相等C三棱锥AD1PC的体积存在最大值D过点P的平面截正方体ABCDA1B1C1D1所得截面多边形最大边数为6【答案】见试题解答内容【分析】若DPBC1，由DCBC1，则PCBC1，可知线段B1C上的点均满足DPBC1，判断A正确；把到直线BC和直线A1B1 的距离相等，转化为到点B1和直线BC的距离相等，结合抛物线的定义判断；利用等体积法，即，可知当点P与B1重合时，三棱锥AD1PC的体积最大；判断C正确；举例画图说明D正确【解答】解：对于A若DPBC1，由DCBC1，则PCBC1，
35、由此可知，线段B1C上的点均满足DPBC1，故A正确；对于B到直线BC和直线A1B1 的距离相等，即到点B1和直线BC的距离相等，点P的轨迹是抛物线的一段，故B正确；对于C由，可知当点P与B1重合时，三棱锥AD1PC的体积最大，故C正确；对于D不妨取P为CC1的中点，可知截面分别过CC1、C1D1、A1D1、AA1、AB、BC中点时，得截面多边形为6变形过点P的平面截正方体的截面多边形最大边数为6，故D正确正确的命题是ABCD故选：ABCD10在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PAAB，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是（）AE为PA的中点
36、BPB与CD所成的角为CBD平面PACD三棱锥CBDE与四棱锥PABCD的体积之比等于1：4【答案】见试题解答内容【分析】在A中，连结AC，交BD于点F，连结EF，则平面PAC平面BDEEF，推导出EFPC，由四边形ABCD是正方形，从而AFFC，进而AEEP；在B中，由CDAB，得PBA（或其补角）为PB与CD所成角，推导出PAAB，从而PB与CD所成角为；在C中，推导出ACBD，PABD，由此能证明BD平面PAC；在D中，设ABPAx，则，VCBDEVEBCD由此能求出三棱锥CBDE与四棱锥PABCD的体积之比等于1：4【解答】解：在A中，连结AC，交BD于点F，连结EF，则平面PAC平面
37、BDEEF，PC平面BDE，EF平面BDE，PC平面PAC，EFPC，四边形ABCD是正方形，AFFC，AEEP，故A正确；在B中，CDAB，PBA（或其补角）为PB与CD所成角，PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB，在RtPAB中，PAAB，PAB，PB与CD所成角为，故C错误；在C中，四边形ABCD为正方形，ACBD，PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，PAACA，BD平面PAC，故C正确；在D中，设ABPAx，则，VCBDEVEBCDVCBDC：VPABCD1：4故D正确 故选：ACD11如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且
38、EFa，以下结论正确的有（）AACBEB点A到BEF的距离为定值C三棱锥ABEF的体积是正方体ABCDA1B1C1D1体积的D异面直线AE，BF所成的角为定值【答案】见试题解答内容【分析】由异面直线的判定判断A；由二面角的平面角的定义可判断B；运用三棱锥的体积公式可判断C；运用三角形的面积公式可判断D【解答】解：对于A，根据题意，ACBD，ACDD1，AC平面BDD1B1，所以ACBE，所以A正确；对于B，A到平面CDD1C1的距离是定值，所以点A到BEF的距离为定值，则B正确；对于C，三棱锥ABEF的体积为V三棱锥ABEFEFABBB1sin45aaaa3，三棱锥ABEF的体积是正方体ABC
39、DA1B1C1D1体积的，正确；对于D，异面直线AE，BF所成的角为定值，命题D错误；故选：ABC12将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC平面ABC，在折起后形成的三棱锥DABC中，下列说法正确的是（）A三角形BCD是等边三角形BACBDC三棱锥DABC的体积是D三棱锥DABC外接球的体积是【答案】见试题解答内容【分析】由题意作出图形，根据图可知BDDO1，再由BCDC1，可知面DBC是等边三角形；由ACDO，ACBO，可得AC平面DOB，从而有ACBD；三棱锥DABC的体积VSABCOD，求解体积判断C；由ADCABC，知AC的中点O为三棱锥DABC外接球的球心，则三棱
40、锥DABC外接球的半径为R，代入球的体积公式判断D【解答】解：如图所示：BDDO1，又BCDC1，面DBC是等边三角形，故A正确；ACDO，ACBO，AC平面DOB，则ACBD，故B正确；三棱锥DABC的体积VSABCOD11，故C错误；ADCABC，AC的中点O为三棱锥DABC外接球的球心，则三棱锥DABC外接球的半径为R，则三棱锥DABC外接球的体积V，故D正确故选：ABD13已知三棱锥ABCD中，BCCD，ABAD，BC1，CD，则（）A三棱锥的外接球的体积为B三棱锥的外接球的体积为C三棱锥的体积的最大值为D三棱锥的体积的最大值为【答案】见试题解答内容【分析】利用所给条件容易得到三角形A
