1、洛南中学2020届第十次模拟考试高三数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.若全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算，再依次判断每个选项得到答案.【详解】，则，故，D正确；且，ABC错误；故选：D.【点睛】本题考查了集合的包含关系，补集运算，属于简单题.2.下列函数中，值域为且为偶函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数奇偶性与函数的值域分别进行检验，即可得解【详解】对于A，由可得函数为偶函数，且的值域为，故A正确；对于B，由可得为非奇非偶
2、函数，故B错误；对于C，函数的值域为，故C错误；对于D，函数的值域为，故D错误.故选：A.【点睛】本题考查了常见函数的奇偶性与值域的判断，关键是要掌握常见函数的性质，属于基础题.3.若抛物线的焦点为，点在此抛物线上且横坐标为3，则等于（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】B【解析】【分析】直接利用抛物线焦半径公式得到答案.详解】根据题意：.故选：B.【点睛】本题考查了抛物线焦半径公式，属于简单题.4.已知三条不同的直线，和两个不同的平面，下列四个命题中正确的为（ ）A. 若，则B. 若，则C 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每
3、个选项得到答案.【详解】A. 若，则，或相交，或异面，A错误；B. 若，则或，B错误；C. 若，则或相交，C错误； D. 若，则，D正确.故选：D.【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.5.在中，若，则的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据同角三角函数关系得到，再利用正弦定理得到答案.【详解】，故，根据正弦定理：，故，故.故选：C.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，正弦定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.6.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【
4、分析】由题意结合函数图象平移的规律及诱导公式即可得解.【详解】由题意.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的图象变换与诱导公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.7.已知实数满足，则最大值为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当，时，取得最大值8【详解】作出实数，满足表示的平面区域，得到如图的及其内部，其中，设，将直线进行平移，当经过点时，目标函数达到最大值故选：【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知
5、识，属于基础题8.已知函数，则（ ）A. 2B. C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式及指数对数恒等式计算可得；【详解】解：因为所以故选：B【点睛】本题考查函数值的计算，对数恒等式的应用，属于基础题.9.对于非零向量，“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别判断充分性和必要性：取，满足，而；时，得到答案.【详解】，则，即，取，此时满足，而；当时，.故“”是“”的必要而不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.10.在等比数列中，已知，
6、则该数列的公比是（ ）A. 3B. 3C. D. 9【答案】B【解析】【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解公比.【详解】解：因为，所以，所以，所以或，当时，不合题意，故选：B【点睛】此题考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题.11.某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该三棱锥的体积为（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】A【解析】【分析】如图所示：三棱锥为三视图对应几何体，计算体积得到答案.【详解】如图所示：在边长为2的正方体中，为中点，则三棱锥为三视图对应几何体.故选：A.【点睛】本题考查了根据三视图求体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.12.为
7、迎接大运会的到来，学校决定在半径为的半圆形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为（ ）A. 400B. C. 600D. 800【答案】D【解析】【分析】连接，设，则，根据三角函数的性质求出面积最值；【详解】如图连接，设，则，所以因为，所以，所以，所以，当时故选：D【点睛】本题考查三角函数的应用，属于基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.若复数为纯虚数，则实数_【答案】【解析】【分析】由题意结合复数的乘法运算可得，再由纯虚数的概念即可得解.【详解】由题意，由复数为纯虚数可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了复数
8、的运算及纯虚数的概念，考查了运算求解能力，关键是对于概念的掌握，属于基础题.14.已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦距大于4，则双曲线的标准方程可以为_（写出一个即可）【答案】（满足或即可）.【解析】【分析】由题意结合双曲线的渐近线可设双曲线的标准方程为，按照、讨论，结合双曲线的焦距分别求得的取值范围即可得解.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，设双曲线的标准方程为，当时，该双曲线的焦距为即，解得；当时，该双曲线的焦距为即，解得；双曲线的标准方程为或，令可得双曲线的标准方程为.故答案为：（满足或即可）.【点睛】本题考查了双曲线性质的应用，考查了运算求解能力，关键是对于双曲线相关概念的熟练应用，属
9、于基础题.15.数列中为的前n项和，若，则 .【答案】6【解析】试题分析：由题意得，因为，即，所以数列构成首项，公比为的等比数列，则，解得考点：等比数列的概念及等比数列求和16.已知点，为坐标原点，则=_，与夹角的取值范围是_【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】由题意结合平面向量的相关知识可得，即可得点在以为圆心，1为半径的圆上，结合平面向量夹角的概念数形结合即可得解.【详解】由题意可得，所以；则点在以为圆心，1为半径圆上，如图：由图可知，当与夹角最小值为0，当直线与圆相切时，与夹角取最大值，连接，易得为锐角且，所以，所以此时与夹角的取值范围是.故答案为：；.【点睛】本题考查了平