41、BD，CBD为直角三角形，故BD中点为外接球球心，可得外接球的体积面ABD与面CBD相互垂直时，体积最大，求出其最大值【解答】解：如图，BCCD，BC1，CD，BD2，ABAD，ABAD，BD的中点O为外接球球心，故半径为1，体积为 ，当面ABD与面CBD相互垂直时，点A到面BCD的距离最大，故此时三棱锥的体积最大，此时高为AOBD1；其最大值为：1BCCD1故选：AC14已知在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F，H分别是AB，A1D1，BC1的中点，下列结论中正确的是（）AD1C1平面CHDBAC1平面BDA1C三棱锥DBA1C1的体积为D直线EF与BC1所成的角为30【答
42、案】见试题解答内容【分析】A中，利用线面平行的判定定理，得出D1C1平面CHD；B中，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积判断垂直，得出AC1平面BDA1；C中，计算三棱锥DBA1C1的体积即可；D中，利用向量的数量积求夹角即可【解答】解：如图1所示，由题意，C1D1CD，C1D1平面CHD，CD平面CHD，所以D1C1平面CHD，A正确；建立空间直角坐标系，如图2所示；由AB1，则（1，1，1），（1，1，0），（1，0，1）；所以11+00，1+0+10，所以，所以AC1平面BDA1，B正确；三棱锥DBA1C1的体积为414111，所以C错误；E（1，0），F（0，0，），所以（1，），（
43、1，0，1），所以cos，所以与所成的角是30，D正确故选：ABD15若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即ABCD，ACBD，ADBC，则下列结论正确的是（）A四面体ABCD每组对棱相互垂直B四面体ABCD每个面的面积相等C从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90且小于180D连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分【答案】见试题解答内容【分析】由对棱相等知四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，借助长方体的性质判断各选项是否正确即可【解答】解：由题意可知四面体ABCD为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示：当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，故A错误；由
44、四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积相等，故B正确；当四面体的所有棱长相等时，过任意一个定点的两条棱的夹角均为60，则两两夹角之和为180，故C错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分，故D正确综上，正确的结论是BD故选：BD16等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（）ABCD【答案】见试题解答内容【分析】分两个情况绕的边为直角边和斜边讨论，当绕的边是直角边是，所形成的几何体的表面积为底面面积加侧面面积，当绕斜边时扇形面积既是所形成的几何体的表
45、面积，而扇形面积等于c底面周长l母线长，进而求出所形成的几何体的表面积【解答】解：若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为1，高为1，所以母线长l，这时表面积为21l+12（1+）；若绕斜边一周时旋转体为L两个倒立圆锥对底组合在一起，且由题意底面半径为，一个圆锥的母线长为1，所以表面积S221，综上所述该几何体的表面积为，故选：AB17如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，正确的命题是（）A点H是A1BD的垂心BAH垂直平面CB1D1CAH的延长线经过点C1D直线AH和BB1所成角为45【答案】见试题解答内容【分析】如上图，正方体的体对角线AC
46、1有以下性质：AC1平面A1BD，AC1平面CB1D1；AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分；AC1AB等（注：对正方体要视为一种基本图形来看待）【解答】解：因为三棱锥AA1BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选项A正确；易证面A1BD面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，所以选项B正确；连接正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D等，所以AC1平面A1BD，则直线A1C与AH重合，所以选项C正确；D错误故选：ABC18如图，在正四棱锥SABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运
47、动时，下列四个结论中恒成立的为（）AEPACBEPBDCEP面SBDDEP面SAC【答案】见试题解答内容【分析】如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN由正四棱锥SABCD，可得SO底面ABCD，ACBD，进而得到SOAC可得AC平面SBD由已知E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，利用三角形的中位线可得EMBD，MNSD，于是平面EMN平面SBD，进而得到AC平面EMN，ACEP由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，因此不可能EPBD；平面EMN平面SBD，可得EP平面SBD；EM平面SAC，可用反证法证明：当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直【解答】解：如图所示，连接
48、AC、BD相交于点O，连接EM，EN由正四棱锥SABCD，可得SO底面ABCD，ACBD，SOACSOBDO，AC平面SBD，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，EMBD，MNSD，而EMMNN，平面EMN平面SBD，AC平面EMN，ACEP故A正确由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EPBD，因此B不正确；平面EMN平面SBD，EP平面SBD，因此C正确EM平面SAC，若EP平面SAC，则EPEM，与EPEME相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直即D不正确故选：AC19已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，侧棱AA11，P为上底面A1B1C1D
49、1上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（）A若PD3，则满足条件的P点有且只有一个B若，则点P的轨迹是一段圆弧C若PD平面ACB1，则DP长的最小值为2D若PD平面ACB1，且，则平面BDP截正四棱柱ABCDA1B1C1D1的外接球所得平面图形的面积为【答案】见试题解答内容【分析】由题意画出图形，求出D与上底面点的最大值判断A；由，求得PD1为定值判断B；找出满足PD平面ACB1的P的轨迹，求出DP长的最小值判断C；由已知求出正四棱住的外接球的半径，进一步求出大圆面积判断D【解答】解：如图正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，又侧棱AA11，则P与B1重合时PD3，此时P点唯一，故
50、A正确；（1，3），DD11，则，即点P的轨迹是一段圆弧，故B正确；连接DA1，DC1，可得平面A1DC1平面ACB1，则当P为A1C1中点时，DP有最小值为，故C错误；由C知，平面BDP即为平面BDD1B1，平面BDP截正四棱柱ABCDA1B1C1D1的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，面积为，故D正确故选：ABD20如图1，点E为正方形ABCD边BC上异于点B，C的动点，将ABE沿AE翻折，得到如图2所示的四棱锥BAECD，且平面BAE平面AECD，点F为线段BD上异于点B，D的动点，则在四棱锥BAECD中，下列说法正确的有（）A直线BE与直线CF必不在同一平面上B存在点E使得直
51、线BE平面DCEC存在点F使得直线CF与平面BAE平行D存在点E使得直线BE与直线CD垂直【答案】见试题解答内容【分析】在A中，若直线BE与直线CF共面，则点B，E，C，F，D五点共面，由已知得B在平面DCE外，从而直线BE与直线CF必不在同一平面上；在B中，当BECE时，BE必同时垂直AE，但AE与BE不垂直，从而不存在点E使得直线BE平面DCE；在C中，当E是BC中点，且F为BD中点时，直线CF与平面BAE平行；在D中，CD与平面BCE不垂直，从而不存在点E使得直线BE与直线CD垂直【解答】解：在A中，若直线BE与直线CF共面，则点B，E，C，F，D五点共面，由已知得B在平面DCE外，直线