10、面向量线性运算及其坐标表示、平面向量模的求解，考查了平面向量夹角的概念与数形结合思想，属于中档题.三、解答题：(共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第1721题为必答题，学生必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答)17.已知等差数列的公差为，前项和为，且满足_.（从成等比数列；，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）（1）求；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）选择、条件组合,； （2）【解析】【分析】（1）先将条件简化，再根据选择、条件组合运算即可；（2），利用分组求和法计算即可.【详解】（1）由，得，即；由，成等比数列，得，即由，
11、得，即； 选择、条件组合，均得、，即 （2）由（I）得， 则，即【点晴】本题考查等差数列、等比数列的综合计算问题，涉及到基本量的计算，分组求和法求数列的和，考查学生的数学运算能力，属于容易题.18.如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，且，.（1）求证：.（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明平面，再根据线面垂直的性质即可得到；（2）取的中点连接，可证平面，再根据计算可得；【详解】（1）平面平面，且，平面平面，平面，平面平面，平面，平面平面又平面所以（2）取的中点连接，因为等腰直角三角形，所以，平面平面，平面平面，
12、平面，平面因为，所以，所以【点睛】本题考查线面垂直的证明，锥体的体积计算，属于中档题.19.自由购是一种通过自助结算购物的形式某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：20以下20，30）30，40）40，50）50，60）60，7070以上使用人数312176420未使用人数003143630（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在30，50）且未使用自由购的概率；（2）从被抽取的年龄在50，70使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在50，60）的概率；（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋若某日
13、该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？【答案】（1）（2）；（3）个【解析】【分析】（1）直接计算概率得到答案.（2）列出所有情况，包含15个基本事件，满足条件的共有6个基本事件，计算得到概率.（3）按照比例关系计算得到答案.【详解】（1）随机抽取的100名顾客中，年龄在30，50）且未使用自由购的有3+1417人，所以随机抽取一名顾客，该顾客年龄在30，50）且未参加自由购的概率估计为（2）设事件A为“这2人年龄都在50，60）”.被抽取的年龄在50，60）的4人分别记为a1，a2，a3，a4，被抽取的年龄在60，70的2人分别记为b1，b2，从被抽取的年龄
14、在50，70的自由购顾客中随机抽取2人共包含15个基本事件，分别为a1a2，a1a3，a1a4，a1b1，a1b2，a2a3，a2a4，a2b1，a2b2，a3a4，a3b1，a3b2，a4b1，a4b2，b1b2，事件A包含6个基本事件，分别为a1a2，a1a3，a1a4，a2a3，a2a4，a3a4，则；（3）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有3+12+17+6+4+244人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为【点睛】本题考查了概率的计算，总体估计，意在考查学生的计算能力和应用能力.20.已知函数.(1)若函数在处取得极值，求的值;(2)当时，函数在区间上的最小值为，求在
15、该区间上的最大值.【答案】（1）；（2）最大值【解析】【分析】（1）由极值的定义得到方程组从而求得的值，再进行验证；（2）化简函数的表达式，求出导函数，利用函数的单调性，求解函数的最小值为1，求出，然后求解在该区间上的最大值【详解】（1）由已知得，当，当，在递增，递减，满足在处取到极值，满足条件.（2）当时，时，时，在单增，在单减又；，函数在区间上的最大值为.【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值、单调区间的求法，考查数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想的应用，求解时要注意定义域优先法则的应用，同时注意第（1）问中求得的值后，还要进行验证21.已知椭圆：的离心率，且
16、圆过椭圆的上，下顶点.（1）求椭圆的方程.（2）若直线的斜率为，且直线交椭圆于、两点，点关于点的对称点为，点是椭圆上一点，判断直线与的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理.【答案】（1）；（2）是，0.【解析】【分析】(1)根据已知条件,求出,即可得到椭圆方程;(2)设直线的方程为,将其代入椭圆方程后,根据韦达定理以及斜率公式变形,可得答案.【详解】（1）因为圆过椭圆的上，下顶点，所以，又离心率，所以，于是有，解得，.所以椭圆的方程为；（2）由于直线的斜率为，可设直线的方程为，代入椭圆：，可得.由于直线交椭圆于、两点，所以，整理解得设点、，由于点与点关于原点的对称，故点
17、，于是有，.若直线与的斜率分别为，由于点，则，又，.于是有，故直线与的斜率之和为0，即.【点睛】本题考查了求椭圆方程,考查了韦达定理,考查了斜率公式,考查了运算求解能力,属于中档题.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线C的极坐标方程是=2cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）（1）求曲线C直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|PB|=1，求实数m的值【答案】(1),；(2)或或【解析】试题分析：（1）在极坐标方程是的两边分别乘以，再根据极坐标与直角坐标的互化公
18、式及即可得到曲线的直角坐标方程，消去直线的参数方程中的参数得到直线的在普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造的方程.试题解析：（1）曲线的极坐标方程是，化为，可得直角坐标方程：直线的参数方程是（为参数），消去参数可得（2）把（为参数）代入方程：化为：，由，解得，解得或又满足实数或考点：圆的极坐标方程及直线参数方程的意义.选修4-5：不等式23.已知函数（1）当时，解不等式；（2）若存在满足，求实数a的取值范围【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）以为分界点分段讨论解不等式（2）原不等式可化为，由绝对值不等式求得的最小值小于3，解得参数.【详解】当时，当时，不等式等价于，解得，即；当时，不等式等价于，解得，即；当时，不等式等价于，解得，即综上所述，原不等式的解集为或由，即，得，又，即，解得所以【点睛】对于绝对值不等式的求解，我们常用分段讨论的方法，也就是按绝对值的零点把数轴上的实数分成多段进行分段讨论，要注意分段时不重不漏，分段结果是按先交后并做运算