52、BE与直线CF必不在同一平面上，故A正确；在B中，若存在点E使得直线BE平面DCE，则BECE，且BECD，平面BAE平面AECD，平面BAE平面AECDAE，当BECE时，BE必同时垂直AE，AE与BE不垂直，不存在点E使得直线BE平面DCE，故B错误；在C中，当E是BC中点，且F为BD中点时，直线CF与平面BAE平行，故C正确；在D中，AEB是锐角，DCE90，CD与平面BCE不垂直，不存在点E使得直线BE与直线CD垂直，故D错误故选：AC21关于正方体ABCDA1B1C1D1有如下四个说法，其中结论正确的是（）A若点P在直线BC1上运动时，三棱锥AD1PC的体积不变B若点P是平面A1B1
53、C1D1上到点D和C1距离相等的点，则P点的轨迹是过D1点的直线C若点P在线段BC1（含端点）上运动时，直线AP与DC所成角的范围为0，60D若点P在线段BC1（含端点）上运动时，直线AP与D1C所成的角一定是锐角【答案】见试题解答内容【分析】由BC1平面AD1C可知A正确；由勾股定理可知到点D和C1距离相等的点的轨迹是平面ADD1A1与平面A1B1C1D1的交线A1D1，说明B正确；取P与C1重合，分析可得C与D错误【解答】解：对于A，BC1AD1，BC1平面AD1C，则P到平面AD1C的距离相等，由AD1C的面积为定值，点P在直线BC1上运动时，三棱锥AD1PC的体积不变，故A正确；对于B
54、，若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则P点的轨迹是平面ADD1A1与平面A1B1C1D1的交线A1D1，故B正确；对于C，直线AP与DC所成角即为PAB，当P与C1重合时，PAB最大，最大值为arctan60，故C错误；对于D，当P与C1重合时，AP与D1C所成的角为90，故D错误其中结论正确的是A，B故选：AB22下列命题中正确的是（）A侧棱与底面垂直的四棱柱是长方体B底面是矩形的四棱柱是长方体C棱柱的侧面都是平行四边形D长方体的正视图和俯视图都是矩形【答案】见试题解答内容【分析】对于A，当底面不是矩形时，它不是长方体；对于B，当侧棱与底面不垂直时，它不是长方体；对于C
55、，由棱柱的性质进行判定；对于D，由长方体的三视图进行判断【解答】解：对于A，侧棱与底面垂直的四棱柱中，当底面不是矩形时，它不是长方体，故A错误；对于B，底面是矩形的四棱柱中，当侧棱与底面不垂直时，它不是长方体，故B错误；对于C，由棱柱的性质可得棱柱的侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等，故C正确；对于D，由长方体的结构特征得：长方体的正视图和俯视图都是矩形，故D正确故选：CD23如图，在四面体ABCD中，点B1，C1，D1分别在棱AB，AC，AD上，且平面B1C1D1平面BCD，A1为BCD内一点，记三棱锥A1B1C1D1的体积为V，设x，对于函数Vf（x），则下列结论正确的是（）A当x
56、时，函数f（x）取到最大值B函数f（x）在（）上是减函数C函数f（x）的图象关于直线x对称D不存在x0，使得f（x0）VABCD（其中VABCD为四面体ABCD的体积）【答案】见试题解答内容【分析】由题意可知B1C1D1BCD，设 VABCDV0，则f（x）x2（1x）V0利用导数性质求出当x时，函数 f（x） 取到最大值【解答】解：在棱长为a（a0）的正四面体ABCD中，点B1，C1，D1分别在棱AB，AC，AD上，且平面B1C1D1平面BCD，由题意可知B1C1D1BCD，x，x2棱锥 A1B1C1D1 与棱锥 ABCD 的高之比为 1x设 VABCDV0，f（x）x2（1x）V0f（x）
57、2xV03x2V0，当f（x）0时，0x，当f（x）0时，x，当x 时，函数 f（x） 取到最大值故A正确；函数在函数f（x）在（）上是减函数，故B正确；函数 f（x） 的图象不关于直线 x对对称，故C错误；f（）（）2（1）VABCDVABCD，不存在x0，使得f（x0）VABCD（其中VABCD为四面体ABCD的体积）故D正确故选：ABD24对于四面体ABCD，以下命题中正确的命题是（）A若ABACAD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等B若ABCD，ACBD，则点A在底面BCD内的射影是BCD的内心C四面体ABCD的四个面中最多有四个直角三角形D若四面体ABCD的6条棱长都为1，则它的
58、内切球的表面积为【答案】见试题解答内容【分析】对于A，根据线面角的定义即可判断；对于B，根据三垂线定理的逆定理可知，O是BCD的垂心，对于C在正方体中，找出满足题意的四面体，即可得到直角三角形的个数，对于D作出正四面体的图形，球的球心位置，说明OE是内切球的半径，利用直角三角形，逐步求出内切球的表面积【解答】解：因为ABACAD，设点A在平面BCD内的射影是O，因为sinABO，sinACO，sinADO，所以sinABOsinACOsinADO，则AB，AC，AD与底面所成的角相等；故A正确；设点A在平面BCD内的射影是O，则OB是AB在平面BCD内的射影，因为ABCD，根据三垂线定理的逆定
59、理可知：CDOB 同理可证BDOC，所以O是BCD的垂心，故B不正确；如图：直接三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是4故C正确如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，正四面体的棱长为：1；所以OE为内切球的半径，BFAF，BE，所以AE，因为BO2OE2BE2，所以（OE）2OE2（）2，所以OE，所以球的表面积为：4OE2，故D正确故选：ACD25如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为1，E、F分别是棱AA，CC的中点，过直线EF的平面分别与棱BB，DD交于M，N，以下四个命题中正确命题为 （）A平面MENF一定为矩形B平面MENF平面BDDBC当M为BB1的中点时，MENF的面积
60、最小D四棱锥AMENF的体积为常数【答案】见试题解答内容【分析】由EFBD，EFBB，得出EF平面BDDB，平面MENF平面BDDB，判断B正确；由EF平面BDDB，得出EFMN，再由MFEN，MENF，得出MENF为菱形，判断A错误；由菱形MENF的面积公式，得出M为BB的中点时，MENF的面积最小，判断C正确；计算四棱锥AMENF的体积为VVMAEF+VNAEFDBSAEF为常数，判断D正确【解答】解：因为EFBD，EFBB，BDBBB，所以EF平面BDDB，所以平面MENF平面BDDB，B正确；EF平面BDDB，MN平面BDDB，所以EFMN，因为MFEN，MENF，所以四边形MENF为
61、菱形，A错误；因为菱形MENF的面积为SNMEF，所以当M为BB的中点时，MENF的面积最小，C正确；因为四棱锥AMENF的体积为VVMAEF+VNAEFDBSAEF为常数，所以D正确故选：BCD26正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱BC，CC1上不与正方体顶点重合的动点，用平面AMN截正方体，下列关于截面的说法正确的有（）A若BMC1N，则截面为等腰梯形B若BMCM，且时，截面为五边形C截面的面积存在最大值D截面的面积存在最小值【答案】见试题解答内容【分析】画出正方体，根据动点M，N的不同位置动点不同 的截面；M，N分别是棱BC，CC1上不与正方体顶点重合的动点，考虑极限位置时
62、 的截面形状以及面积极限判断【解答】解：如图1，若BMC1N，则MNAD1，D1NAM，截面AMND1为等腰梯形，故A正确；如图2，若BMCM，且时，设截面与棱C1D1的交点为R，延长DD1，使DD1NRN1，连接AN1交A1D1于S，连接SR，可证ANPQ，由NRD1QRC1，可得C1R：D1RC1N：D1N1，截面为五边形故B正确；当BMC1N0时，过点A，M，N的截面矩形，其面积接近最大，M，N分别是棱BC，CC1上不与正方体顶点重合的动点，BMC1N0，截面的面积不存在最大值，故C错误；当BMBC时CN0时，截面等边三角形，边长为，面积，又M，N分别是棱BC，CC1上不与正方体顶点重合
63、的动点，所以截面面积不存在最小值；故D错误；故选：AB27如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，M，N分别是线段A1C1和BD上的动点，则下列判断正确的是（）A线段MN有最小值，且最小值为1B不论M，N如何运动，线段MN和B1D都不可能垂直C存在一个位置，使得MN所在的直线与四个侧面都平行D若M，N，B，C四点能构成三棱锥，其体积只与点N的位置有关，与M无关【答案】见试题解答内容【分析】当M，N分别是线段A1C1和BD上的中点时，由异面直线的距离，即可判断A；当M与C1重合，N与B重合，由三垂线定理，即可判断B；当M，N分别是线段A1C1和BD上的中点时，MN平行于四条侧棱，由线面平
64、行的判定定理，即可判断C；由于M在A1C1上，A1C1平行于底面ABCD，则M到底面的距离为定值1，由棱锥的体积公式即可判断D【解答】解：M，N分别是线段A1C1和BD上的动点，当M，N分别是线段A1C1和BD上的中点时，MNBD，MNA1C1，即MN为异面直线A1C1和BD的公垂线段，即有线段MN有最小值，且最小值为1，故A对；当M与C1重合，N与B重合，连接BC1，B1C，由BC1B1C，CD平面BCC1B1，由三垂线定理可得B1DBC1，故B错；存在一个位置，当M，N分别是线段A1C1和BD上的中点时，MN平行于四条侧棱，由线面平行的判定定理，可得使MN所在的直线与四个侧面都平行，故C对
65、；M，N，B，C四点能构成三棱锥，由于M在A1C1上，A1C1平行于底面ABCD，则M到底面的距离为定值1，则三棱锥的体积只与点N的位置有关，与M无关，故D对故选：ACD28如图，矩形ABCD中，AB2AD，E边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE（A1平面ABCD），若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折过程中，下列结论正确的是 （）A：1：3B存在某个位置，使DEA1CC总有BM平面A1DED线段BM的长为定值【答案】见试题解答内容【分析】在A中，：SADE：S梯形EBCD1：3；在B中，A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，从而DE与A1C不垂直；在C中，取CD中
66、点F，连接MF，BF，则平面MBF平面A1DE，从而总有BM平面A1DE；在D中，MFBA1DE，由余弦定理可得MB2MF2+FB22MFFBcosMFB是定值【解答】解：设A1到平面EBCD的距离为h，D到AB的距离为h，则：SADE：S梯形EBCD：1：3，故A正确；A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，DE与A1C不垂直，故B错误；取CD中点F，连接MF，BF，则MFA1D且MFA1D，FBED 且FBED，由MFA1D与FBED，可得平面MBF平面A1DE，总有BM平面A1DE，故C正确；MFBA1DE，由余弦定理可得MB2MF2+FB22MFFBcosMFB是定值，故
67、D正确故选：ACD29如图，一张A4纸的长、宽分别为2a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点，现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体，关于该多面体的下列命题，正确的是（）A该多面体是三棱锥B平面BAD平面BCDC平面BAC平面ACDD该多面体外接球的表面积为5a2【答案】见试题解答内容【分析】利用图形翻折，结合勾股定理，确定该多面体是以A，B，C，D为顶点的三棱锥，利用线面垂直，判定面面垂直，即可得出结论【解答】解：长、宽分别为2a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点，现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从
68、而得到一个多面体，则由于，该多面体是以A，B，C，D为顶点的三棱锥，A正确；APBP，APCP，AP平面BCD，AP平面BAD，平面BAD平面BCD，B正确；与B同理，可得平面BAC平面ACD，C正确；该多面体外接球的半径为a，表面积为5a2，D正确故选：ABCD30已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q是面对角线A1C1的两个不同的动点下列命题为真命题的有（）A存在M，N两点，使BPDQB体对角线BD1垂直平面DPQC若|PQ|1，SBPD，D若|PQ|1，则四面体BDPQ在平面ABCD上的正投影面积为定值【答案】见试题解答内容【分析】P与A1点重合，Q与C1点重合，可判断A
69、；体对角线BD1垂直平面A1C1D，可判断B；求出SBPD的范围，可判断C；求出四面体BDPQ在平面ABCD上的正投影面积，可判断D【解答】解：当P与A1点重合，Q与C1点重合时，BPDQ，故A正确；体对角线BD1垂直平面A1C1D，即体对角线BD1垂直平面DPQ，故B正确；当P与A1重合时，SBPD取最大值，当Q与C1重合时，SBPD取最小值，即SBPD，；故C错误；若|PQ|1，则四面体BDPQ在平面ABCD上的正投影面积为定值；故D正确；故选：ABD31如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，
70、则下列命题正确的是 （）A当0CQ时，S为四边形B当CQ时，S为等腰梯形C当CQ时，S与C1D1的交点R满足C1RD当CQ1时，S为六边形【答案】见试题解答内容【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误【解答】解：如图当CQ时，即Q为CC1中点，此时可得PQAD1，APQD1，故可得截面APQD1为等腰梯形，故B正确；由上图当点Q向C移动时，满足0CQ，只需在DD1上取点M满足AMPQ，即可得截面为四边形APQM，故A正确；当CQ时，如图，延长DD1至N，使D1N，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证ANPQ，由NRD1QRC1，可得C1
71、R：D1RC1Q：D1N1：2，故可得C1R，故C正确；由C可知当CQ1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故D错误；故选：ABC32下面关于四棱柱的命题中，真命题的是（）A若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱B若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱C若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱D若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱【答案】见试题解答内容【分析】对于AC可举出反例加以说明；对于BD可结合棱柱的概念进行判断【解答】解：A错，必须是两个相邻的侧面；B正确；因两个过相对侧棱的截面都垂直于底面可得到侧棱垂直于底
72、面；C错，反例，可以是斜四棱柱；D正确，对角线两两相等，则此两对角线所在的平行四边形为矩形故选：BD33如图，在透明塑料制成的长方体ABCDA1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，其中正确的说法是（）A有水的部分始终呈棱柱状B水面四边形EFGH的面积不改变C棱A1D1始终与水面EFGH平行D当EAA1时，AE+BF是定值【答案】见试题解答内容【分析】在A中，水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面判断即可；在B中，水面四边形EFGH的面积不改变；可以通过EF 的变化EH不变判断正误；在C中，棱A1D1始终与水面EFGH平行；利用直线与平面
73、平行的判断定理，推出结论；在D中，当EAA1时，AE+BF是定值通过水的体积判断即可【解答】解：在A中，水的部分始终呈棱柱状，从棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判断A正确，故A正确；在B中，水面四边形EFGH的面积不改变，EF是可以变化的EH不变的，所以面积是改变的，故B不正确的；在C中，棱A1D1始终与水面EFGH平行，由直线与平面平行的判断定理，可知A1D1EH，故C正确；在D中，当EAA1时，AE+BF是定值水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，故D正确故选：ACD34如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是线段AB，CC1的中点，MB1P的顶点P
74、在棱CC1与棱C1D1上运动，有以下四个命题，其中正确的命题是（）A平面MB1PND1B平面MB1P平面ND1A1CMB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值DMB1P在侧面DD1C1C上的射影图形是三角形【答案】见试题解答内容【分析】A中，可用极限位置判断平面MB1PND1不成立；B中，根据面面垂直的判定定理，可以证明平面MB1P平面ND1A1；C中，由题意得出MB1P在底面ABCD上的射影三角形底边是MB，点P在底面上的投影到MB的距离不变可得；D中，MB1P在侧面D1C1CD上的射影图形不一定是三角形【解答】解：对于A，可用极限位置判断，当P与N重合时，MB1PND1垂直不成立，所以
75、平面MB1PND1不可能，A错误；对于B，可以证明MB1平面ND1A1，由图形知MB1与ND1和D1A1都垂直，可证得MB1平面ND1A1，从而可得平面MB1P平面ND1A1，B正确；对于C，可以看到MB1P在底面ABCD上的射影三角形底边是MB，再由点P在底面上的投影在DC上，所以点P到MB的距离不变，即射影图形的面积为定值，C正确；对于D，当点P与C1重合时，P、B1两点的投影重合，MB1P在侧面DD1C1C上的射影不能构成三角形，D错误综上所述，BC正确故选：BC35以下命题中假命题的序号是（）A若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱B有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台
76、C用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台D有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱【答案】见试题解答内容【分析】利用棱柱、棱台、圆台的定义和性质直接求解【解答】解：在A中，若斜棱柱被一垂直于底面的平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱，故A正确；在B中，有两个面平行，其余各面都是梯形，且侧棱的延长线交于一点的几何体叫棱台，故B错误；在C中，用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台，不正确，当平面与底面平行时，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台故C错误；在D中，棱柱的概念知：有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行
77、的几何体叫棱柱，故D错误故选：BCD36如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是D1B，A1C上不重合的两个动点，下列四个结论中正确的是（）ACED1FB平面AFD平面B1EC1CAB1EFD平面AED平面ABB1A1【答案】见试题解答内容【分析】由题意画出图形，利用两直线平行，同旁内角互补判断A；取特殊位置判断B；利用线面垂直的判定与性质判断C；由面面垂直的判定判断D【解答】解：如图，在D1B，A1C上分别取点E，F，ABCDA1B1C1D1为正方体，则四边形A1BCD1为矩形，FD1C+ECD1A1D1C+BCD1180，CE与D1F不平行，故A错误；不妨取F与A1重合，
78、E与O重合，此时平面平面AFD与平面B1EC1相交，故B错误；AB1A1B，AB1BC，且A1BBCB，则AB1平面A1BCD1，则AB1EF，故C正确；AD平面ABB1A1，而AD平面AED，则平面AED平面ABB1A1，故D正确故选：CD37已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（）AACB1EBB1C平面A1BDC三棱锥C1B1CE的体积为D异面直线B1C与BD所成的角为45【答案】见试题解答内容【分析】由题意画出图形，利用线面垂直的判定和性质判断A；证明线面平行判定B；利用等积法求出体积判定C；求出两异面直线所成角判断D【解答】解：如图，A
79、CBD，ACBB1，AC平面BB1D1D，又B1E平面BB1D1D，ACB1E，故A正确；B1CA1D，A1D平面A1BD，B1C平面A1BD，B1C平面A1BD，故B正确；三棱锥C1B1CE的体积为，故C错误；BDB1D1，CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，又CB1D1是等边三角形，异面直线B1C与BD所成的角为60，故D错误故选：AB38正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（）A正三棱锥高为3B正三棱锥的斜高为C正三棱锥的体积为D正三棱锥侧面积为【答案】AB【分析】正三棱锥SABCk，底面ABC是边长为3的等边三角形，侧棱长为SASBSC，取BC中点D，连结SD，AD
80、，过S作SO平面ABC，交AD于O，由此能求出正三棱锥高、斜高、体积和侧面积【解答】解：正三棱锥SABCk，底面ABC是边长为3的等边三角形，侧棱长为SASBSC，取BC中点D，连结SD，AD，过S作SO平面ABC，交AD于O，AD，AO，正三棱锥高为：SO3，故A正确；正三棱锥的斜高为：SD，故B正确；正三棱锥的体积为：V，故C错误；正三棱锥侧面积为：S3，故D错误故选：AB39如图是正方体的平面展开图，则关于这个正方体的说法正确的是（）ABM与ED平行BCN与BE是异面直线CCN与BM成60角DDM与BN是异面直线【答案】见试题解答内容【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及
81、异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案【解答】解：把平面展开图还原原几何体如图：A由正方体的性质可知，BM与ED异面且垂直，故A错误；BCN与BE平行，故B错误；C连接BE，则BECN，EBM为CN与BM所成角，连接EM，可知BEM为正三角形，则EBM60，故C正确；D由异面直线的定义可知，DM与BN是异面直线，故D正确故选：CD40如图，在四棱锥BACDE中，AECD，CD2AE，点M，N分别为BE，BA的中点，若DMCNP，DECAQ，则下述正确的是（）AB直线DE与BC异面CMNCDDB，P，Q三点共线【答案】BCD【分析】对于A，；对于B，由条件可知直线DE与BC是异面直线
82、；对于C，由MNAE，AECD，得MNCD；对于D，B，P，Q是平面ABC和平面BDE的公共点，从而B，P，Q三点共线【解答】解：在四棱锥BACDE中，AECD，CD2AE，点M，N分别为BE，BA的中点，DMCNP，DECAQ，对于A，故A错误；对于B，DE平面ACDE，BC平面ACDE于C，CDE，由异面直线判定定理得直线DE与BC是异面直线，故B正确；对于C，点M，N分别为BE，BA的中点，MNAE，AECD，MNCD，故C正确；对于D，DMCNP，DECAQ，平面ABC平面BDEB，B，P，Q是平面ABC和平面BDE的公共点，B，P，Q三点共线，故D正确故选：BCD声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2020/8/31 23:56:20；用户：数1数2；邮箱：UID_DA561BFAFA1358A9ADFF0B82C7485423；学号：2784036